افترض أن لديك بطاقة ملاحظات مستطيلة الشكل بعداها ٢١سم × ٧ سم إذا دورت البطاقة حول ضلعها الأطوال ثم حول ضلعها الأقصر كما في الشكل أدناه فكونت أسطوانتين مختلفتين أي الأسطوانتين حجمها أكبر؟ فسر إجابتك.

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع

حجم الأسطوانة (١) = ط نق^٢ × ١٢ = ط × ^٢ ٧ × ١٢ = ١٨٤٧,٢٥

حجم الأسطوانة (٢) = ط نق^٢ × ٧ = ط × ^٢ ١٢ × ٧ = ٣١٦٦,٧٢

حجم الأسطوانة (٢) التي نصف قطرها ١٢ هي الأكبر.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد حجم كل مجسم مما يأتي مقرباً الجواب إلى جزء من عشرة إذا لزم الأمر:

٦-

ح = ٤ × ٤ × ١,٥ = ٣٠ سم^٣

٧-

ح = ٦ × ٦ × ٦ = ٢١٦ ملم^٣

٨-

ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٧ × ١٠ × ١٥ = ٥٢٥ قدم مكعب.

٩-

ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٢ × ٨ × ١٦ = ٧٦٨ م^٣

١٠-

ح = ٣,١٤ × (٧,٤)^٢ × ١٤ = ٢٤٠٨,٥ سم^٣

١١-

ح = ٣,١٤ × (١,٤)^٢ × ٩ = ٥٥,٤ م^٣

١٢- منشور رباعي: طوله ٤ سم، وعرضه ٦ سم، وارتفاعه ١٧ سم.

ح = ٤ × ٦ × ١٧ = ٤٠٨ سم^٣

١٣- منشور ثلاثي: ارتفاعه $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}} \mathrm{٨}$ م وقاعدته مثلثة الشكل ارتفاعها ١٤م، وطول قاعدته ٥م.

ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٥ × ١٤ × ٨,٥ = ٢٩٧,٥ م^٣

١٤- أسطوانة: نصف قطر قاعدتها ٢٥ ملم، وارتفاعها ٢٠ ملم.

ح = ٣,١٤ × ^٢٢٥ × ٢٠ = ٣٩٢٦٩٦,٩ ملم^٣

١٥- أسطوانة: قطر قاعدتها ٧,٢ بوصات، وارتفاعها ٥,٨ بوصات.

ح = ٣,١٤ × (٣,٦)^٢ × ٥,٨ = ٢٣٦,١ بوصة

١٦- صندوق: أوجد حجم صندوق المجوهرات الموضح أدناه؟

حجم المنشور الرباعي = ٧ × ١٥ × ٩ = ٩٤٥

حجم نصف الأسطوانة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$(٣,١٤ × ٣,٥ ^٢ × ١٥)

= ٢٨٨,٤ بوصة مكعب.

إذن حجم الصندوق = ١٢٣٣,٤ بوصة مكعبة.

١٧- مناشف: يبين الشكل أدناه أبعاد لفة مناشف ورقية جديدة فما حجمها؟

ح = ٣٨٦٥ سم^٣

١٨- بناء: طوب بناء خرساني على شكل منشور رباعي فيه ثقبان متساويان كما في الشكل المجاور ما حجم مادة الخرسانة في طوب البناء؟

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع.

القاعدة مستطيل لذلك م = الطول × العرض.

= ٢٠ × ٤٠ = ٨٠٠

حجم المنشور = ٨٠٠ × ٢٠ = ١٦٠٠٠ سم^٣

حجم الثقبان = ٢(١٢ × ١٠ × ٢٠) = ٤٨٠٠ سم^٣

الحجم المطلوب = ١٦٠٠٠ - ٤٨٠٠ = ١١٢٠٠ سم^٣

١٩- أوجد ارتفاع منشور رباعي طوله ٦,٨م وعرضه ١,٥ م وحجمه ٩١,٨ م^٣

ارتفاع المنشور = الحجم ÷ المحيط = ٩١,٨ ÷ (٦,٨ × ١,٥) = ٩ م.

٢٠- أوجد ارتفاع أسطوانة طول نصف قطرها ٤سم وحجمها ٣٠١,٦ سم^٣

ارتفاع الأسطوانة = ٣٠١,٦ ÷ (٣,١٤ × ٢ × ٤) = ٦ سم.

٢١- تجارة: اشترى تاجر كمية من السمسم حجمها ٢٥٠٠ بوصة مكعبة ثم وزعها في علب أبعادها ٢ × ٦ × ٨ بوصات فإذا باع ٢٠ علبة منها فكم يبقى من كمية السمسم؟

حجم السمسم ٢٥٠٠ بوصة مكعبة وزعت على علب حجمها ٢ × ٦ × ٨ = ٩٦ بوصة مكعبة.

باع ٢٠ علبة وحجم العلبة ٩٦، إذن ٢٠ × ٩٦ = ١٩٢٠

٢٥٠٠ - ١٩٢٠ = ٥٨٠ بوصة مكعبة بقيت من السمسم.

٢٢- تغليف: يبين الشكل المجاور علبة كرتونية إذا قررت الشركة المصنعة استعمال تصميم جديد للعلبة بالحجم والارتفاع نفسه ولكن بشكل أسطواني فما طول قطر قاعدة الشكل الجديد الذي يمكن استعماله؟

الحجم = ٨ × ٣ × ٩ = ٢١٦

حجم الشكل الأسطواني = ط نق^٢ ع

نق^٢ = ح ÷ (ط ×ع) = ٢١٦ ÷ (٣,١٤ × ٩) = ٧,٦

نق = ٢,٧

القطر = ٥,٦ بوصة.

٢٣- برك: قرر أحمد حفر بركة سباحة لأطفاله بطول ٢٠ قدماً وعرض ١١ قدماً وعمق ٢,٥ قدم وسينقل التراب الناتج عن الحفر بعربة تتسع لـ ٩ أقدام مكعبة من التراب فكم مرة تستعمل العربة لنقل التراب من الموقع؟

حجم البركة = ٢٠ × ١١ × ٢,٥ = ٥٥٠ قدم.

العربة تتسع لـ ٩ أقدام إذن عدد مرات النقل = ٥٥٠ ÷ ٩ = ٦٢ مرة تقريباً.

٢٤- حدائق: يعمل ابراهيم حوضاً لزراعة الخضراوات بالقياسات المبينة واستعمل لذلك أكياس تراب سعة الواحدة منها ٠,٥ ياردة مكعبة فكم كيساً يحتاجها لملء الحوض؟

(ارشاد: ١ ياردة مكعبة = ٣ × ٣ × ٣ = ٢٧ قدماً مكعبة).

حجم الحوض = ٨ × ١٠ ×١ = ٨٠

حجم الكيس = ٠,٥ ياردة = ٠,٥ × ٢٧ = ١٣,٥ قدم.

إذن يحتاج لملئ الحوض ٨٠ ÷ ١٣,٥ = ٦ أكياس.

٢٥- هندسة: اشرح كيف يمكنك إيجاد حجم المنشور السداسي المجاور ثم أوجد حجمه.

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع = ٦٤ × ٧ = ٤٤٨ م^٣

٢٦- افترض أن لديك بطاقة ملاحظات مستطيلة الشكل بعداها ٢١سم × ٧ سم إذا دورت البطاقة حول ضلعها الأطوال ثم حول ضلعها الأقصر كما في الشكل أدناه فكونت أسطوانتين مختلفتين أي الأسطوانتين حجمها أكبر؟ فسر إجابتك.

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع

حجم الأسطوانة (١) = ط نق^٢ × ١٢ = ط × ^٢٧ × ١٢ = ١٨٤٧,٢٥

حجم الأسطوانة (٢) = ط نق^٢ × ٧ = ط ×^٢١٢ × ٧ = ٣١٦٦,٧٢

حجم الأسطوانة (٢) التي نصف قطرها ١٢ هي الأكبر.

تحد: للأسئلة (٢٧-٣٠) صف كيف يتأثر حجم كل مجسم مما يأتي بعد إجراء التغيير المذكور في أبعاده.

٢٧- مضاعفة أحد أبعاد المنشور المستطيلي.

٢ م ع = مثلي الحجم.

٢٨- مضاعفة بعدين من أبعاد المنشور المستطيلي.

٢ × ٢ م ع = ٤ أمثال الحجم الأصلي

٢٩- مضاعفة جميع أبعاد المنشور المستطيلي.

٢ × ٢ × ٢ = ٨ أمثال الحجم الأصلي

٣٠- مضاعفة نصف قطر قاعدة الأسطوانة

٤ أمثال الحجم الأصلي

٣١- مسألة مفتوحة: اختر مجسماً أسطوانياً ثم أوجد حجمه وتحقق من استعمال وحدات مناسبة وفسر إجابتك

بفرض المجسم الأسطواني كالآتي:

فيكون حجمه = ٣,١٤ × (١,٤)^٢ × ٩ = ٥٥,٤ م^٣

٣٢- اكتشف الخطأ: أوجد كل من زيد ولؤي حجم المنشور المجاور فأيهما توصل للجواب الصحيح؟

لؤي: لأن قاعدة المنشور هي مثلث ومساحة

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × القاعدة × الارتفاع

والارتفاع = ٩ سم

٣٣- اكتب: اكتب صيغتين يمكنك استعمالهما لإيجاد حجم المنشور المستطيلي (متوازي المستطيلات) واذكر الصيغة التي تفضلها وبين سبب ذلك.

ح = م × ع

ح = س × ص × ع وأفضل الصيغة الأولى لأنها أشمل.

٣٤- أسطوانة طول قطرها ١٢ بوصة وارتفاعها ٣٠ بوصة قدر حجم الأسطوانة بالأقدام المكعبة؟

(ارشاد: ١ قدم = ١٢ بوصة).

أ. ١ قدم مكعبة

ب. ٢ قدم مكعبة

جـ. ٣ أقدام مكعبة

د. ٤ أقدام مكعبة

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع

القطر = $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{١٢}}$ = ١ قدم

حجم الأسطوانة (١) = ط نق^٢ × $\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{١٢}}$ = ط (٠,٥) × $\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{١٢}}$ $\approx$٢ قدم.

٣٥- إجابة قصيرة: صندوق مصنوع من الكرتون أبعاده موضحة على الشكل أدناه ما حجم الصندوق بالأقدام المكعبة؟

حجم المنشور = مساحة القاعدة × الارتفاع

القاعدة مستطيل لذلك: م = الطول × العرض

= ١٥ × ٤٨ = ٧٢٠

حجم المنشور = ٧٢٠ × ٢٤ = ١٧٢٨٠ بوصة.