حلول الأسئلة
السؤال
طوله ٤ سم، وعرضه ٦ سم، وارتفاعه ١٧ سم.
الحل
ح = ٤ × ٦ × ١٧ = ٤٠٨ سم٣
شاهد حلول جميع الاسئلة
حل أسئلة تدرب وحل المسائل
أوجد حجم كل مجسم مما يأتي مقرباً الجواب إلى جزء من عشرة إذا لزم الأمر:
٦-
ح = ٤ × ٤ × ١,٥ = ٣٠ سم٣
٧-
ح = ٦ × ٦ × ٦ = ٢١٦ ملم٣
٨-
ح = × ٧ × ١٠ × ١٥ = ٥٢٥ قدم مكعب.
٩-
ح = × ١٢ × ٨ × ١٦ = ٧٦٨ م٣
١٠-
ح = ٣,١٤ × (٧,٤)٢ × ١٤ = ٢٤٠٨,٥ سم٣
١١-
ح = ٣,١٤ × (١,٤)٢ × ٩ = ٥٥,٤ م٣
١٢- منشور رباعي: طوله ٤ سم، وعرضه ٦ سم، وارتفاعه ١٧ سم.
ح = ٤ × ٦ × ١٧ = ٤٠٨ سم٣
١٣- منشور ثلاثي: ارتفاعه م وقاعدته مثلثة الشكل ارتفاعها ١٤م، وطول قاعدته ٥م.
ح = × ٥ × ١٤ × ٨,٥ = ٢٩٧,٥ م٣
١٤- أسطوانة: نصف قطر قاعدتها ٢٥ ملم، وارتفاعها ٢٠ ملم.
ح = ٣,١٤ × ٢٢٥ × ٢٠ = ٣٩٢٦٩٦,٩ ملم٣
١٥- أسطوانة: قطر قاعدتها ٧,٢ بوصات، وارتفاعها ٥,٨ بوصات.
ح = ٣,١٤ × (٣,٦)٢ × ٥,٨ = ٢٣٦,١ بوصة
١٦- صندوق: أوجد حجم صندوق المجوهرات الموضح أدناه؟
حجم المنشور الرباعي = ٧ × ١٥ × ٩ = ٩٤٥
حجم نصف الأسطوانة = (٣,١٤ × ٣,٥ ٢ × ١٥)
= ٢٨٨,٤ بوصة مكعب.
إذن حجم الصندوق = ١٢٣٣,٤ بوصة مكعبة.
١٧- مناشف: يبين الشكل أدناه أبعاد لفة مناشف ورقية جديدة فما حجمها؟
ح = ٣٨٦٥ سم٣
١٨- بناء: طوب بناء خرساني على شكل منشور رباعي فيه ثقبان متساويان كما في الشكل المجاور ما حجم مادة الخرسانة في طوب البناء؟
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع.
القاعدة مستطيل لذلك م = الطول × العرض.
= ٢٠ × ٤٠ = ٨٠٠
حجم المنشور = ٨٠٠ × ٢٠ = ١٦٠٠٠ سم٣
حجم الثقبان = ٢(١٢ × ١٠ × ٢٠) = ٤٨٠٠ سم٣
الحجم المطلوب = ١٦٠٠٠ - ٤٨٠٠ = ١١٢٠٠ سم٣
١٩- أوجد ارتفاع منشور رباعي طوله ٦,٨م وعرضه ١,٥ م وحجمه ٩١,٨ م٣
ارتفاع المنشور = الحجم ÷ المحيط = ٩١,٨ ÷ (٦,٨ × ١,٥) = ٩ م.
٢٠- أوجد ارتفاع أسطوانة طول نصف قطرها ٤سم وحجمها ٣٠١,٦ سم٣
ارتفاع الأسطوانة = ٣٠١,٦ ÷ (٣,١٤ × ٢ × ٤) = ٦ سم.
٢١- تجارة: اشترى تاجر كمية من السمسم حجمها ٢٥٠٠ بوصة مكعبة ثم وزعها في علب أبعادها ٢ × ٦ × ٨ بوصات فإذا باع ٢٠ علبة منها فكم يبقى من كمية السمسم؟
حجم السمسم ٢٥٠٠ بوصة مكعبة وزعت على علب حجمها ٢ × ٦ × ٨ = ٩٦ بوصة مكعبة.
باع ٢٠ علبة وحجم العلبة ٩٦، إذن ٢٠ × ٩٦ = ١٩٢٠
٢٥٠٠ - ١٩٢٠ = ٥٨٠ بوصة مكعبة بقيت من السمسم.
٢٢- تغليف: يبين الشكل المجاور علبة كرتونية إذا قررت الشركة المصنعة استعمال تصميم جديد للعلبة بالحجم والارتفاع نفسه ولكن بشكل أسطواني فما طول قطر قاعدة الشكل الجديد الذي يمكن استعماله؟
الحجم = ٨ × ٣ × ٩ = ٢١٦
حجم الشكل الأسطواني = ط نق٢ ع
نق٢ = ح ÷ (ط ×ع) = ٢١٦ ÷ (٣,١٤ × ٩) = ٧,٦
نق = ٢,٧
القطر = ٥,٦ بوصة.
٢٣- برك: قرر أحمد حفر بركة سباحة لأطفاله بطول ٢٠ قدماً وعرض ١١ قدماً وعمق ٢,٥ قدم وسينقل التراب الناتج عن الحفر بعربة تتسع لـ ٩ أقدام مكعبة من التراب فكم مرة تستعمل العربة لنقل التراب من الموقع؟
حجم البركة = ٢٠ × ١١ × ٢,٥ = ٥٥٠ قدم.
العربة تتسع لـ ٩ أقدام إذن عدد مرات النقل = ٥٥٠ ÷ ٩ = ٦٢ مرة تقريباً.
٢٤- حدائق: يعمل ابراهيم حوضاً لزراعة الخضراوات بالقياسات المبينة واستعمل لذلك أكياس تراب سعة الواحدة منها ٠,٥ ياردة مكعبة فكم كيساً يحتاجها لملء الحوض؟
(ارشاد: ١ ياردة مكعبة = ٣ × ٣ × ٣ = ٢٧ قدماً مكعبة).
حجم الحوض = ٨ × ١٠ ×١ = ٨٠
حجم الكيس = ٠,٥ ياردة = ٠,٥ × ٢٧ = ١٣,٥ قدم.
إذن يحتاج لملئ الحوض ٨٠ ÷ ١٣,٥ = ٦ أكياس.
٢٥- هندسة: اشرح كيف يمكنك إيجاد حجم المنشور السداسي المجاور ثم أوجد حجمه.
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = ٦٤ × ٧ = ٤٤٨ م٣
٢٦- افترض أن لديك بطاقة ملاحظات مستطيلة الشكل بعداها ٢١سم × ٧ سم إذا دورت البطاقة حول ضلعها الأطوال ثم حول ضلعها الأقصر كما في الشكل أدناه فكونت أسطوانتين مختلفتين أي الأسطوانتين حجمها أكبر؟ فسر إجابتك.
حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع
حجم الأسطوانة (١) = ط نق٢ × ١٢ = ط × ٢٧ × ١٢ = ١٨٤٧,٢٥
حجم الأسطوانة (٢) = ط نق٢ × ٧ = ط ×٢١٢ × ٧ = ٣١٦٦,٧٢
حجم الأسطوانة (٢) التي نصف قطرها ١٢ هي الأكبر.
تحد: للأسئلة (٢٧-٣٠) صف كيف يتأثر حجم كل مجسم مما يأتي بعد إجراء التغيير المذكور في أبعاده.
٢٧- مضاعفة أحد أبعاد المنشور المستطيلي.
٢ م ع = مثلي الحجم.
٢٨- مضاعفة بعدين من أبعاد المنشور المستطيلي.
٢ × ٢ م ع = ٤ أمثال الحجم الأصلي
٢٩- مضاعفة جميع أبعاد المنشور المستطيلي.
٢ × ٢ × ٢ = ٨ أمثال الحجم الأصلي
٣٠- مضاعفة نصف قطر قاعدة الأسطوانة
٤ أمثال الحجم الأصلي
٣١- مسألة مفتوحة: اختر مجسماً أسطوانياً ثم أوجد حجمه وتحقق من استعمال وحدات مناسبة وفسر إجابتك
بفرض المجسم الأسطواني كالآتي:
فيكون حجمه = ٣,١٤ × (١,٤)٢ × ٩ = ٥٥,٤ م٣
٣٢- اكتشف الخطأ: أوجد كل من زيد ولؤي حجم المنشور المجاور فأيهما توصل للجواب الصحيح؟
لؤي: لأن قاعدة المنشور هي مثلث ومساحة
= × القاعدة × الارتفاع
والارتفاع = ٩ سم
٣٣- اكتب: اكتب صيغتين يمكنك استعمالهما لإيجاد حجم المنشور المستطيلي (متوازي المستطيلات) واذكر الصيغة التي تفضلها وبين سبب ذلك.
ح = م × ع
ح = س × ص × ع وأفضل الصيغة الأولى لأنها أشمل.
٣٤- أسطوانة طول قطرها ١٢ بوصة وارتفاعها ٣٠ بوصة قدر حجم الأسطوانة بالأقدام المكعبة؟
(ارشاد: ١ قدم = ١٢ بوصة).
أ. ١ قدم مكعبة
ب. ٢ قدم مكعبة
جـ. ٣ أقدام مكعبة
د. ٤ أقدام مكعبة
حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع
القطر = = ١ قدم
حجم الأسطوانة (١) = ط نق٢ × = ط (٠,٥) × ٢ قدم.
٣٥- إجابة قصيرة: صندوق مصنوع من الكرتون أبعاده موضحة على الشكل أدناه ما حجم الصندوق بالأقدام المكعبة؟
حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع
القاعدة مستطيل لذلك: م = الطول × العرض
= ١٥ × ٤٨ = ٧٢٠
حجم المنشور = ٧٢٠ × ٢٤ = ١٧٢٨٠ بوصة.