إذا اختيرت نقطة عشوائياً في كل من المربعين الآتيين، وضح لماذا يتساوى احتمال وقوعها في المنطقة المظللة في أي منهما.

إجابة ممكنة: يحسب احتمال أن تقع نقطة عشوائياً في المنطقة المظللة في الشكل الأول بإيجاد نسبة مساحة المنطقة المظللة إلى مساحة سطح المربع الكبير، ويتم حسابه بطرح مساحة سطح المربع غير المظلل من مساحة سطح المربع الأكبر، ثم إيجاد نسبة الفرق بين المساحتين إلى مساحة سطح المربع الأكبر. ويكون الاحتمال $\frac{1^2-{0.75}^2}{1^2}$ ، أو % 43.75.

احتمال اختيار نقطة عشوائياً تقع في المنطقة المظللة في الشكل الثاني يساوي نسبة مساحة سطح المربع المظلل إلى مساحة سطح المربع الأكبر. والتي تساوي $\frac{0.4375}{1}$ أو % 43.75.

لذا فإن احتمال أن تقع نقطة عشوائياً في المنطقة المظللة في كلا المربعين هو نفسه.

حل أسئلة مهارات التفكير العليا

24) اكتشف الخطأ: حسب كل من عمر وسالم احتمال وقوع النقطة التي يتم اختيارها عشوائياً داخل الدائرة O في المنطقة المظللة، أيهما حلها أصح؟ وضح تبريرك.

عمر، يجب أن تجمع قياسات الزوايا المركزية الثلاث، ثم تطرح المجموع من $°$360 لنجد قياس الزاوية المركزية المظلة، (125 + 125 + 60) - 360، لذلك فإن الاحتمال يساوي $\frac{50}{360}\approx 13.9\mathrm{\%}$

25) تحدٍّ: أوجد احتمال أن تقع نقطة يتم اختيارها عشوائياً داخل الشكل المجاور في المنطقة المظللة مقرباً الناتج إلى أقرب عشرة.

14.3% تقريباً.

$\left(12r^2-4r^2-2\pi r^2\right)÷12r^2=14.3$

26) تبرير: محيط مثلث متطابق الضلعين يساوي32 cm، إذا كانت أطوال أضلاع المثلث أعداداً صحيحة، فما احتمال أن تكون مساحته 48 cm بالضبط؟ وضح تبريرك.

$\frac{1}{7}$، باستعمال نظرية متباينة المثلث نجد أن هناك 7 مثلثات متطابقة الضلعين أطوال أعداد صحيحة ومحيطها 32 cm، ومن بين هذه المثلثات يوجد مثلث واحد فقط أطوال أضلاعه 10cm,10cm,12cm، ومساحته 48cm^{2 بالضبط. لذلك فإن الاحتمال} $\frac{1}{7}$.

27) مسألة مفتوحة: مثل حادثة احتمالها %20 باستعمال ثلاثة أشكال هندسية مختلفة.

احتمال اختيار نقطة عشوائية على $\overline{AC}$ تقع بين AوB تساوي 20%.

احتمال اختيار نقطة عشوائية في الدائرة تقع في المنطقة المظللة تساوي 20%.

احتمال اختيار نقطة عشوائية في الدائرة تقع في المنطقة غير المظللة تساوي 20%.

28) اكتب: إذا اختيرت نقطة عشوائياً في كل من المربعين الآتيين، وضح لماذا يتساوى احتمال وقوعها في المنطقة المظللة في أي منهما.

إجابة ممكنة: يحسب احتمال أن تقع نقطة عشوائياً في المنطقة المظللة في الشكل الأول بإيجاد نسبة مساحة المنطقة المظللة إلى مساحة سطح المربع الكبير، ويتم حسابه بطرح مساحة سطح المربع غير المظلل من مساحة سطح المربع الأكبر، ثم إيجاد نسبة الفرق بين المساحتين إلى مساحة سطح المربع الأكبر. ويكون الاحتمال $\frac{1^2-{0.75}^2}{1^2}$، أو % 43.75.

احتمال اختيار نقطة عشوائياً تقع في المنطقة المظللة في الشكل الثاني يساوي نسبة مساحة سطح المربع المظلل إلى مساحة سطح المربع الأكبر. والتي تساوي $\frac{0.4375}{1}$ أو % 43.75.

لذا فإن احتمال أن تقع نقطة عشوائياً في المنطقة المظللة في كلا المربعين هو نفسه.

29) احتمال: رسمت دائرة نصف قطرها 3 وحدات داخل مربع طول ضلعه 9 وحدات، واختيرت نقطة عشوائياً داخل المربع، ما احتمال أن تقع أيضاً داخل الدائرة؟

$\frac{\pi (3{)}^2}{(9{)}^2}=\frac{9\pi }{81}=\frac{\pi }{9}$

$$\begin{gathered} A. \frac{1}{9} \\ B. \frac{\mathrm{\pi }}{9} \\ C. \frac{1}{3} \\ D. \frac{9}{\mathrm{\pi }} \end{gathered}$$

30) احتمال: يحتوي صندوق على 7 كرات زرقاء، و6 كرات حمراء، وكرتين بيضاوين و3 كرات سوداء، إذا سحبت كرة واحدة عشوائياً. فما احتمال أن تكون حمراء؟

$\frac{6}{8}=\frac{1}{3}$

$$\begin{gathered} A. \frac{1}{9} \\ B. \frac{1}{6} \\ C. \frac{1}{3} \\ D. \frac{7}{18} \end{gathered}$$

31) إجابة قصيرة: قسّم القرص الآتي إلى 8 قطاعات متساوية وقد أدير المؤشر:

a) إذا استقر المؤشر عند عدد، فما احتمال أن يكون هذا العدد 3؟

$\frac{1}{8}$

b) إذا استقر المؤشر عند عدد، فما احتمال أن يكون هذا العدد فردياً؟

$\frac{1}{2}$