حلول الأسئلة

السؤال

ستكتشف في هذه المسألة جمع الأعداد المركبة في المستوى المركب فالمستوى المركب يشبه إلى حد بعيد المستوى الحقيقي وفيه تكون الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي والأعداد التخيلية البحتة على المحور الرأسي.

تحليلياً:

الحل

$1 - i$ النقطة C تمثل ناتج جمع العددين المركبين الممثلين بالنقطة A ،B

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

تدرب وحل المسائل

تدرب وحب المسائل

أوجد ناتج كل مما يأتي:

18)

$11 i = \sqrt{- 121}$

19)

$13 i = \sqrt{- 169}$

20)

$10 i = \sqrt{- 100}$

21)

$9 i = \sqrt{- 81}$

22)

$- 42 i = (- 3 i) (- 7 i) (2 i)$

23)

$- 144 i = 4 i \times 36 i^{2} = 4 i (- 6 i)^{2}$

24)

$- i = i^{11}$

25)

$i = i^{25}$

26)

$\sqrt{- 10} . \sqrt{- 24}$

$\begin{aligned} i \sqrt{10} . 2 i \sqrt{6} \\ 2 i^{2} \sqrt{60} = 4 i^{2} \sqrt{15} \end{aligned}$

27)

$\begin{aligned} 4 i {(\frac{1}{2} i)}^{2} (- 2 i)^{2} \\ 4 i (\frac{1}{4} i^{2}) (4 i^{2}) \\ i^{3} \times 4 i^{2} \\ 4 i^{5} \end{aligned}$

حل كل معادلة مما يأتي:

28)

$\begin{matrix} 4 x^{2} + 4 = 0 \\ 4 x^{2} = - 4 \\ x^{2} = - 1 \\ x = \pm i \end{matrix}$

29)

$\begin{matrix} 3 x^{2} + 48 = 0 \\ 3 x^{2} = - 48 \\ x^{2} = - 16 \\ x = \pm 4 i \end{matrix}$

30)

$\begin{array}{r} 2 x^{2} + 10 = 0 \\ 2 x^{2} = - 10 \\ x^{2} = - 5 \\ x = \pm i \sqrt{5} \end{array}$

31)

$\begin{matrix} 6 x^{2} + 108 = 0 \\ 6 x^{2} = - 108 \\ x^{2} = - 18 \end{matrix}$

$x = \pm 3 i \sqrt{2}$

في كل معادلة مما يأتي أوجد قيمتي y،x الحقيقيتين اللتين تجعلانها صحيحة:

32)

$x + 1 + 2 y i = 3 - 6 i$

$\begin{aligned} 2 y & = - 6 & x + 1 & = 3 \\ y & = - 3 & x & = 2 \end{aligned}$

33)

$2 x + 7 + (3 - y) i = - 4 + 6 i$

$\begin{array}{rr} 3 - y = 6 & 2 x + 7 = - 4 \\ y = - 3 & 2 x = - 11 \\ x & = - \frac{11}{2} \end{array}$

34)

$5 + y + (3 x - 7) i = 9 - 3 i$

$\begin{array}{rr} 3 x - 7 = - 3 & 5 + y = 9 \\ 3 x = 4 & y = 4 \\ x = \frac{4}{3} \end{array}$

35)

$(2 x - 4 y) i + x + 5 y = 15 + 58 i$

$2 x - 4 y = 58 x + 5 y = 15$

$\begin{aligned} 2 x - 4 y & = 58 \\ 2 x + 10 y & = 30 \\ - 14 y & = 28 \\ y & = - 2 \\ x + 5 (- 2) & = 15 \\ x - 10 & = 15 \\ x & = 25 \end{aligned}$

36)

$\begin{aligned} (- 3 + i) + (- 4 - i) \\ - 3 + i - 4 - i \\ - 7 \end{aligned}$

37)

$\begin{aligned} (11 - 8 i) - (2 - 8 i) \\ 11 - 8 i - 2 + 8 i \end{aligned}$

38)

$\begin{aligned} (1 + 2 i) (1 - 2 i) \\ 1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2} \\ 1 - 4 i^{2} i^{2} = - 1 \\ 1 - 4 (- 1) \\ 1 + 4 \end{aligned}$

39)

$\begin{aligned} (3 + 5 i) (5 - 3 i) \\ 15 - 9 i + 25 i - 15 i^{2} \\ 15 + 16 i - 15 i^{2} i^{2} = - 1 \\ 15 + 16 i + 15 \\ 30 + 16 i \end{aligned}$

40)

$\begin{aligned} (4 - i) (6 - 6 i) \\ 24 - 6 i - 24 i + 6 i^{2} \\ 24 - 30 i + 6 i^{2} \\ 24 - 30 i - 6 i^{2} = - 1 \\ 18 - 30 i \end{aligned}$

41)

$\begin{aligned} \frac{2 i}{1 + i} \\ \frac{2 i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} \\ \frac{2 i - 2 i^{2}}{1 - i^{2}} i^{2} = - 1 \\ \frac{2 i + 2}{1 + 1} = \frac{2 i + 2}{2} \\ 1 + i \end{aligned}$

42)

$\begin{aligned} \frac{5}{2 + 4 i} \\ \frac{5}{2 + 4 i} \times \frac{2 - 4 i}{2 - 4 i} \\ \frac{10 - 20 i}{4 - 16 i^{2}} i^{2} = - 1 \\ \frac{10 - 20 i}{4 + 16} \\ \frac{10 - 20 i}{20} \\ \frac{10}{20} - \frac{20 i}{20} \\ \frac{1}{2} - i \end{aligned}$

43)

$\begin{aligned} \frac{5 + i}{3 i} \\ \frac{5 + i}{3 i} \times \frac{i}{i} \\ \frac{5 i + i^{2}}{3 i^{2}} \\ \frac{5 i}{3 i^{2}} + \frac{i^{2}}{3 i^{2}} i^{2} = - 1 \\ - \frac{5}{3} i + \frac{1}{3} \end{aligned}$

44)

$\begin{aligned} (4 - 6 i) + (4 + 6 i) \\ 4 - 6 i + 4 + 6 i \\ 4 + 4 \end{aligned}$

45)

$\begin{aligned} (8 - 5 i) - (7 + i) \\ 8 - 5 i - 7 - i \\ 1 - 6 i \end{aligned}$

46)

$\begin{aligned} (- 6 - i) (3 - 3 i) \\ - 18 + 18 i - 3 i + 3 i^{2} \\ - 18 + 15 i + 3 i^{2} i^{2} = - 1 \\ - 18 + 15 i - 3 \\ - 21 + 15 i \end{aligned}$

47)

$\begin{array}{lr} (1 + i) (2 + 3 i) (4 - 3 i) \\ (2 + 3 i + 2 i + 3 i^{2}) (4 - 3 i) & i^{2} = - 1 \\ (2 + 5 i - 3) (4 - 3 i) \\ (- 1 + 5 i) (4 - 3 i) \\ - 4 + 3 i + 20 i - 15 i^{2} & i^{2} = - 1 \\ - 4 + 23 i + 15 \\ 11 + 23 i \end{array}$

48)

$\begin{aligned} \frac{4 - i \sqrt{2}}{4 + i \sqrt{2}} \\ \frac{4 - i \sqrt{2}}{4 + i \sqrt{2}} \times \frac{4 - i \sqrt{2}}{4 - i \sqrt{2}} \\ \frac{16 - 4 i \sqrt{2} - 4 i \sqrt{2} + 2 i^{2}}{16 - 4 i \sqrt{2} + 4 i \sqrt{2} - 2 i^{2}} \\ \frac{16 - 8 i \sqrt{2} + 2 i^{2}}{16 - 2 i^{2}} i^{2} = - 1 \\ \frac{16 - 8 i \sqrt{2} - 2}{16 + 2} \\ \frac{14 - 8 i \sqrt{2}}{18} \end{aligned}$

49)

$\begin{aligned} \frac{2 - i \sqrt{3}}{2 + i \sqrt{3}} \\ \frac{2 - i \sqrt{3}}{2 + i \sqrt{3}} \times \frac{2 - i \sqrt{3}}{2 - i \sqrt{3}} \\ \frac{4 - 2 i \sqrt{3} - 2 i \sqrt{3} + 3 i^{2}}{4 - 2 i \sqrt{3} + 2 i \sqrt{3} - 3 i^{2}} \\ \frac{4 - 4 i \sqrt{3} + 3 i^{2}}{4 - 3 i^{2}} i^{2} = - 1 \\ \frac{4 - 4 i \sqrt{3} - 3}{4 + 3} \\ \frac{1 - 4 i \sqrt{3}}{7} \end{aligned}$

50) كهرباء: تبلغ المعاوقة في أحد أجزاء دائرة كهربائية 8i+ 7 أوم وفي الجزء الآخر منها 4i - 13 أوم اجمع هذين العددين المركبين لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة الكهربائية.

$\begin{array}{r} (13 - 4 i) + (7 + 8 i) = \\ 20 + 4 i = 13 - 4 i + 7 + 8 i = \end{array}$

كهرباء: استعمل الصيغة I · C = V حيث V فرق الجهد وC شدة التيار وI المعاوقة في حل السؤالين 52، 51:

51) إذا كانت شدة التيار في دائرة كهربائية 6i + 3 أمبير والمعاوقة i - 5 أوم فكم يكون فرق الجهد؟

$\begin{array}{r} (3 + 6 i) (5 - i) \\ 15 - 3 i + 30 i - 6 i^{2} = \\ 321 + 27 i = \end{array}$ فولت

52) إذا كان فرق الجهد في دائرة كهربائية 12i - 20 فولت والمعاوقة 4i - 6 أوم فكم تكون شدة التيار؟

$\begin{array}{r} \frac{(20 - 12 i)}{(6 - 4 i)} \\ \frac{20 - 12 i}{6 - 4 i} \cdot \frac{6 + 4 i}{6 + 4 i} = \\ \frac{120 + 80 i - 72 i - 48 i^{2}}{36 - 16 i^{2}} = \\ \frac{168 + 8 i}{52} = \\ \frac{42}{13} + \frac{2}{13} i = \end{array}$

53) أوجد ناتج جمع:

$\begin{array}{rrr} i x^{2} - 4 x - 5 i x + 7 & \leftarrow & i x^{2} - (4 + 5 i) x + 7 \\ \underline{3 x^{2} + 2 x + 6 i x - 8 i} & \leftarrow & \frac{3 x^{2} + (2 + 6 i) x - 8 i}{} \\ (3 + i) x^{2} - (2 + i) x - 8 i + 7 = \end{array}$

54) بسط العبارة:

$\begin{array}{r} [(2 + i) x^{2} - i x + 5 + i] - [(- 3 + 4 i) x^{2} + (5 - 5 i) x - 6] \\ 2 x^{2} + i x^{2} - i x + 5 + i + 3 x^{2} - 4 i x^{2} - 5 x + 5 i x + 6 = \\ (2 + i + 3 - 4 i) x^{2} + (- i - 5 + 5 i) x + i + 11 = \\ (5 - 3 i) x^{2} + (- 5 + 4 i) x + i + 11 = \end{array}$

55) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة جمع الأعداد المركبة في المستوى المركب فالمستوى المركب يشبه إلى حد بعيد المستوى الحقيقي وفيه تكون الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي والأعداد التخيلية البحتة على المحور الرأسي.

a) بيايناً:

التمثيل البياني

b) بيايناً:

التمثيل البياني

c) بيايناً:

التمثيل البياني

d) تحليلياً:

$1 - i$ النقطة C تمثل ناتج جمع العددين المركبين الممثلين بالنقطة A ،B

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

ستكتشف في هذه المسألة جمع الأعداد المركبة في المستوى المركب فالمستوى المركب يشبه إلى حد بعيد المستوى الحقيقي وفيه تكون الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي والأعداد التخيلية البحتة على المحور الرأسي.

تحليلياً:

الحل

$1 - i$ النقطة C تمثل ناتج جمع العددين المركبين الممثلين بالنقطة A ،B

تدرب وحل المسائل

تدرب وحب المسائل

أوجد ناتج كل مما يأتي:

18)

$11 i = \sqrt{- 121}$

19)

$13 i = \sqrt{- 169}$

20)

$10 i = \sqrt{- 100}$

21)

$9 i = \sqrt{- 81}$

22)

$- 42 i = (- 3 i) (- 7 i) (2 i)$

23)

$- 144 i = 4 i \times 36 i^{2} = 4 i (- 6 i)^{2}$

24)

$- i = i^{11}$

25)

$i = i^{25}$

26)

$\sqrt{- 10} . \sqrt{- 24}$

$\begin{aligned} i \sqrt{10} . 2 i \sqrt{6} \\ 2 i^{2} \sqrt{60} = 4 i^{2} \sqrt{15} \end{aligned}$

27)

$\begin{aligned} 4 i {(\frac{1}{2} i)}^{2} (- 2 i)^{2} \\ 4 i (\frac{1}{4} i^{2}) (4 i^{2}) \\ i^{3} \times 4 i^{2} \\ 4 i^{5} \end{aligned}$

حل كل معادلة مما يأتي:

28)

$\begin{matrix} 4 x^{2} + 4 = 0 \\ 4 x^{2} = - 4 \\ x^{2} = - 1 \\ x = \pm i \end{matrix}$

29)

$\begin{matrix} 3 x^{2} + 48 = 0 \\ 3 x^{2} = - 48 \\ x^{2} = - 16 \\ x = \pm 4 i \end{matrix}$

30)

$\begin{array}{r} 2 x^{2} + 10 = 0 \\ 2 x^{2} = - 10 \\ x^{2} = - 5 \\ x = \pm i \sqrt{5} \end{array}$

31)

$\begin{matrix} 6 x^{2} + 108 = 0 \\ 6 x^{2} = - 108 \\ x^{2} = - 18 \end{matrix}$

$x = \pm 3 i \sqrt{2}$

في كل معادلة مما يأتي أوجد قيمتي y،x الحقيقيتين اللتين تجعلانها صحيحة:

32)

$x + 1 + 2 y i = 3 - 6 i$

$\begin{aligned} 2 y & = - 6 & x + 1 & = 3 \\ y & = - 3 & x & = 2 \end{aligned}$

33)

$2 x + 7 + (3 - y) i = - 4 + 6 i$

$\begin{array}{rr} 3 - y = 6 & 2 x + 7 = - 4 \\ y = - 3 & 2 x = - 11 \\ x & = - \frac{11}{2} \end{array}$

34)

$5 + y + (3 x - 7) i = 9 - 3 i$

$\begin{array}{rr} 3 x - 7 = - 3 & 5 + y = 9 \\ 3 x = 4 & y = 4 \\ x = \frac{4}{3} \end{array}$

35)

$(2 x - 4 y) i + x + 5 y = 15 + 58 i$

$2 x - 4 y = 58 x + 5 y = 15$

$\begin{aligned} 2 x - 4 y & = 58 \\ 2 x + 10 y & = 30 \\ - 14 y & = 28 \\ y & = - 2 \\ x + 5 (- 2) & = 15 \\ x - 10 & = 15 \\ x & = 25 \end{aligned}$

36)

$\begin{aligned} (- 3 + i) + (- 4 - i) \\ - 3 + i - 4 - i \\ - 7 \end{aligned}$

37)

$\begin{aligned} (11 - 8 i) - (2 - 8 i) \\ 11 - 8 i - 2 + 8 i \end{aligned}$

38)

$\begin{aligned} (1 + 2 i) (1 - 2 i) \\ 1 - 2 i + 2 i - 4 i^{2} \\ 1 - 4 i^{2} i^{2} = - 1 \\ 1 - 4 (- 1) \\ 1 + 4 \end{aligned}$

39)

$\begin{aligned} (3 + 5 i) (5 - 3 i) \\ 15 - 9 i + 25 i - 15 i^{2} \\ 15 + 16 i - 15 i^{2} i^{2} = - 1 \\ 15 + 16 i + 15 \\ 30 + 16 i \end{aligned}$

40)

$\begin{aligned} (4 - i) (6 - 6 i) \\ 24 - 6 i - 24 i + 6 i^{2} \\ 24 - 30 i + 6 i^{2} \\ 24 - 30 i - 6 i^{2} = - 1 \\ 18 - 30 i \end{aligned}$

41)

$\begin{aligned} \frac{2 i}{1 + i} \\ \frac{2 i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} \\ \frac{2 i - 2 i^{2}}{1 - i^{2}} i^{2} = - 1 \\ \frac{2 i + 2}{1 + 1} = \frac{2 i + 2}{2} \\ 1 + i \end{aligned}$

42)

43)

44)

$\begin{aligned} (4 - 6 i) + (4 + 6 i) \\ 4 - 6 i + 4 + 6 i \\ 4 + 4 \end{aligned}$

45)

$\begin{aligned} (8 - 5 i) - (7 + i) \\ 8 - 5 i - 7 - i \\ 1 - 6 i \end{aligned}$

46)

$\begin{aligned} (- 6 - i) (3 - 3 i) \\ - 18 + 18 i - 3 i + 3 i^{2} \\ - 18 + 15 i + 3 i^{2} i^{2} = - 1 \\ - 18 + 15 i - 3 \\ - 21 + 15 i \end{aligned}$

47)

48)

49)

50) كهرباء: تبلغ المعاوقة في أحد أجزاء دائرة كهربائية 8i+ 7 أوم وفي الجزء الآخر منها 4i - 13 أوم اجمع هذين العددين المركبين لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة الكهربائية.

$\begin{array}{r} (13 - 4 i) + (7 + 8 i) = \\ 20 + 4 i = 13 - 4 i + 7 + 8 i = \end{array}$

كهرباء: استعمل الصيغة I · C = V حيث V فرق الجهد وC شدة التيار وI المعاوقة في حل السؤالين 52، 51:

51) إذا كانت شدة التيار في دائرة كهربائية 6i + 3 أمبير والمعاوقة i - 5 أوم فكم يكون فرق الجهد؟

$\begin{array}{r} (3 + 6 i) (5 - i) \\ 15 - 3 i + 30 i - 6 i^{2} = \\ 321 + 27 i = \end{array}$ فولت

52) إذا كان فرق الجهد في دائرة كهربائية 12i - 20 فولت والمعاوقة 4i - 6 أوم فكم تكون شدة التيار؟

53) أوجد ناتج جمع:

54) بسط العبارة:

55) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة جمع الأعداد المركبة في المستوى المركب فالمستوى المركب يشبه إلى حد بعيد المستوى الحقيقي وفيه تكون الأعداد الحقيقية على المحور الأفقي والأعداد التخيلية البحتة على المحور الرأسي.

a) بيايناً:

التمثيل البياني

b) بيايناً:

التمثيل البياني

c) بيايناً:

التمثيل البياني

d) تحليلياً:

$1 - i$ النقطة C تمثل ناتج جمع العددين المركبين الممثلين بالنقطة A ،B