أوجد المساحة الجانبية والكلية لكل مجسم مما يأتي مقرباً الجواب إلى أقرب عشر:

ج للهرم = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مح ل = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × (٤×٨) × ٥ = ٨٠ ملم ^٢

ج للمكعب = مح ع = ٣٢ × ٩ = ٢٨٨ ملم^٢

ج الكلية = ٨٠ + ٢٨٨ = ٣٦٨ ملم^٢

ك للهرم = ج + م = ٨٠ + ٦٤ = ١٤٤ ملم^٢

ك للكعب = ج + ٢ م = ٢٨٨ + ٢(٦٤) = ٤١٦ ملم^٢

ك الكلية = ٤١٦ + ١٤٤ = ٥٦٠ ملم^٢

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد المساحة الجانبية والكلية لسطح كل هرم منتظم مما يأتي مقرباً الجواب إلى أقرب عشر إذا لزم الأمر:

٤-

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٨ × ٣,٥ = ١٤ سم^٢

ك = ١٤ + ٤ = ١٨ سم^٢

٥-

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٤ × ٥ = ٣٥ قدم^٢

ك= ٣٥ + ١٢,٢٥ = ٤٧,٣ قدم^٢

٦-

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (٦ + ٦ + ٦) × ٨,٣ = ٧٤,٧ م^٢

ك = ٣٥ + ١٢,٢٥ = ٤٧,٣ قدم^٢

٧-

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ (٣ × ٩) × ٧,٨ = ١٠٥,٣ ملم^٢

ك = ١٠٥,٣ + ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٩ × ٧,٨)= ١٤٠,٤ ملم^٢

٨-

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٦٠ × ١٨ = ٥٤٠ سم^٢

ك = ٥٤٠ + ٢٢٥ = ٧٦٥ سم^٢

٩-

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٩٦ × ٣٢ = ١٥٣٦ قدم^٢

ك = ١٥٣٦ + ٥٧٦ = ٢١١٢ قدم^٢

١٠- أسقف: سقف خشبي على شكل هرم طول ارتفاعه الجانبي ١٦ قدماً وقاعدته مربع طول ضلعه ٤٠ قدماً ما مساحة الخشب الذي تحتاج إليه لتغطية السقف؟

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٦٠ × ١٦ = ١٢٨٠ قدم^٢

ك = ١٢٨٠ + ١٦٠٠ = ٢٨٨٠ قدم^٢

١١- مخطط: هرم رباعي منتظم مساحته الجانبية ١٠٧,٢٥ سم^٢ وطول ارتفاعه الجانبي ٨,٢٥ سم أوجد طول ضلع من قاعدته.

ج = ١٠٧,٢٥، ل = ٨,٢٥

بما أن ١٠٧,٢٥= $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مح ل = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٨٠٢٥ مح

مح = ١٠٧,٢٥ ÷ ٤,١٢ = ٢٦,١ سم٢

مح = ٤ س

س = ٢٦,١ ÷ ٤ = ٦,٥ سم

١٢- فن العمارة: يبلغ الارتفاع الجانبي لهرم الشمس في المكسيك ١٣٢,٥م وطول ضلع قاعدته المربعة ٢٢٣,٥م أوجد مساحته الجانبية.

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٨٩٤ × ١٣٢,٥ = ٥٩٢٢٧,٥ م^٢

١٣- مخطط: يمثل الشكل المجاور مخططاً لهرم منتظم احسب المساحة الكلية للهرم.

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × (٤ ×٧) × ٧ = ٩٨ قدم^٢

ك = ٩٨ + (٧ × ٧) = ١٤٧ قدم^٢

أوجد المساحة الجانبية والكلية لكل مجسم مما يأتي مقرباً الجواب إلى أقرب عشر:

١٤-

ج للهرم = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مح ل = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × (٤×٨) × ٥ = ٨٠ ملم^٢

ج للمكعب = مح ع = ٣٢ × ٩ = ٢٨٨ ملم^٢

ج الكلية = ٨٠ + ٢٨٨ = ٣٦٨ ملم^٢

ك للهرم = ج + م = ٨٠ + ٦٤ = ١٤٤ ملم^٢

ك للكعب = ج + ٢ م = ٢٨٨ + ٢(٦٤) = ٤١٦ ملم^٢

ك الكلية = ٤١٦ + ١٤٤ = ٥٦٠ ملم^٢

١٥-

ج للهرم الأول = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٦ × ٧ = ٥٦ بوصة^٢

ج للهرم الثاني = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ١٦ × ٨ = ٦٤ بوصة^٢

ج الكلية = ٦٤ + ٥٦ = ١٢٠ بوصة^٢

ك للهرم الأول = ٥٦ + ١٦ = ٨٠ بوصة^٢

ك للهرم الثاني = ٦٤ + ١٦ = ٨٠ بوصة^٢

ك الكلية = ٧٢ + ٨٠ = ١٥٢ بوصة^٢

١٦-

ج للمكعب = مح ع = ٣٢ × ٨ = ٢٥٦ سم^٢

ج للهرم = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٣٢ × ٨,٩ = ١٤٢,٤ سم^٢

ج الكلية = ٢٥٦ - ١٤٢,٤ = ١١٣,٦ سم^٢

ك للهرم = ج + م = ١٤٢,٤ + ٦٤ = ٢٠٦,٤ سم^٢

ك الكلية = ٣٨٤ - ٢٠٦,٤ = ١٧٧,٦ سم^٢

١٧- مصباح مكتبي: اشترى عمر مصباحاً مكتبياً على شكل هرم منتظم احسب المساحة الجانبية للمصباح.

(ارشاد: استعمل نظرية فيثاغورس لإيجاد الارتفاع الجانبي).

ج = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$(٤ × ١٢) × ٨ = ١٩٢ بوصة^٢

تحد: استعمل الشكل المجاور لحل الأسئلة ١٨ - ٢٠ علماً بأن الارتفاع الكلي له ٢٠ سم.

١٨- أوجد ارتفاع الهرم(ع).

الارتفاع الكلي = ٢٠، ارتفاع المنشور = ٥

إذن ارتفاع الهرم = ٢٠ - ٥ = ١٥ سم.

١٩- استعمل ارتفاع الهرم لإيجاد الارتفاع الجانبي (ل).

الارتفاع المائل = $\sqrt{{(\mathrm{ارتفاع} \mathrm{الهرم})}^{\mathrm{٢}} + {( \mathrm{طول} \mathrm{ضلع} \mathrm{القاعدة} ÷ \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}$

ل = $\sqrt{\mathrm{٢٢٥} + \mathrm{٦٤} }$ = ١٧ سم

٢٠- أي الشكلين مساحة سطحه أكبر الهرم أم المنشور؟ برر إجابتك.

مساحة سطح الهرم = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مح ل = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٦٤ × ١٧ = ٥٤٤ سم^٢

مساحة سطح المنشور = مح ع = ٦٤ × ٥ = ٣٢٠ سم^٢

٢١- اكتشف الخطأ: أوجد كل من حمد ونواف المساحة الكلية للهرم المنتظم المجاور فأيهما توصل للجواب الصحيح؟ فسر تبريرك.

حمد هو الصحيح: لأن المساحة الجانبية للهرم تأتي من حاصل ضرب محيط القاعدة × الارتفاع الجانبي.

٢٢- مسألة مفتوحة: هرم قاعدته مربعة طول ضلعها ٣ سم وطول ارتفاعه الجانبي ٤ سم فما الأبعاد الممكنة لمنشور مستطيلي له مساحة سطح الهرم نفسها؟

٢سم، ٣سم، ٢,١سم.

٢٣- تحد: أوجد المساحة الكلية للهرم الرباعي المنتظم الذي حجمه ٤٠٠سم^٣ وطول ضلع قاعدته ١٠سم.

الحجم = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ م ع

٤٠٠ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ × ١٠٠ × ع

ع = ١٢

ل = $\sqrt{{(\mathrm{ارتفاع} \mathrm{الهرم})}^{\mathrm{٢}} + {( \mathrm{طول} \mathrm{ضلع} \mathrm{القاعدة} ÷ \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}$

= $\sqrt{\mathrm{١٤٤} + \mathrm{٢٥} }$ = ١٣

ك = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ مح ل + م = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ × ٤٠ × ١٣ + ١٠٠ = ٣٦٠

٢٤- اكتب: كيف يمكنك استعمال ارتفاع هرم لإيجاد طول ارتفاعه الجانبي؟

إذا كنت تعرف طول ضلع القاعدة يمكنك استعمال نظرية فيثاغورس إيجاد الارتفاع المائل للهرم الرباعي.

ل = $\sqrt{{(\mathrm{ارتفاع} \mathrm{الهرم})}^{\mathrm{٢}} + {( \mathrm{طول} \mathrm{ضلع} \mathrm{القاعدة} ÷ \mathrm{٢})}^{\mathrm{٢}}}$

٢٥- ما أفضل تقدير للمساحة الجانبية لسطح الهرم في الشكل أدناه؟

أ, ١٠٧ أقدام مربعة.

ب, ١٨٠ قدماً مربعة.

جـ, ٤٢٩ قدماً مربعة.

د, ٦٠٧ أقدام مربعة.

٢٦- تمثل الشبكة أدناه هرماً رباعياً إلى أقرب عدد صحيح؟ ما المساحة الجانبية لسطح الهرم؟

أ. ٣٢ سم^٢

ب. ٤٩ سم^٢

جـ. ١٢٧ سم^٢

د. ١٧٦ سم^٢