تم تكوين عدد مكون من 6 أرقام عشوائياً باستعمال الأرقام 3 , 5, 1 ,2 ,5 ,1 ما احتمال أن يكون أول رقم في العدد هو 5 وآخر رقم هو 5 أيضاً؟

الترتيب مهم (التباديل مع التكرار) 1.1.2.3.5.5

الحالة العامة: عدد الطرق الممكنة لترتيب هذه الأعداد.

$\frac{6!}{2!\times 2!}=180$

الحالة الخاصة: عدد الطرق الممكنة لترتيب 1.1.2.3

$\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12$

الاحتمال=الحالة الخاصة/الحالة العامة=

$\frac{12}{180}=\frac{40320}{12}=\frac{1}{15}$

حل أسئلة تحقق من فهمك

1) تصوير: ارجع إلى فقرة "لماذا؟"، ما احتمال أن يختار علي ليقف في أقصى يسار الصورة، وأن يقف فراس في أقصى يمينها؟

$P==\frac{2!}{4!}=\frac{2!}{4\times 3\times 2!}=\frac{1}{2}$

2) بطاقات جامعية: تستعمل الأرقام 9-1 دون تكرار؛ لعمل بطاقات للطلاب مكونة من 8 منازل.

A) ما عدد البطاقات الجامعية الممكنة؟

عدد البطاقات = 9

$p_8=\frac{9!}{(9-8)!}=\frac{9!}{1!}=362880$

B) إذا اختيرت بطاقات جامعة عشوائياً، فما احتمال أن تحمل أحد الرقمين 67953124 , 42135976؟

الاحتمال = $\frac{1}{362880}$

3) أعداد: تم تكوين عدد مكون من 6 أرقام عشوائياً باستعمال الأرقام 3 , 5, 1 ,2 ,5 ,1 ما احتمال أن يكون أول رقم في العدد هو 5 وآخر رقم هو 5 أيضاً؟

الترتيب مهم (التباديل مع التكرار) 1.1.2.3.5.5

الحالة العامة: عدد الطرق الممكنة لترتيب هذه الأعداد.

$\frac{6!}{2!\times 2!}=180$

الحالة الخاصة: عدد الطرق الممكنة لترتيب 1.1.2.3

$\frac{4!}{2!}=\frac{4\times 3\times 2\times 1}{2\times 1}=12$

الاحتمال=الحالة الخاصة/الحالة العامة=

$\frac{12}{180}=\frac{40320}{12}=\frac{1}{15}$

4A) بطاقات: إذا رتبت 5 بطاقات مسجل عليها الأسماء (حسن، محمد، سالم، أحمد، سعود) على منضدة دائرية عشوائياً، فما احتمال ظهورها كما في الشكل المجاور؟

$P=\frac{1}{(5-1)!}=\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}$

4B) كرة قدم: تجمع فريق كرة قدم مكون من 11 لاعباً على شكل حلقة يتشاورون قبل بداية المباراة، إذا وقف حكم المباراة تماماً خلف أحدهم، فما احتمال وقوف الحكم خلف حارس المرمى؟ وضح تبريرك.

• عدد التباديل المختلفة = !(1-12)= !11
• عدد التباديل التي يتكون منها الحدث = !(1-10)= !10

الاحتمال = $\frac{1}{11}=\frac{!10}{11(10!)}=\frac{!10}{!11}$

5) هندسة: إذا تم اختيار ثلاث نقاط عشوائياً من النقاط المسماة على المستطيل في الشكل المجاور، فما احتمال أن تقع النقاط الثلاث على قطعة مستقيمة واحدة؟

عدد النتائج الممكنة في فضاء العينة = $56{=}_8{C}_3$

عدد نواتج الحدث = $4{=}_4{C}_1$

الاحتمال = $\frac{1}{14}=\frac{4}{56}$