حلول الأسئلة

السؤال

أوجد مساحة كل مثلث فيما يأتي:

الحل

مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٤١,٥) (٣٦) ضع ٤١,٥ بدلاً من ق، ٣٦ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٤٩٤) اضرب.

= ٧٤٧ م٢

شاهد حلول جميع الاسئلة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مساحة المثلث

تدرب

أوجد مساحة كل مثلث فيما يأتي:

٥- مثال

ق = ٦ وحدات، ع = ٨ وحدات.

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٦) (٨) ضع ٦ بدلاً من ق، ٨ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٤٨) اضرب.

= ٢٤ وحدة٢

٦- مثال

ق = ٥ وحدات، ع = ٣ وحدات.

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٥) (٣) ضع ٥ بدلاً من ق، ٣ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٥) اضرب.

= ٧,٥ وحدة٢

٧- مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٩) (١٠) ضع ٩ بدلاً من ق، ١٠ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٩٠) اضرب.

= ٤٥ ملم٢

٨- مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٢٤,٨) (١٦) ضع ٢٤,٨ بدلاً من ق، ١٦ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٣٩٦,٨) اضرب.

= ١٩٨,٤ سم٢

٩- مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٢٥) (٧) ضع ٢٥ بدلاً من ق، ٧ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٧٥) اضرب.

= ٨٧,٥ كلم٢

١٠- مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٤١,٥) (٣٦) ضع ٤١,٥ بدلاً من ق، ٣٦ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٤٩٤) اضرب.

= ٧٤٧ م٢

١١- الارتفاع ١٤م وطول القاعدة ٣٥م.

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٣٥) (١٤) ضع ٣٥ بدلاً من ق، ١٤ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٤٩٠) اضرب.

= ٢٤٥ م٢

١٢- الارتفاع ٢٧ سم وطول القاعدة ١٩سم.

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (١٩) (٢٧) ضع ١٩ بدلاً من ق، ٢٧ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٥١٣) اضرب.

= ٢٥٦,٥ م٢

١٣- مساكن: يريد صاحب البيت المجاور أن يغطي المنطقة المثلثة الشكل من السقف بألواح خشبية ما مساحة الخشب الذي يغطي هذه المنطقة؟

مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة الخشب الذي يغطي المنطقة.

= right to left ١ over (٧) (٤) ضع ٧ بدلاً من ق، ٤ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٢٨) اضرب.

= ١٤ م٢

١٤- هندسة: يريد مهندس معماري أن يعمل تصميماً لبناء على قطعة أرض مثلثية فإذا كان طول القاعدة القطعة ١٠٠,٨ م وارتفاعها ٩٦,٣م فأوجد مساحتها.

م = right to left ١ over ق ع مساحة قطعة الأرض المثلثية.

= right to left ١ over (١٠٠,٨) (٩٦,٣) ضع ١٩ بدلاً من ق، ٢٧ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٩٧٠٧,٠٤) اضرب.

= ٤٨٥٣,٥٢ م٢

١٥- أحواض أزهار: أوجد مساحة الأزهار الموضح في الشكل المقابل وإذا كان الكيس الواحد من التربة الجاهزة يكفي تغطية نصف متر مربع من الحوض فما عدد الأكياس اللازمة لتغطية حوض الأزهار كاملاً؟

مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة حوض الأزهار.

= right to left ١ over (٣) (٢) ضع ٣ بدلاً من ق، ٢ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٦) اضرب.

= ٣ م٢

الكيس الواحد يكفي لتغطية نصف متر مربع إذن عدد الأكياس اللازمة لتغطية حوض الأزهار كاملاً.

= ٣ ÷ ٠,٥

= ٦ أكياس.

١٦- أعلام: ما مساحة المثلث في علم دولة السودان المجاور؟

مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٤٠) (٣٢) ضع ٤٠ بدلاً من ق، ٣٢ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٢٨٠) اضرب.

= ٦٤٠ سم٢

أشكال مركبة: أوجد المحيط والمساحة لكل شكل مما يأتي:

١٧- مثال

محيط الشكل = مجموع أطوال أضلاعه.

= ٢ + ٤ + ٥ + ٥ = ١٦ سم.

قاعدة المثلث = ٥ - ٢ = ٣ سم.

مساحة الشكل = مساحة المثلث + مساحة المستطيل.

= right to left ١ over ق ع + ل ض

= right to left ١ over (٣) (٤) + right to left ١ over (٤) (٢)

= ٦ + ٨ = ١٤ سم٢

١٨- مثال

محيط الشكل = مجموع أطوال أضلاعه.

= ١٠ + ٩ + ١٠ + ٦ + ٩ + ٦ = ٥٠ ملم

مساحة الشكل = مساحة المثلث + مساحة المستطيل + مساحة المثلث.

= right to left ١ over ق ع + ل ض + right to left ١ over ق ع

= right to left ١ over (٦) (٨) + (٩) (٨) + (٦) (٨)

= ٢٤ + ٧٢ + ٢٤ = ١٢٠ ملم٢

١٩- اكتشف الخطأ: أوجد كل من فهد وسعد طول قاعدة المثلث المجاور الذي مساحته ١٠٠م٢ ‌أيهما كانت صحيحة؟ فسر إجابتك.

مثال

مثال

تفسير الإجابة: لأن مساحة المثلث = right to left ١ over ق ع وليس ق ع.

تح د: إذا علمت أن المثلثات جميعها متطابقة والمربعات الصغيرة جميعها متطابقة في النمط المقابل فحل الأسئلة ٢٠ - ٢٣:

مثال

٢٠- أوجد طول القاعدة أحد المثلثات الصغيرة وارتفاعه.

طول ضلع المربع الصغير = right to left ١٢ over = ٤ سم.

قاعدة المثلث = طول ضلع المربع الصغير = ٤ سم.

ارتفاع المثلث = نصف طول الضلع المربع الصغير = right to left ٤ over = ٢ سم.

٢١- احسب مساحة كل مثلث ثم أوجد المساحة الكلية للمثلثات جميعها.

مساحة كل مثلث = right to left ١ over ق ع = right to left ١ over (٤)(٢) = ٤سم٢

المساحة الكلية للمثلثات جميعها = ١٦ × ٤ = ٦٤ سم٢

٢٢- احسب مساحة أحد المربعات الصغيرة ثم احسب المساحة الكلية للمربعات (التي لا يوجد بداخلها مثلثات).

مساحة أحد المربعات الصغيرة = طول الضلع في نفسه.

= ٤ × ٤ = ١٦ سم٢

المساحة الكلية = ٥ × ١٦ = ٨٠ سم٢

٢٣- ما المساحة الكلية للشكل؟ وهل إجابتك معقولة؟

المساحة الكلية للشكل = ١٢ × ١٢ = ١٤٤ سم٢

نعم الإجابة مقبولة.

٢٤- تبرير: إذا كان هناك مثلثان مساحة كل منهما ٢٤ وحدة مربعة فهل لهما طول القاعدة نفسها والارتفاع ذاته دائماً؟ فسر إجابتك.

لا مثال

٢٥- اكتب: ارسم مثلثاً واختر زمراً لقاعدته وآخر لارتفاعه ثم ارسم مثلثاً آخر له القاعدة نفسها وارتفاعه يساوي مثلي ارتفاع المثلث الأول ثم أوجد مساحة كل منهما واكتب النسبة بين مساحتيهما.

مثال

مساحة المثلث = right to left ١ over ق ع

= right to left ١ over (٢س) (ص)

= س ص سم٢

النسبة بين مساحتيهما = ٢:١

مثال

مساحة المثلث = right to left ١ over ق ع

= right to left fraction numerator ١ over denominator down diagonal strike ٢ end fracti (right to left down diagonal strike �س)(٢ص)

= ٢س ص سم٢

تدريب على اختبار

٣٦- قصت سيرين مثلثاً من الورق المقوى لعمل منظر على شكل مثلث قائم الزاوية كالمرسوم أدناه.

مثال

إذا كانت مساحة المثلث ٨٤,٥ سم٢ ، فما ارتفاعه؟

أ. ٦,٥ سم

ب. ١٣ سم

جـ. ٢٦ سم

د. ١٦٩ سم

٣٧- يبين الجدول أدناه مساحات مثلثات لها الارتفاع نفسه ولكن تختلف في طول القاعدة.

مساحات المثلثات

الارتفاع

(وحدات)

القاعدة

(الارتفاع)

المساحات

(وحدة مربعة)

٧ ٢ ٧
٧ ٣ right to left ١ over ٢ space ١٠ s
٧ ٤ ١٤
٧ ٥ right to left ١ over ٢ space ١٧ s
٧ س ......

أي عبارة مما يأتي يمكن استعمالها لإيجاد مساحة مثلث ارتفاعه ٧ وحدات وطول قاعدته س وحدة؟

أ. ٧ س

ب. right to left fraction numerator ٧ س over denominator ٢ end fract

جـ. right to left ٧ over

د. right to left س over

مشاركة الدرس

السؤال

أوجد مساحة كل مثلث فيما يأتي:

الحل

مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٤١,٥) (٣٦) ضع ٤١,٥ بدلاً من ق، ٣٦ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٤٩٤) اضرب.

= ٧٤٧ م٢

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مساحة المثلث

تدرب

أوجد مساحة كل مثلث فيما يأتي:

٥- مثال

ق = ٦ وحدات، ع = ٨ وحدات.

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٦) (٨) ضع ٦ بدلاً من ق، ٨ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٤٨) اضرب.

= ٢٤ وحدة٢

٦- مثال

ق = ٥ وحدات، ع = ٣ وحدات.

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٥) (٣) ضع ٥ بدلاً من ق، ٣ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٥) اضرب.

= ٧,٥ وحدة٢

٧- مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٩) (١٠) ضع ٩ بدلاً من ق، ١٠ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٩٠) اضرب.

= ٤٥ ملم٢

٨- مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٢٤,٨) (١٦) ضع ٢٤,٨ بدلاً من ق، ١٦ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٣٩٦,٨) اضرب.

= ١٩٨,٤ سم٢

٩- مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٢٥) (٧) ضع ٢٥ بدلاً من ق، ٧ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٧٥) اضرب.

= ٨٧,٥ كلم٢

١٠- مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٤١,٥) (٣٦) ضع ٤١,٥ بدلاً من ق، ٣٦ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٤٩٤) اضرب.

= ٧٤٧ م٢

١١- الارتفاع ١٤م وطول القاعدة ٣٥م.

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٣٥) (١٤) ضع ٣٥ بدلاً من ق، ١٤ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٤٩٠) اضرب.

= ٢٤٥ م٢

١٢- الارتفاع ٢٧ سم وطول القاعدة ١٩سم.

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (١٩) (٢٧) ضع ١٩ بدلاً من ق، ٢٧ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٥١٣) اضرب.

= ٢٥٦,٥ م٢

١٣- مساكن: يريد صاحب البيت المجاور أن يغطي المنطقة المثلثة الشكل من السقف بألواح خشبية ما مساحة الخشب الذي يغطي هذه المنطقة؟

مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة الخشب الذي يغطي المنطقة.

= right to left ١ over (٧) (٤) ضع ٧ بدلاً من ق، ٤ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٢٨) اضرب.

= ١٤ م٢

١٤- هندسة: يريد مهندس معماري أن يعمل تصميماً لبناء على قطعة أرض مثلثية فإذا كان طول القاعدة القطعة ١٠٠,٨ م وارتفاعها ٩٦,٣م فأوجد مساحتها.

م = right to left ١ over ق ع مساحة قطعة الأرض المثلثية.

= right to left ١ over (١٠٠,٨) (٩٦,٣) ضع ١٩ بدلاً من ق، ٢٧ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٩٧٠٧,٠٤) اضرب.

= ٤٨٥٣,٥٢ م٢

١٥- أحواض أزهار: أوجد مساحة الأزهار الموضح في الشكل المقابل وإذا كان الكيس الواحد من التربة الجاهزة يكفي تغطية نصف متر مربع من الحوض فما عدد الأكياس اللازمة لتغطية حوض الأزهار كاملاً؟

مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة حوض الأزهار.

= right to left ١ over (٣) (٢) ضع ٣ بدلاً من ق، ٢ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (٦) اضرب.

= ٣ م٢

الكيس الواحد يكفي لتغطية نصف متر مربع إذن عدد الأكياس اللازمة لتغطية حوض الأزهار كاملاً.

= ٣ ÷ ٠,٥

= ٦ أكياس.

١٦- أعلام: ما مساحة المثلث في علم دولة السودان المجاور؟

مثال

م = right to left ١ over ق ع مساحة المثلث.

= right to left ١ over (٤٠) (٣٢) ضع ٤٠ بدلاً من ق، ٣٢ بدلاً من ع.

= right to left ١ over (١٢٨٠) اضرب.

= ٦٤٠ سم٢

أشكال مركبة: أوجد المحيط والمساحة لكل شكل مما يأتي:

١٧- مثال

محيط الشكل = مجموع أطوال أضلاعه.

= ٢ + ٤ + ٥ + ٥ = ١٦ سم.

قاعدة المثلث = ٥ - ٢ = ٣ سم.

مساحة الشكل = مساحة المثلث + مساحة المستطيل.

= right to left ١ over ق ع + ل ض

= right to left ١ over (٣) (٤) + right to left ١ over (٤) (٢)

= ٦ + ٨ = ١٤ سم٢

١٨- مثال

محيط الشكل = مجموع أطوال أضلاعه.

= ١٠ + ٩ + ١٠ + ٦ + ٩ + ٦ = ٥٠ ملم

مساحة الشكل = مساحة المثلث + مساحة المستطيل + مساحة المثلث.

= right to left ١ over ق ع + ل ض + right to left ١ over ق ع

= right to left ١ over (٦) (٨) + (٩) (٨) + (٦) (٨)

= ٢٤ + ٧٢ + ٢٤ = ١٢٠ ملم٢

١٩- اكتشف الخطأ: أوجد كل من فهد وسعد طول قاعدة المثلث المجاور الذي مساحته ١٠٠م٢ ‌أيهما كانت صحيحة؟ فسر إجابتك.

مثال

مثال

تفسير الإجابة: لأن مساحة المثلث = right to left ١ over ق ع وليس ق ع.

تح د: إذا علمت أن المثلثات جميعها متطابقة والمربعات الصغيرة جميعها متطابقة في النمط المقابل فحل الأسئلة ٢٠ - ٢٣:

مثال

٢٠- أوجد طول القاعدة أحد المثلثات الصغيرة وارتفاعه.

طول ضلع المربع الصغير = right to left ١٢ over = ٤ سم.

قاعدة المثلث = طول ضلع المربع الصغير = ٤ سم.

ارتفاع المثلث = نصف طول الضلع المربع الصغير = right to left ٤ over = ٢ سم.

٢١- احسب مساحة كل مثلث ثم أوجد المساحة الكلية للمثلثات جميعها.

مساحة كل مثلث = right to left ١ over ق ع = right to left ١ over (٤)(٢) = ٤سم٢

المساحة الكلية للمثلثات جميعها = ١٦ × ٤ = ٦٤ سم٢

٢٢- احسب مساحة أحد المربعات الصغيرة ثم احسب المساحة الكلية للمربعات (التي لا يوجد بداخلها مثلثات).

مساحة أحد المربعات الصغيرة = طول الضلع في نفسه.

= ٤ × ٤ = ١٦ سم٢

المساحة الكلية = ٥ × ١٦ = ٨٠ سم٢

٢٣- ما المساحة الكلية للشكل؟ وهل إجابتك معقولة؟

المساحة الكلية للشكل = ١٢ × ١٢ = ١٤٤ سم٢

نعم الإجابة مقبولة.

٢٤- تبرير: إذا كان هناك مثلثان مساحة كل منهما ٢٤ وحدة مربعة فهل لهما طول القاعدة نفسها والارتفاع ذاته دائماً؟ فسر إجابتك.

لا مثال

٢٥- اكتب: ارسم مثلثاً واختر زمراً لقاعدته وآخر لارتفاعه ثم ارسم مثلثاً آخر له القاعدة نفسها وارتفاعه يساوي مثلي ارتفاع المثلث الأول ثم أوجد مساحة كل منهما واكتب النسبة بين مساحتيهما.

مثال

مساحة المثلث = right to left ١ over ق ع

= right to left ١ over (٢س) (ص)

= س ص سم٢

النسبة بين مساحتيهما = ٢:١

مثال

مساحة المثلث = right to left ١ over ق ع

= right to left fraction numerator ١ over denominator down diagonal strike ٢ end fracti (right to left down diagonal strike �س)(٢ص)

= ٢س ص سم٢

تدريب على اختبار

٣٦- قصت سيرين مثلثاً من الورق المقوى لعمل منظر على شكل مثلث قائم الزاوية كالمرسوم أدناه.

مثال

إذا كانت مساحة المثلث ٨٤,٥ سم٢ ، فما ارتفاعه؟

أ. ٦,٥ سم

ب. ١٣ سم

جـ. ٢٦ سم

د. ١٦٩ سم

٣٧- يبين الجدول أدناه مساحات مثلثات لها الارتفاع نفسه ولكن تختلف في طول القاعدة.

مساحات المثلثات

الارتفاع

(وحدات)

القاعدة

(الارتفاع)

المساحات

(وحدة مربعة)

٧ ٢ ٧
٧ ٣ right to left ١ over ٢ space ١٠ s
٧ ٤ ١٤
٧ ٥ right to left ١ over ٢ space ١٧ s
٧ س ......

أي عبارة مما يأتي يمكن استعمالها لإيجاد مساحة مثلث ارتفاعه ٧ وحدات وطول قاعدته س وحدة؟

أ. ٧ س

ب. right to left fraction numerator ٧ س over denominator ٢ end fract

جـ. right to left ٧ over

د. right to left س over