كيف يزداد حجم الأسطوانة بزيادة كل من نصف القطر والارتفاع؟

في نصف القطر والارتفاع يضرب × ٢ وبالتالي الحجم يزداد بمقدار ^٣ ٢ أي يتضاعف حجم الأسطوانة ٨ مرات.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد حجم كل أسطوانة مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب عشر:

٦ -

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (٤)^٢ × ٨

ح = ٤٠١,٩ م^٣

٧ -

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (٩)^٢ × ١٦

ح = ٤٠٦٩,٤ سم^٣

٨ -

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (١٢)^٢ × ٥

ح = ٢٢٦٠,٨ م^٣

٩ -

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (١٠,٥)^٢ × ٨

ح = ٢٧٦٩,٥ م^٣

١٠ -

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (٢)^٢ × ١٣,٣

ح = ١٦٧ سم^٣

١١ -

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (١,٨)^٢ × ٣,٥

ح = ٣٥,٦ م^٣

١٢ - القطر = ١٥ ملم، الارتفاع = ٤,٨ ملم.

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (٧,٥)^٢ × ٤,٨

ح = ٨٤٧,٨ ملم^٣

١٣ - القطر = ٤,٥ ملم، الارتفاع = ٦,٥ ملم.

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (٢,٢٥)^٢ × ٦,٥

ح = ١٠٣,٣ م^٣

١٤ - نصف القطر = ٦سم، الارتفاع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$ سم.

ح = ط نق^٢ ع

ح = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$ × (٦)^٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٥}$

ح = ٦٠٢,٩ سم^٣

١٥ - نصف القطر = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣}$ سم، الارتفاع = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٧}$ سم.

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣}$)^٢ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٧}$

ح = ٢٨٨,٥ سم^٣

١٦ - ماء: ما حجم قارورة ماء أسطوانية الشكل نصف قطرها $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣}$ سم، وارتفاعها ١٤ سم؟

• حجم قارورة الماء = ط نق^٢ ع
• حجم قارورة الماء = ٣,١٤ × ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣}$)^٢ × ١٤

ح = ٥٣٨,٥ سم^٣

١٧ - عصير: علبة عصير أسطوانية الشكل قطرها ٤ سم وارتفاعها ١٨ سم، ما كمية العصير التي يمكن أن تحويها علبة العصير؟

• كمية العصير = ط نق^٢ ع
• كمية العصير = ٣,١٤ × ^٢٢ × ١٨
• كمية العصير = ٢٢٦ سم^٣

احسب حجم كل أسطوانة مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب عشر:

١٨ -

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (٢٦)^٢ × ٤٠

ح = ٨٤٩٠٥,٦ ملم^٣

١٩ -

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (٢٣)^٢ × ٧٥

ح = ١٢٤٥٧٩,٥ م^٣

٢٠ -

ح = ط نق^٢ ع

ح = ٣,١٤ × (٣٢)^٢ × ٨٦

ح = ٢٧٦٥٢١ سم^٣

تقدير: وفق بين الأسطوانة وحجمها التقريبي في كل مما يأتي:

٢٥ - أزهار: احسب حجم وعاء أزهار أسطواني الشكل قطره ١١ سم، وارتفاعه ٢٥٠ ملم إلى أقرب سنتمتر مكعب (ط ≈ ٣,١٤).

• ح = ط نق^٢ ع
• ح = ٣,١٤ × (٥,٥)^٢ × ٢٥
• ح = ٢٣٧٥ سم^٣

٢٦ - يبين الشكل أدناه نوعين من آنية صنع الكعك، أي الآنية يتسع لكمية أكبر: الإناء في الشكل (١)، أم الإناءان معاً في الشكل (٢)؟ علل.

الشكل (١)

• ح = ل ض ع
• ح = ٣٢ × ٢٢ × ٥
• ح = ٣٥٢٠ سم^٣

الشكل (٢)

• ح = ط نق^٢ ع
• ح = ٣,١٤ × (١٠)^٢ × ٥
• ح = ١٥٧٠ سم^٣

حجم أسطوانتين الشكل الثاني = ١٥٧٠ × ٥ = ٣١٤٠ سم^٣

حجم الشكل الأول أكبر من حجم الشكل الثاني.

٢٧ - جبر: إذا علمت أن نصف قطر الأسطوانة (أ) يساوي ٤ سم، وارتفاعها يساوي ٢ سم. فما ارتفاع الأسطوانة (ب) التي نصف قطرها ٢ سم، وحجمها مساوي لحجم الأسطوانة (أ)؟

حجم الأسطوانة أ = ط نق^٢ ع

= ٣,١٤ × (٤)^٢ × ٢

= ١٠٠,٥ سم^٣

بما أن حجم الأسطوانة أ = حجم الأسطوانة ب

حجم الأسطوانة ب = ط نق^٢ ع

١٠٠,٥ = ٣,١٤ × ^٢٢ × ع

ع = ١٠٠,٥ ÷ ١٢,٥٦ = ٨ سم

تحليل جداول: استعمل المعلومات في الجدول المجاور الذي يظهر حجوم ٤ أسطوانات للإجابة عن السؤالين ٢٨، ٢٩

٢٨ - صف الزيادة في نصف القطر والارتفاع في الأسطوانات المتتالية.

يتضاعف طول نصف القطر والارتفاع في كل مرة.

٢٩ - كيف يزداد حجم الأسطوانة بزيادة كل من نصف القطر والارتفاع؟

في نصف القطر والارتفاع يضرب × ٢ وبالتالي الحجم يزداد بمقدار ^٣٢ أي يتضاعف حجم الأسطوانة ٨ مرات.

٣٠ - تحد: ورقتان متماثلتان استعملتا في تكوين أسطوانتين، وذلك بتدوير الورقة الأولى حول طولها، وتدوير الثانية حول عرضها كما في الشكل، أي الأسطوانتين أكبر حجماً؟ وضح إجابتك.

الأسطوانة الأقصر هي الأكبر حجماً، لأن نصف القطر أكبر وهو القيمة المربعة في صيغة حجم الأسطوانة.

٣١ - مسألة مفتوحة: ارسم أسطوانة لها نصف قطر أكبر من نصف قطر الأسطوانة المبينة جانباً، ولكن حجمها أقل.

حجم الأسطوانة = ط نق^٢ ع

= ٣,١٤ × (١٠,٥)^٢ × ٨

= ٢٧٦٩,٤ سم^٣

حجم أسطوانة الشكل = ط نق^٢ ع

= ٣,١٤ × (٨)^٢ × ١٦ = ٣٢١٥,٤ سم^٣

بما أن نصف قطر الأسطوانة الأولى أكبر لكن حجمها أقل.

حس عددي: ما النسبة بين حجمي كل أسطوانتين فيما يأتي:

٣٢ - أسطوانتان لهما نفس نصف قطر القاعدة، ارتفاع أحدهما يساوي مثلي ارتفاع الأخرى؟

الأسطوانة الأولى: الأسطوانة الثانية.

ط نق^٢ ع١: ط نق^٢ ع٢

بما أن ارتفاع الأسطوانة الأولى = ضعف ارتفاع الأسطوانة الثانية

ط نق^٢ × ٢ع: ط نق^٢ ع

٢ط نق^٢ ع: ط نق^٢ ع

إذاً حجم الأسطوانة الأولى ضعف الأسطوانة الثانية.

٣٣ - أسطوانتان لهما نفس الارتفاع، ونصف قطر قاعدة إحداهما يساوي مثلي نصف قطر قاعدة الأخرى؟

الأسطوانة الأولى:

ط نق^٢ ع

الأسطوانة الثانية:

ط نق^٢ ع

بما أن نق١ = ٢ نق٢

ط نق^٢ ع: ط (٢نق^٢) ع

ط نق^٢ ع: ٤ ط نق^٢ ع

إذاً حجم الأسطوانة الثانية ٤ أمثال حجم الأسطوانة الأولى.

٣٤ - اكتب: وضح التشابه بين صيغتي حجم الأسطوانة وحجم متوازي المستطيلات.

التشابه في حجم الأسطوانة ومتوازي المستطيلات أن كل منهما يساوي مساحة القاعدة × الارتفاع.

٣٥ - أي مما يأتي يعد أفضل تقدير لحجم الأسطوانة في الشكل الآتي؟

أ) ٣٢ سم^٣

ب) ٤٢,٧٨ سم^٣

جـ) ٧٥,٩٢ سم^٣

د) ٨٦,٥٥ سم^٣

حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع.

= ٣,١٤ × ١,٧٥ × ٩ = ٨٦,٥٥ سم^٣

٣٦ - أي الجمل الآتية صحيحة حول العلاقة بين حجمي الأسطوانتين الآتيتين؟

أ) حجم الأسطوانة ١ أكبر من حجم الأسطوانة ٢

ب) حجم الأسطوانة ٢ أكبر من حجم الأسطوانة ١

جـ) لهما الحجم نفسه

د) حجم الأسطوانة ٢ صعف حجم الأسطوانة ١

• حجم الأسطوانة الأولى = ق ع = ٣,١٤ × ٧ × ٤ = ٦١٥,٤٤ سم^٣
• حجم الأسطوانة الثانية = ق ع = ٣,١٤ × ٤ × ٧ = ٣٥١,٦٨ سم^٣

الاختيار الصحيح أ