أنشئ نموذج جبل بركاني ليكون مشروعاً في مادة العلوم على شكل مخروط طول قاعدته ٨ سم فإذا كان حجم النموذج ٢٠١ سم ^٣ تقريباً فما ارتفاعه؟

الحجم = ٢٠١ سم^٣ ، نق = ٤ ، وبما أن ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط نق ^٢ ع

إذن ارتفاع المخروط = ٣ ح ÷ (٣,١٤ × ١٦) = ١٢ سم.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد حجم كل هرم مما يأتي مقرباً الجواب إلى أقرب جزء من عشرة:

٩-

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ م ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٤ × ٦,٥ × ٥ = ٤٣,٣ م^٣

١٠-

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ م ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٣ × ٦ × ١٥ = ١٩٥ ملم^٣

١١-

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ م ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٤,٨ × ٤,٨ × ٨ = ٦١,٤ سم^٣

١٢- هرم ثلاثي: قاعدته على شكل مثلث طول قاعدته ١٠ سم وارتفاعه ٧ سم وارتفاع الهرم١٥ سم.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ م ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٠ × ٧ × ١٥ = ١٧٥ سم^٣

أوجد حجم كل مخروط مما يأتي مقرباً الجواب إلى أقرب جزء من عشرة:

١٣-

ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط نق^٢ ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٣,١٤ × ٢٢,٨١ = ١٨٦٦,١ قدم مكعب.

١٤-

ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط نق^٢ ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٣,١٤ × ١ × ٢,٥ = ٢,٦ ميل مكعب.

١٥-

ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط نق^٢ ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٣,١٤ × ١١٠,٢٥ × ١٥ = ١٧٣١,٨ ملم^٣

١٦- مخروط: قطر قاعدته ١٢م وارتفاعه ٥ م.

ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط نق^٢ ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٣,١٤ × ٣٦ × ٥ = ١٨٨,٥ م^٣

١٧- علوم: أنشئ نموذج جبل بركاني ليكون مشروعاً في مادة العلوم على شكل مخروط طول قاعدته ٨ سم فإذا كان حجم النموذج ٢٠١ سم^٣ تقريباً فما ارتفاعه؟

الحجم = ٢٠١ سم^٣، نق = ٤ ، وبما أن ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط نق^٢ ع

إذن ارتفاع المخروط = ٣ ح ÷ (٣,١٤ × ١٦) = ١٢ سم.

أوجد حجم كل مجسم مقرباً الجواب إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر:

١٨-

حجم المنشور = ٦ × ١٥ × ٨ = ٧٢٠

حجم الهرم = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ م ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$(١٥ × ٦) × = ١٢٠

إذن حجم المجسم = ٧٢٠ + ١٢٠ = ٨٤٠ قدم مكعب.

١ ٩-

حجم الهرم الأعلى = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ م ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ×(٢ × ٣) × ٢,٥ = ٥

حجم الهرم الأسفل = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ م ع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ×(٢ × ٣) × ٤ = ٨

إذن حجم المجسم = ٥ + ٨ = ١٣ م^٣

٢٠-

حجم المخروط الأول = حجم الهرم الأعلى = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط نق^٢ ع

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٣,١٤ × ٩ × ٦ = ٥٦,٥٢

حجم المخروط الثاني = حجم الهرم الأعلى = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ط نق^٢ ع

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٣,١٤ × ٩ × ٥ = ٤٧,١

إذن حجم المجسم = ٥٦,٥٢ + ٤٧,١ = ١٠٣,٧ سم^٣

٢١-

حجم القبعة = = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ط نق^٢ ع

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٣,١٤ × ١٦ × ٦ = ١٠٠,٤٨ بوصة مكعبة.

٢٢- قبعات: يريد مهرج أن يملأ قبعته رملاً استعمل الرسم المجاور لتحديد كم تسع قبعته من الرمل.

حجم القبعة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ط نق^٢ ع.

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ٣,١٤ × ١٦ × ٦ = ١٠٠,٤٨ بوصة مكعبة.

٢٣ - تحد: ماذا يحدث لارتفاع مخروط عند ضرب نصف القطر في ثلاثة مع المحافظة على الحجم نفسه؟

ع = ٣ ح ÷ (ط نق^٢ ) وبضرب نق × ٣ تكون ع = ح ÷ ط نق^٢

إذن يقل الارتفاع إلى $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

٢٤- الحس العددي: أيهما له تأثير أكبر في حجم المخروط: مضاعفة نصف قطره أم مضاعفة ارتفاعه؟ برر إجابتك.

عند مضاعفة نصف القطر يتضاعف الحجم ٤ أمثاله، أما عند مضاعفة الارتفاع فيتضاعف الحجم مثلين.

٢٥- اكتب: موقفاً من واقع الحياة يمكن أن يحل بإيجاد حجم المخروط.

إيجاد كمية آيس كريم في علبة مخروط الشكل.

٢٦- هرم قاعدته مستطيلة الشكل بعداها ١٨ بوصة × ٣٠ بوصة أي مما يأتي أقرب إلى حجم الهرم بالأقدام المكعبة؟

أ. ٢,٥ قدم مكعبة.

ب. ٣ أقدام مكعبة.

جـ. ٤ أقدام مكعبة.

د. ٥,٥ أقدام مكعب.

حجم الهرم = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ مساحة القاعدة × الارتفاع.

= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × $\frac{\mathrm{١٨}}{\mathrm{١٢}}\times \frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{١٢}}\times \frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{١٢}}= \mathrm{٣}.\mathrm{٧٥}$ ≈ ٤

٢٧- ما حجم الأسطوانة المجاورة؟ مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة إذا لزم الأمر.

أ. ٤٨ قدماً مكعبة.

ب. ١٥٠,٣ قدماً مكعبة.

جـ. ٢٨٨ قدماً مكعبة.

د. ٩٠٤,٨ أقدام مكعبة.

حجم الأسطوانة = ط نق^٢ ع

حجم الأسطوانة = ط (٦)^٢ × ٨ = ٩٠٤,٨ أقدام مكعبة.