أوجد قيمة كل مما يأتي إن وجدت:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{8}{3}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}$

16

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حدد أي المتسلسلتين الهندسيتين الآتيتين متقاربة، وأيهما متباعدة:

9) $21+63+189+\dots$

متباعدة.

10) $\frac{3}{4}+\frac{9}{8}+\frac{27}{16}+\dots$

متباعدة.

11) $0.1+0.01+0.001+\dots$

متقاربة.

12) $0.008+0.08+0.8+\dots$

متباعدة.

أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلات الهندسية الآتية إن وجد:

13) $18+21.6+25.92+\dots$

غير موجود.

14) $-3-4.2-5.88-\dots$

غير موجود.

15) $\frac{12}{5}+\frac{6}{5}+\frac{3}{5}+\dots$

$\frac{24}{5}$

16) $32+40+50+\dots$

غير موجود.

17) أراجيح: انطلق سعيد من نقطة البداية الموضحة في الشكل المجاور، تاركاً نفسه بعد ذلك من دون دفع منه، فبدأت مسافة التأرجح تتناقص بمقدار %10 في كل تأرجح، أوجد المسافة الكلية التي يكون سعيد قد قطعها عندما تتوقف الأرجوحة تماماً.

60ft

أوجد قيمة كل مما يأتي إن وجدت:

18) $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{4}{3}\cdot {\left(\frac{5}{4}\right)}^{k-1}$

غير موجودة.

19) $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{5}{3}\cdot {\left(\frac{3}{7}\right)}^{k-1}$

$\frac{35}{12}$

20) $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{8}{3}\cdot {\left(\frac{5}{6}\right)}^{k-1}$

16

اكتب كلاً من الكسور العشرية الدورية الآتية في صورة كسر اعتيادي:

21) $0.3\overline{21}$

$\frac{53}{165}$

22) $4.\overline{96}$

$\frac{164}{33}$

23) $0.12\overline{14}$

$\frac{604}{4950}$

24) بطاريات قابلة للشحن: أعلنت إحدى شركات صناعة البطاريات القابلة للشحن، عن بطارية تشحن بفاعلية نسبتها %9.99 من الفاعلية السابقة بعد كل مرة يتم فيها شحن البطارية إذا كانت شحنتها في البداية تكفي للعمل 8 ساعات، فما أكبر عدد من الساعات يمكن أن تستعمل فيه البطارية؟

8000 ساعة.

أوجد مجموع حدود كل من المتسلسلات الآتية إن وجد:

25) $\frac{15}{4}+\frac{5}{2}+\frac{5}{3}+\dots$

$\frac{45}{4}$

26) $-\frac{16}{9}+\frac{4}{3}-1+\dots$

$-\frac{64}{63}$

27) $\frac{21}{16}+\frac{7}{4}+\frac{7}{3}+\dots$

غير موجود.

28) تمثيلات متعددة: ستحتاج في هذه المسألة إلى بطاقة مربعة الشكل طول ضلعها لا يقل عن 8 بوصات.

a) حسّياً: افترض أن مساحة البطاقة تمثل وحدة مربعة قص البطاقة نصفين، خذ أحدهما واعتبره الحد الأول، ثم قص النصف الآخر نصفين واعتبر أحدهما الحد الثاني استمر في هذه العملية واكتب المتسلسلة اللانهائية التي تعبر عن الأجزاء لديك.

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\cdots .$

b) عددياً: إذا أمكن تقسيم البطاقة بهذه الطريقة إلى ما لا نهاية، فما مجموع المتسلسلة التي أوجدتها في الفرع a؟

1

c) ما العلاقة بين مجموع المتسلسلة ومساحة البطاقة الأصلية؟

مساحة البطاقة الأصلية هي وحدة مربعة ولذلك فإن مجموع المساحات لجميع القطع لا يمكن أن يزيد على 1.

29) فيزياء: في تجربة فيزيائية دحرجت كرة من الفولاذ على مسار أفقي، وتركت لتتدحرج تلقائياً، فإذا قطعت الكرة في الدقيقة الأولى 120ft، ثم بدأت تقطع في كل دقيقة %40 فقط من المسافة التي قطعتها في الدقيقة السابقة، فما المسافة الكلية التي تقطعها الكرة حتى تقف؟

200ft

30) بندول: يقطع بندول مسافة cm 12 في الاهتزازة الأولى، وبعد ذلك يقطع %95 من الاهتزازة السابقة، ويستمر على هذا المنوال أوجد المسافة الكلية التي يقطعها البندول حتى يتوقف عن الحركة.

240cm

31) كرات: أُسقطت كرة مطاطية من ارتفاع 30ft، فكانت ترتد ّ في كل مرة مسافة تعادل %95 من المسافة السابقة إذا استمرت الكرة في الحركة على هذا المنوال، فأوجد المسافة التي تقطعها حتى تقف.

1170ft

32) متحف العلوم: يُتيح أحد المعارض في متحف للعلوم الفرصة للزوار لتجربة حركة الأجسام على زنبرك فإذا قام أحد الزوار بسحب جسم معلق بزنبرك إلى أسفل، ثم تركه ليقطع مسافة 2.1ft إلى أعلى قبل أن يغير اتجاه حركته، وفي كل مرة يغير الجسم اتجاه حركته تنقص المسافة التي يقطعها بمقدار %20 بالمقارنة مع المسافة في الاتجاه الآخر السابق، فأوجد المسافة الكلية التي يقطعها الجسم.

6ft

اربط بين كل شكل والوصف المناسب له:

33)

a) متسلسلة هندسية متقاربة.

b) متسلسلة هندسية متباعدة.

c) متسلسلة حسابية متقاربة.

d) متسلسلة حسابية متباعدة.

34)

a) متسلسلة هندسية متقاربة.

b) متسلسلة هندسية متباعدة.

c) متسلسلة حسابية متقاربة.

d) متسلسلة حسابية متباعدة.