حلول الأسئلة

السؤال

أوجد $f (- 2), f (8)$ لكل دالة مما يأتي:

الحل

$\begin{array}{r} f (x) = \frac{5}{8} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{4} x + 10 \\ f (8) = \frac{5}{8} (8)^{3} - \frac{1}{2} (8)^{2} + \frac{3}{4} (8) + 10 \\ f (8) = 320 - 32 + 6 + 10 = 304 \\ f (- 2) = \frac{5}{8} (- 2)^{3} - \frac{1}{2} (- 2)^{2} + \frac{3}{4} (- 2) + 10 \\ f (- 2) = - 5 - 2 - \frac{3}{2} + 10 = \frac{3}{2} \end{array}$

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل تمارين ومسائل

تمارين ومسائل

حدد الدرجة والمعامل الرئيس لكل كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد فاذكر السبب:

13)

$- 6 x^{6} - 4 x^{5} + 13 x y$

ليست دالة بمتغير واحد هنالك متغيرين x , y

14)

$3 a^{7} - 4 a^{4} + \frac{3}{a}$

ليست كثيرة حدود لأنها تتضمن أساً سالباً أو متغيراً في المقام.

15)

$8 x^{5} - 12 x^{6} + 14 x^{3} - 9$

درجتها 6 والمعامل الرئيس - 12

16)

$- 12 - 8 x^{2} + 5 x - 21 x^{7}$

درجتها 7 والمعامل الرئيس - 21

17)

$13 b^{3} - 9 b + 3 b^{5} - 18$

درجتها 5 والمعامل الرئيس 3

18)

$\begin{aligned} (5 - 2 y) (4 + 3 y) \\ 20 + 7 x y - 6 y^{2} = \end{aligned}$

درجتها 2 والمعامل الرئيس -6

19)

$6 x^{5} - 5 x^{4} + 2 x^{9} - 3 x^{2}$

درجتها 9 والمعامل الرئيس 2

20)

$7 x^{4} + 3 x^{7} - 2 x^{8} + 7$

درجتها 8 والمعامل الرئيس -2

أوجد $p (- 6), p (3)$ لكل دالة مما يأتي:

21)

$\begin{array}{r} p (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3 \\ p (3) = (3)^{4} - 2 (3)^{2} + 3 \\ p (3) = 81 - 18 + 3 = 66 \\ p (- 6) = (- 6)^{4} - 2 (- 6)^{2} + 3 \\ p (- 6) = 1296 - 72 + 3 = 1227 \end{array}$

22)

$\begin{array}{r} p (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 24 \\ p (3) = (3)^{4} - 4 (3)^{3} + 3 (3)^{2} - 5 (3) + 24 \\ p (3) = 81 - 108 + 27 - 15 + 24 = 9 \\ p (- 6) = (- 6)^{4} - 4 (- 6)^{3} + 3 (- 6)^{2} - 5 (- 6) + 24 \\ p (- 6) = 1296 + 864 + 108 + 30 + 24 = 2322 \end{array}$

23)

$\begin{matrix} p (x) = - x^{3} + 3 x^{2} - 5 \\ p (3) = - (3)^{3} + 3 (3)^{2} - 5 \\ p (3) = - 27 + 27 - 5 = - 5 \\ p (- 6) = - (- 6)^{3} + 3 (- 6)^{2} - 5 \\ p (- 6) = 216 + 108 - 5 = 319 \end{matrix}$

24)

$\begin{array}{r} p (x) = 2 x^{4} + x^{3} - 4 x^{2} \\ p (3) = 2 (3)^{4} + (3)^{3} - 4 (3)^{2} \\ p (3) = 162 + 27 - 36 = 153 \\ p (- 6) = 2 (- 6)^{4} + (- 6)^{3} - 4 (- 6)^{2} \\ p (- 6) = 2592 - 216 - 144 = 2232 \end{array}$

إذا كانت $, c (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3, d (x) = - x^{3} + x + 1$ فأوجد كلاً مما يأتي.

25)

$\begin{array}{r} c (3 a) \\ c (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3 \\ c (3 a) = 2 (3 a)^{2} - 4 (3 a) + 3 \\ c (3 a) = 18 a^{2} - 12 a + 3 \end{array}$

26)

$\begin{array}{r} 5 d (2 a) \\ d (x) = - x^{3} + x + 1 \\ 5 d (2 a) = 5 [- (2 a)^{3} + (2 a) + 1] \\ 5 d (2 a) = - 40 a^{3} + 10 a + 5 \end{array}$

27)

$\begin{matrix} c (b^{2}) \\ c (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3 \\ c (b^{2}) = 2 {(b^{2})}^{2} - 4 (b^{2}) + 3 \\ c (b^{2}) = 2 b^{4} - 4 b^{2} + 3 \end{matrix}$

28)

$\begin{array}{r} d (4 a^{2}) \\ d (x) = - x^{3} + x + 1 \\ d (4 a^{2}) = - {(4 a^{2})}^{3} + (4 a^{2}) + 1 \\ d (4 a^{2}) = - 64 a^{6} + 4 a^{2} + 1 \end{array}$

29)

$\begin{array}{r} d (4 y - 3) \\ d (x) = - x^{3} + x + 1 \\ d (4 y - 3) = - (4 y - 3)^{3} + (4 y - 3) + 1 \\ (4 y - 3)^{3} = (4 y - 3) (4 y - 3)^{2} \\ (4 y - 3)^{3} = (4 y - 3) (16 y^{2} - 24 y + 9) \\ (4 y - 3)^{3} = 64 y^{3} - 144 y^{2} + 108 y - 27 \\ d (4 y - 3) = - 64 y^{3} + 144 y^{2} - 108 y + 27 + 4 y - 3 + 1 \\ d (4 y - 3) = - 64 y^{3} + 144 y^{2} - 104 y + 25 \end{array}$

30)

$\begin{array}{r} c (y^{2} - 1) \\ c (y^{2} - 1) = 2 {(y^{2} - 1)}^{2} - 4 (y^{2} - 1) + 3 \\ {(y^{2} - 1)}^{2} = (y^{2} - 1) (y^{2} - 1) \\ {(y^{2} - 1)}^{2} = y^{4} - 2 y^{2} + 1 \\ c (y^{2} - 1) = 2 (y^{4} - 2 y^{2} + 1) - 4 (y^{2} - 1) + 3 \\ c (y^{2} - 1) = 2 y^{4} - 8 y^{2} + 9 \end{array}$

أجب عن الفروع من c-a لكل التمثيلات البيانية الآتية:

a) صف سلوك طرفي التمثيل البياني.

b) حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية.

c) اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة.

التمثيل البياني

$\begin{aligned} f (x) \to + \infty \\ f (x) \to + \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في الاتجاه نفسه فإن الدالة زوجية الدرجة.

يقطع التمثيل البياني للدالة محور السينات في 4 نقاط لذا يكون للدالة 4 أصفار حقيقية.

التمثيل البياني

$\begin{aligned} f (x) \to + \infty \\ f (x) \to - \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في اتجاهين مختلفين فإن الدالة فردية الدرجة.

يقطع التمثيل البياني للدالة محور السينات في نقطة واحدة لذا يكون للدالة صفر حقيقي واحد.

التمثيل البياني

$\begin{aligned} f (x) \to - \infty \\ f (x) \to - \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في الاتجاه نفسه فإن الدالة زوجية الدرجة.

يقطع التمثيل البياني للدالة محور السينات في نقطتين لذا يكون للدالة صفران حقيقيان.

34) تعطى الطاقة الحركية KE بالجول لجسم متحرك كتلته mkg بالدالة $, K E (v) = 0.5 {mv}^{2}$ حيث تمثل v سرعة الجسم بالأمتار لكل ثانية أوجد الطاقة الحركية لعربة كتلتها 171kg تسير بسرعة s/11m.

جول $\begin{aligned} K E (11) & = 0.5 (171) (11)^{2} \\ K E (11) & = 10345.5 \end{aligned}$

أوجد $f (- 2), f (8)$ لكل دالة مما يأتي:

35)

$\begin{array}{r} f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3} - 4 x^{2} \\ f (8) = \frac{1}{4} (8)^{4} + \frac{1}{2} (8)^{3} - 4 (8)^{2} \\ f (8) = 1024 + 256 - 256 = 1024 \\ f (- 2) = \frac{1}{4} (- 2)^{4} + \frac{1}{2} (- 2)^{3} - 4 (- 2)^{2} \\ f (- 2) = 4 - 4 - 16 = - 16 \end{array}$

36)

$\begin{array}{r} f (x) = \frac{1}{8} x^{4} - \frac{3}{2} x^{3} + 12 x - 18 \\ f (8) = \frac{1}{8} (8)^{4} - \frac{3}{2} (8)^{3} + 12 (8) - 18 \\ f (8) = 512 - 768 + 96 - 18 = - 178 \\ f (- 2) = \frac{1}{8} (- 2)^{4} - \frac{3}{2} (- 2)^{3} + 12 (- 2) - 18 \\ f (- 2) = 2 + 12 - 24 - 18 = - 28 \end{array}$

37)

$\begin{array}{r} f (x) = \frac{3}{4} x^{4} - \frac{1}{8} x^{2} + 6 x \\ f (8) = \frac{3}{4} (8)^{4} - \frac{1}{8} (8)^{2} + 6 (8) \\ f (8) = 3072 - 8 + 48 = 3112 \\ f (- 2) = \frac{3}{4} (- 2)^{4} - \frac{1}{8} (- 2)^{2} + 6 (- 2) \\ f (- 2) = 12 - \frac{1}{2} - 12 = - \frac{1}{2} \end{array}$

38)

حدد التمثيل البياني المناسب لكل دالة في الأسئلة (42 - 39) مستعملاً درجة كثيرة الحدود وسلوك طرفي التمثيل البياني لها.

39)

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

الاختيار الصحيح D.

40)

$f (x) = - 2 x^{2} + 8 x + 5$

الاختيار الصحيح B.

41)

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 6 x$

الاختيار الصحيح A.

42)

$f (x) = - 4 x^{3} - 4 x^{2} + 8$

الاختيار الصحيح C.

إذا كانت $, c (x) = x^{3} - 2 x, d (x) = 4 x^{2} - 6 x + 8$ فأوجد كلاً مما يأتي:

43)

$\begin{array}{r} 3 c (a - 4) + 3 d (a + 5) \\ c (x) = x^{3} - 2 x \\ d (x) = 4 x^{2} - 6 x + 8 \\ 3 c (a - 4) = 3 [(a - 4)^{3} - 2 (a - 4)] \\ 3 c (a - 4) = 3 [a^{3} - 8 a^{2} + 16 a - 4 a^{2} + 32 a - 64 - 2 a + 8] \\ 3 c (a - 4) = 3 a^{3} - 36 a^{2} + 138 a - 168 \end{array}$

$\begin{array}{r} 3 d (a + 5) = 3 [4 (a + 5)^{2} - 6 (a + 5) + 8] \\ 3 d (a + 5) = 3 [4 (a^{2} + 10 a + 25) - 6 (a + 5) + 8] \\ 3 d (a + 5) = 12 a^{2} + 102 a + 234 \\ 3 c (a - 4) + 3 d (a + 5) = 3 a^{3} - 36 a^{2} + 142 a - 56 + 12 a^{2} + 102 a + 234 \\ 3 c (a - 4) + 3 d (a + 5) = 3 a^{3} - 24 a^{2} + 240 a + 66 \end{array}$

44)

$\begin{array}{r} - 2 d (2 a + 3) - 4 c (a^{2} + 1) \\ c (x) = x^{3} - 2 x \\ d (x) = 4 x^{2} - 6 x + 8 \\ - 2 d (2 a + 3) = - 2 [4 (2 a + 3)^{2} - 6 (2 a + 3) + 8] \\ - 2 d (2 a + 3) = - 2 [(16 a^{2} + 48 a + 36) - (12 a + 18) + 8] \end{array}$

$\begin{array}{r} - 2 d (2 a + 3) = - 32 a^{2} - 72 a - 52 \\ 4 c (a^{2} + 1) = 4 [{(a^{2} + 1)}^{3} - 2 (a^{2} + 1)] \\ 4 c (a^{2} + 1) = 4 [a^{6} + 5 a^{4} + 2 a^{2} - 1] \\ 4 c (a^{2} + 1) = 4 a^{6} + 12 a^{4} + 4 a^{2} - 4 \\ - 2 d (2 a + 3) - 4 c (a^{2} + 1) = - 4 a^{6} - 12 a^{4} - 36 a^{2} - 72 a - 48 \end{array}$

45)

$\begin{array}{r} 5 c (a^{2}) - 8 d (6 - 3 a) \\ c (x) = x^{3} - 2 x \\ d (x) = 4 x^{2} - 6 x + 8 \\ 5 c (a^{2}) = 5 [{(a^{2})}^{3} - 2 (a^{2})] = 5 a^{6} - 10 a^{2} \\ 8 d (6 - 3 a) = 8 [4 (36 - 36 a + 9 a^{2}) - 6 (6 - 3 a) + 8] \\ 8 d (6 - 3 a) = 288 a^{2} - 1008 a + 928 \\ 5 c (a^{2}) - 8 d (6 - 3 a) = 5 a^{6} - 298 a^{2} + 1008 a - 928 \end{array}$

46)

$\begin{array}{r} - 7 d (a^{3}) + 6 c (a^{4} + 1) \\ c (x) = x^{3} - 2 x \\ d (x) = 4 x^{2} - 6 x + 8 \\ - 7 d (a^{3}) = - 7 [4 {(a^{3})}^{2} - 6 (a^{3}) + 8] \\ - 7 d (a^{3}) = - 28 a^{6} + 42 a^{3} - 56 \\ 6 c (a^{4} + 1) = 6 [{(a^{4} + 1)}^{3} - 2 (a^{4} + 1)] \\ 6 c (a^{4} + 1) = 6 a^{12} + 18 a^{8} + 6 a^{4} - 6 \\ - 7 d (a^{3}) + 6 c (a^{4} + 1) = 6 a^{12} + 18 a^{8} - 28 a^{6} + 6 a^{4} + 42 a^{3} - 62 \end{array}$

47) ملابس: تمثل أرباح مصنع للملابس بدالة كثيرة الحدود $w (x) = - x^{4} + 40 x^{2} - 144$ , حيث x عدد قطع الملابس المبيعة بالألوف و(x(w ربح المصنع بألوف الريالات.

a) أنشئ جدولاً لتمثيل الدالة بيانياً ثم مثلها (استعمل قيم x التالية: 7, 6, 4, 2, 1, 0, 2, -3, -4, -6, -7).

الجدول

التمثيل البياني

b) أوجد أصفار الدالة.

$w (x) = - x^{- 4} + 40 x^{2} - 144$

حسب التمثيل البياني يقطع المحور السيني في النقاط (6 , 2 , -2 , -6)

أصفار الدالة هي : 6 , 2 , -2 , -6

c) بين أي قيمتين يجب أن يبيع المصنع من قطع الملابس ليحقق ربحاً.

لتحقيق الربح يجب أن تكون قيمة الدالة أكبر من الصفر.

من التمثيل البياني نجد أن الدالة أكبر من الصفر من 2000 إلى 6000 إذاً يجب أن يبيع المصنع بين 2000 و6000 قطعة ليحقق ربحاً.

d) وضح لماذا أُخذ صفران فقط بعين الاعتبار في الفرع c.

نحذف الإجابة السالبة لأن المصنع لا ينتج عدداً سالباً من القطع.

48) تمثيلات متعددة: افترض أن : $g (x) = (x - 2) (x + 1) (x - 3) (x + 4)$

a) تحليلياً:

درجتها 4 والتقاطع مع المحور x عند 3 , 2 , -1 , -4

والتقاطع مع المحور y عند 24 الجذور 3 , 2 , -1 , -4

سلوك طرفي تمثيلها البياني:

$\begin{aligned} g (x) \to + \infty \\ g (x) \to + \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

b) جبرياً:

$g (x) = x^{4} - 15 x^{2} + 10 x + 24$

c) جدولياً:

الجدول

d) بيانياً:

التمثيل البياني

صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة فيما يأتي:

49)

$f (x) = - 5 x^{4} + 3 x^{2}$

الدرجة 4 العامل الرئيس -5

حيث أن الدرجة عدد زوجي والعامل الرئيس سالب.

$\begin{aligned} f (x) \to - \infty \\ f (x) \to - \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

50)

$g (x) = 2 x^{5} + 6 x^{4}$

الدرجة 5 العامل الرئيس 2

حيث أن الدرجة عدد فردي والعامل الرئيس موجب.

$\begin{aligned} g (x) \to - \infty \\ g (x) \to + \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

51)

$h (x) = - 4 x^{7} + 8 x^{6} - 4 x$

الدرجة 7 والعامل الرئيس -4

$\begin{aligned} h (x) \to + \infty \\ h (x) \to - \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

أوجد $f (- 2), f (8)$ لكل دالة مما يأتي:

الحل

حل تمارين ومسائل

تمارين ومسائل

حدد الدرجة والمعامل الرئيس لكل كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد فاذكر السبب:

13)

$- 6 x^{6} - 4 x^{5} + 13 x y$

ليست دالة بمتغير واحد هنالك متغيرين x , y

14)

$3 a^{7} - 4 a^{4} + \frac{3}{a}$

ليست كثيرة حدود لأنها تتضمن أساً سالباً أو متغيراً في المقام.

15)

$8 x^{5} - 12 x^{6} + 14 x^{3} - 9$

درجتها 6 والمعامل الرئيس - 12

16)

$- 12 - 8 x^{2} + 5 x - 21 x^{7}$

درجتها 7 والمعامل الرئيس - 21

17)

$13 b^{3} - 9 b + 3 b^{5} - 18$

درجتها 5 والمعامل الرئيس 3

18)

$\begin{aligned} (5 - 2 y) (4 + 3 y) \\ 20 + 7 x y - 6 y^{2} = \end{aligned}$

درجتها 2 والمعامل الرئيس -6

19)

$6 x^{5} - 5 x^{4} + 2 x^{9} - 3 x^{2}$

درجتها 9 والمعامل الرئيس 2

20)

$7 x^{4} + 3 x^{7} - 2 x^{8} + 7$

درجتها 8 والمعامل الرئيس -2

أوجد $p (- 6), p (3)$ لكل دالة مما يأتي:

21)

$\begin{array}{r} p (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 3 \\ p (3) = (3)^{4} - 2 (3)^{2} + 3 \\ p (3) = 81 - 18 + 3 = 66 \\ p (- 6) = (- 6)^{4} - 2 (- 6)^{2} + 3 \\ p (- 6) = 1296 - 72 + 3 = 1227 \end{array}$

22)

23)

24)

إذا كانت $, c (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3, d (x) = - x^{3} + x + 1$ فأوجد كلاً مما يأتي.

25)

$\begin{array}{r} c (3 a) \\ c (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3 \\ c (3 a) = 2 (3 a)^{2} - 4 (3 a) + 3 \\ c (3 a) = 18 a^{2} - 12 a + 3 \end{array}$

26)

$\begin{array}{r} 5 d (2 a) \\ d (x) = - x^{3} + x + 1 \\ 5 d (2 a) = 5 [- (2 a)^{3} + (2 a) + 1] \\ 5 d (2 a) = - 40 a^{3} + 10 a + 5 \end{array}$

27)

$\begin{matrix} c (b^{2}) \\ c (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3 \\ c (b^{2}) = 2 {(b^{2})}^{2} - 4 (b^{2}) + 3 \\ c (b^{2}) = 2 b^{4} - 4 b^{2} + 3 \end{matrix}$

28)

$\begin{array}{r} d (4 a^{2}) \\ d (x) = - x^{3} + x + 1 \\ d (4 a^{2}) = - {(4 a^{2})}^{3} + (4 a^{2}) + 1 \\ d (4 a^{2}) = - 64 a^{6} + 4 a^{2} + 1 \end{array}$

29)

30)

أجب عن الفروع من c-a لكل التمثيلات البيانية الآتية:

a) صف سلوك طرفي التمثيل البياني.

b) حدد ما إذا كانت درجة دالة كثيرة الحدود فردية أم زوجية.

c) اذكر عدد الأصفار الحقيقية للدالة.

التمثيل البياني

$\begin{aligned} f (x) \to + \infty \\ f (x) \to + \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في الاتجاه نفسه فإن الدالة زوجية الدرجة.

يقطع التمثيل البياني للدالة محور السينات في 4 نقاط لذا يكون للدالة 4 أصفار حقيقية.

التمثيل البياني

$\begin{aligned} f (x) \to + \infty \\ f (x) \to - \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في اتجاهين مختلفين فإن الدالة فردية الدرجة.

يقطع التمثيل البياني للدالة محور السينات في نقطة واحدة لذا يكون للدالة صفر حقيقي واحد.

التمثيل البياني

$\begin{aligned} f (x) \to - \infty \\ f (x) \to - \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

بما أن سلوك طرفي التمثيل البياني في الاتجاه نفسه فإن الدالة زوجية الدرجة.

يقطع التمثيل البياني للدالة محور السينات في نقطتين لذا يكون للدالة صفران حقيقيان.

34) تعطى الطاقة الحركية KE بالجول لجسم متحرك كتلته mkg بالدالة $, K E (v) = 0.5 {mv}^{2}$ حيث تمثل v سرعة الجسم بالأمتار لكل ثانية أوجد الطاقة الحركية لعربة كتلتها 171kg تسير بسرعة s/11m.

جول $\begin{aligned} K E (11) & = 0.5 (171) (11)^{2} \\ K E (11) & = 10345.5 \end{aligned}$

أوجد $f (- 2), f (8)$ لكل دالة مما يأتي:

35)

36)

37)

38)

حدد التمثيل البياني المناسب لكل دالة في الأسئلة (42 - 39) مستعملاً درجة كثيرة الحدود وسلوك طرفي التمثيل البياني لها.

39)

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - 4 x$

الاختيار الصحيح D.

40)

$f (x) = - 2 x^{2} + 8 x + 5$

الاختيار الصحيح B.

41)

$f (x) = x^{4} - 3 x^{2} + 6 x$

الاختيار الصحيح A.

42)

$f (x) = - 4 x^{3} - 4 x^{2} + 8$

الاختيار الصحيح C.

إذا كانت $, c (x) = x^{3} - 2 x, d (x) = 4 x^{2} - 6 x + 8$ فأوجد كلاً مما يأتي:

43)

44)

45)

46)

47) ملابس: تمثل أرباح مصنع للملابس بدالة كثيرة الحدود $w (x) = - x^{4} + 40 x^{2} - 144$ , حيث x عدد قطع الملابس المبيعة بالألوف و(x(w ربح المصنع بألوف الريالات.

a) أنشئ جدولاً لتمثيل الدالة بيانياً ثم مثلها (استعمل قيم x التالية: 7, 6, 4, 2, 1, 0, 2, -3, -4, -6, -7).

الجدول

التمثيل البياني

b) أوجد أصفار الدالة.

$w (x) = - x^{- 4} + 40 x^{2} - 144$

حسب التمثيل البياني يقطع المحور السيني في النقاط (6 , 2 , -2 , -6)

أصفار الدالة هي : 6 , 2 , -2 , -6

c) بين أي قيمتين يجب أن يبيع المصنع من قطع الملابس ليحقق ربحاً.

لتحقيق الربح يجب أن تكون قيمة الدالة أكبر من الصفر.

d) وضح لماذا أُخذ صفران فقط بعين الاعتبار في الفرع c.

نحذف الإجابة السالبة لأن المصنع لا ينتج عدداً سالباً من القطع.

48) تمثيلات متعددة: افترض أن : $g (x) = (x - 2) (x + 1) (x - 3) (x + 4)$

a) تحليلياً:

درجتها 4 والتقاطع مع المحور x عند 3 , 2 , -1 , -4

والتقاطع مع المحور y عند 24 الجذور 3 , 2 , -1 , -4

سلوك طرفي تمثيلها البياني:

$\begin{aligned} g (x) \to + \infty \\ g (x) \to + \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

b) جبرياً:

$g (x) = x^{4} - 15 x^{2} + 10 x + 24$

c) جدولياً:

الجدول

d) بيانياً:

التمثيل البياني

صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة فيما يأتي:

49)

$f (x) = - 5 x^{4} + 3 x^{2}$

الدرجة 4 العامل الرئيس -5

حيث أن الدرجة عدد زوجي والعامل الرئيس سالب.

$\begin{aligned} f (x) \to - \infty \\ f (x) \to - \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

50)

$g (x) = 2 x^{5} + 6 x^{4}$

الدرجة 5 العامل الرئيس 2

حيث أن الدرجة عدد فردي والعامل الرئيس موجب.

$\begin{aligned} g (x) \to - \infty \\ g (x) \to + \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

51)

$h (x) = - 4 x^{7} + 8 x^{6} - 4 x$

الدرجة 7 والعامل الرئيس -4

$\begin{aligned} h (x) \to + \infty \\ h (x) \to - \infty \end{aligned}$ عندما $\begin{aligned} x \to - \infty \\ x \to + \infty \end{aligned}$

حلول الأسئلة

أوجد f ( − 2 ) , f ( 8 ) لكل دالة مما يأتي:

مشاركة الحل

حل تمارين ومسائل

حدد الدرجة والمعامل الرئيس لكل كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد فاذكر السبب:

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

أوجد p(−6),p(3) لكل دالة مما يأتي:

21)

22)

23)

24)

إذا كانت , c(x)=2x2−4x+3 , d(x)=−x3+x+1فأوجد كلاً مما يأتي.

25)

26)

27)

28)

29)

30)

أجب عن الفروع من c-a لكل التمثيلات البيانية الآتية:

34) تعطى الطاقة الحركية KE بالجول لجسم متحرك كتلته mkg بالدالة , KE(v)=0.5mv2 حيث تمثل v سرعة الجسم بالأمتار لكل ثانية أوجد الطاقة الحركية لعربة كتلتها 171kg تسير بسرعة s/11m.

أوجد f(−2),f(8) لكل دالة مما يأتي:

35)

36)

37)

38)

حدد التمثيل البياني المناسب لكل دالة في الأسئلة (42 - 39) مستعملاً درجة كثيرة الحدود وسلوك طرفي التمثيل البياني لها.

39)

40)

41)

42)

إذا كانت , c(x)=x3−2x,d(x)=4x2−6x+8 فأوجد كلاً مما يأتي:

43)

44)

45)

46)

47) ملابس: تمثل أرباح مصنع للملابس بدالة كثيرة الحدود w(x)=−x4+40x2−144 , حيث x عدد قطع الملابس المبيعة بالألوف و(x(w ربح المصنع بألوف الريالات.

a) أنشئ جدولاً لتمثيل الدالة بيانياً ثم مثلها (استعمل قيم x التالية: 7, 6, 4, 2, 1, 0, 2, -3, -4, -6, -7).

b) أوجد أصفار الدالة.

c) بين أي قيمتين يجب أن يبيع المصنع من قطع الملابس ليحقق ربحاً.

d) وضح لماذا أُخذ صفران فقط بعين الاعتبار في الفرع c.

48) تمثيلات متعددة: افترض أن : g(x)=(x−2)(x+1)(x−3)(x+4)

a) تحليلياً:

b) جبرياً:

c) جدولياً:

d) بيانياً:

صف سلوك طرفي التمثيل البياني لكل دالة فيما يأتي:

49)

50)

51)

مشاركة الدرس

أوجد f ( − 2 ) , f ( 8 ) لكل دالة مما يأتي:

حل تمارين ومسائل

حدد الدرجة والمعامل الرئيس لكل كثيرة حدود بمتغير واحد فيما يأتي وإذا لم تكن كثيرة حدود بمتغير واحد فاذكر السبب:

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

أوجد p(−6),p(3) لكل دالة مما يأتي:

21)

22)

23)

24)

إذا كانت , c(x)=2x2−4x+3 , d(x)=−x3+x+1فأوجد كلاً مما يأتي.

25)

26)

27)

28)

29)

30)

أوجد $f (- 2), f (8)$ لكل دالة مما يأتي:

أوجد $p (- 6), p (3)$ لكل دالة مما يأتي:

إذا كانت $, c (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3, d (x) = - x^{3} + x + 1$ فأوجد كلاً مما يأتي.

أوجد $f (- 2), f (8)$ لكل دالة مما يأتي:

إذا كانت $, c (x) = x^{3} - 2 x, d (x) = 4 x^{2} - 6 x + 8$ فأوجد كلاً مما يأتي:

47) ملابس: تمثل أرباح مصنع للملابس بدالة كثيرة الحدود $w (x) = - x^{4} + 40 x^{2} - 144$ , حيث x عدد قطع الملابس المبيعة بالألوف و(x(w ربح المصنع بألوف الريالات.

48) تمثيلات متعددة: افترض أن : $g (x) = (x - 2) (x + 1) (x - 3) (x + 4)$

أوجد $f (- 2), f (8)$ لكل دالة مما يأتي:

أوجد $p (- 6), p (3)$ لكل دالة مما يأتي:

إذا كانت $, c (x) = 2 x^{2} - 4 x + 3, d (x) = - x^{3} + x + 1$ فأوجد كلاً مما يأتي.

أوجد $f (- 2), f (8)$ لكل دالة مما يأتي:

إذا كانت $, c (x) = x^{3} - 2 x, d (x) = 4 x^{2} - 6 x + 8$ فأوجد كلاً مما يأتي:

47) ملابس: تمثل أرباح مصنع للملابس بدالة كثيرة الحدود $w (x) = - x^{4} + 40 x^{2} - 144$ , حيث x عدد قطع الملابس المبيعة بالألوف و(x(w ربح المصنع بألوف الريالات.

48) تمثيلات متعددة: افترض أن : $g (x) = (x - 2) (x + 1) (x - 3) (x + 4)$