اشترت هناء وعاء البنات المجاور فإذا كان طول قطره الداخلي ٨ بوصات وارتفاعه ١٠ بوصات وسمك الإناء $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ بوصة وأرادت هناء طلاء قاعدة الوعاء وسطحه من الداخل والخارج فكم بوصة مربعة من الغناء يجب أن تطلى؟

مساحة السطح الخارجية (نق = ٤ بوصة)

ج = ٢ × ٣,١٤ × ٤ × ١٠ = ٢٥١,٢ بوصة^٢

ك = ٢٥١,٢ + ٢(٣,١٤ ×١٦) = ٣٥١,٦٨ بوصة^٢

مساحة السطح الداخلي (نق = ٤ - ٠,٥ = ٣,٥ بوصة)

ج = ٢ × ٣,١٤ × ٣,٥ × ١٠ = ٢١٩,٨ بوصة^٢

ك = ٢١٩,٨ + ٢(٣,١٤ ×١٢,٢٥) = ٢٩٦,٧٣ بوصة^٢

المساحة التي يجب أن تطلى = المساحة الخارجية + المساحة الداخلية = ٣١٥,٦٨ + ٢٩٦,٧٣ = ٦١٢,٤١ بوصة^٢

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح كل مجسم مما يأتي مقرباً الجواب إلى أقرب عشر:

٦-

ج = ٢(٧,٥ + ٨,٣) × ١,٤ = ٤٤,٢٤ سم^٢

ك = ٤٤,٢ + ٢(٧,٥ × ٨,٣) = ١٦٨,٨ سم^٢

٧-

ج = ٢(٤ + ٣,٥) × ٢ = ٣٠ بوصة^٢

ك = ٣٠ + ٢(٤ × ٣,٥) = ٥٨ بوصة^٢

٨-

ج = ٢(٥ + ١٣ + ١٢) × ١٠ = ٣٠٠ قدم^٢

ك = ٣٠٠ + ٢ ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٢ × ٥) = ٣٦٠ قدم^٢

٩-

ج = (٨,٢ + ٨,٥ + ١١,٢) × ٩,٥ = ٢٦٥,١ م^٢

ك = ٢٦٥,١ + ٢ ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١١,٢ × ٦) = ٣٣٢,٣ م^٢

١٠-

ج= ٢ × ٣,١٤ × ٧,٥ × ١٧ = ٨٠٠,٧ سم^٢

ك = ٨٠٠,٧ + ٢(٣,١٤ × ٥٦,٢٥) = ١١٥٣,٩٥ سم^٢

١١-

ج = ٢ × ٣,١٤ × ٤,٦ × ٧ = ٢٠٢,٢ ملم^٢

ك = ٢٠٢,٢ + ٢(٣,١٤ × ٢١,٢) = ٣٣٥,١ ملم^٢

١٢- خيام: ينتج مصنع خياماً بلاستيكية كما في الشكل المجاور فما مساحة قطعة البلاستيك التي تلزم لصنع خيمة؟

ك = ج + ٢ م

بما أن المثلث متساوي الساقين إذن

ج = (١٥٢ + ١٤٣,٧ + ١٤٣,٧) × ١٨٣ = ٨٠٤١٠,٢ سم^٢

ك = ٤٢٣,٣ + ٢($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$× ١٥٢ × ١٢٢) = ٩٨٩٥٤,٢ سم^٢

١٣- فن: اشترت هناء وعاء البنات المجاور فإذا كان طول قطره الداخلي ٨ بوصات وارتفاعه ١٠ بوصات وسمك الإناء $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ بوصة وأرادت هناء طلاء قاعدة الوعاء وسطحه من الداخل والخارج فكم بوصة مربعة من الغناء يجب أن تطلى؟

مساحة السطح الخارجية (نق = ٤ بوصة)

ج = ٢ × ٣,١٤ × ٤ × ١٠ = ٢٥١,٢ بوصة^٢

ك = ٢٥١,٢ + ٢(٣,١٤ ×١٦) = ٣٥١,٦٨ بوصة^٢

مساحة السطح الداخلي (نق = ٤ - ٠,٥ = ٣,٥ بوصة)

ج = ٢ × ٣,١٤ × ٣,٥ × ١٠ = ٢١٩,٨ بوصة^٢

ك = ٢١٩,٨ + ٢(٣,١٤ ×١٢,٢٥) = ٢٩٦,٧٣ بوصة^٢

المساحة التي يجب أن تطلى = المساحة الخارجية + المساحة الداخلية = ٣١٥,٦٨ + ٢٩٦,٧٣ = ٦١٢,٤١ بوصة^٢

١٤- منشور مستطيلي (متوازي مستطيلات) طوله ١٢سم وعرضه ٤سم ومساحته الكلية تساوي ٥٧٦سم٢ فما ارتفاعه؟

ك = ج + ٢ م

٢ م = ٢ × ١٢× ٤ = ٩٦

٥٧٦ = ج + ٩٦

ج = ٥٧٦ - ٩٦ = ٤٨٠ بوصة^٢

ج = مح ع

مح = ٢(١٢ + ٤) = ٣٢

ع = ج ÷ مح = ٤٨٠ ÷ ٣٢ = ١٥ بوصة.

١٥- تغليف: صمم وعاء من الكرتون لأحد أنواع الحبوب كما في الشكل المجاور فإذا كان الحجمان متساويين تقريباً فأي الوعائين يحتاج إلى كمية أقل من الكرتون؟ فسر إجابتك.

ك للمنشور = ج + ٢ م

ج = مح ع = ٢(٤ + ٧) × ١٢ = ٢٦٤

ك = ٢٦٤ + ٢(٤ + ٧) = ٣٢٠ بوصة^٢

ك للأسطوانة = ج + ٢ م

ج= ٢ ط نق ع = ٢ × ٣,١٤ × ٣ × ١٢ = ٢٢٦,١

ك = ٢٢٦,١ + (٢ × ٣,١٤ × ٩) = ٢٨٣,٦ بوصة^٢

١٦- تبرير: حدد ما إذا كانت العبارة الآتية أم خاطئة وإذا كانت خاطئة فأعط مثالاً مضاداً: "إذا تساوى حجماً منشورين مستطيلين فإنه يكون لهما المساحة الكلية نفسها".

خاطئة: المنشور الرباعي الذي طوله ٢ سم عرضه ٤ سم وارتفاعه ٦ سم له الحجم نفسه للمنشور الرباعي الذي طوله ٢ سم عرضه ٢ سم وارتفاعه ١٢ سم والمساحة الكلية للمنشور الأول ٨٨ سم^٢ بينما المساحة الكلية للمنشور الثاني = ١٠٤ سم^٢

١٧- تحد: أي الحالتين تزداد عندها المساحة الكلية لسطح الأسطوانة بشكل أكبر: مضاعفة الارتفاع مرة أم مضاعفة نصف القطر مرة؟ فسر إجابتك.

مضاعفة نصف القطر مرتين = ٢ ط نق^٢ + ٢ ط نق ع، أما إذا تضاعف الارتفاع مرتين فإن الجزء الثاني من المعادلة يتضاعف، أما إذا تضاعف نصف القطر فإن الجزء الأول من المعادلة يضرب في ٤ ويتضاعف الجزء الثاني مرتين.

١٨- الحس العددي: إذا زدت نصف قطر أسطوانة إلى ثلاثة أمثاله ففسر كيف يؤثر ذلك في المساحة الجانبية لسطح الأسطوانة الجديدة بالنسبة لسطح الأسطوانة الأولى.

تضرب الماسحة الجانبية × ٣ فعند ضرب نصف القطر × ٣

تكون المساحة الجانبية = ٢ ط ٣ نق ع

= ٦٣ (٢ ط نق ع) أي ٣ × المساحة الجانبية الأصلية.

٢٠- قام فيصل بطلاء الصندوق الموضح بالشكل أدناه من الخارج فكم المساحة السطحية التي سيقوم فيصل بدهانها بالبوصات المربعة؟

أ. ٣٣٠ بوصة مربعة.

ب. ٣٩٩ بوصة مربعة.

جـ. ١٩٦٨ بوصة مربعة.

د. ٥٧٦٠ بوصة مربعة.

٢٠- فرشاة دهان أسطوانية كما في الشكل أدناه.

كم بوصة مربعة مساحة الجزء الذي تغطيه دورة الفرشاة مرة واحدة من الدهان على الحائط مقرباً إجابتك إلى أقرب جزء من عشرة؟

أ. ١١٣,١ بوصة مربعة.

ب. ٥٦,٥ بوصة مربعة.

جـ. ٢٨,٣ بوصة مربعة.

د. ١٨,٠ بوصة مربعة.