عدد طلاب الصف الثالث الثانوي في مدرسة 100 طالب، حضر حفل التخرج النهائي %91 منهم، إذا اختير طالبان واحداً تلو الآخر عشوائياً من طلاب الصف جميعهم، فما احتمال أن يكون أحدهما على الأقل لم يحضر الحفل؟

تعلم أن 91% من الطلاب حضر حفل التخرج النهائي (العبارة أحدهما على الأقل) يعني أن:

• الطالب الأول المختار لم يحضر الحفل.
• أو الطالب الثاني المختار لم يحضر الحفل.
• أو كلاً من الطالبين المختارين لم يحضرا الحفل.

أي إيجاد $\mathrm{P}({\mathrm{A}}^{\text{'}}\cup {\mathrm{B}}^{\text{'}})$ ، نفرض أن الحادثة A تمثل لختيار طالب يحضر حفل التخرج، الحادثة B تمثل اختيار طالب يحضر حفل التخرج يعد أن يكون قد تم اختيار الطالب الأول، ونجد أن الحادثتان غير مستقلتان لأن احتمال الحادثة الأولى يؤثر في احتمال الحادثة الثانية.

بما أن: $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)\cdot \mathrm{P}(\mathrm{B}\mid \mathrm{A})=\frac{91}{100}\cdot \frac{90}{99}=\frac{91}{110}$

$\mathrm{P}({\mathrm{A}}^{\text{'}}\cup {\mathrm{B}}^{\text{'}})=\left[\mathrm{P}\right(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}){]}^{\text{'}}=1-\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=1-\frac{91}{110}=\frac{19}{110}$

حل أسئلة تأكد

حدد إذا كانت الحادثتان متنافيتين أو غير متنافيتين في كل مما يأتي، وبرر إجابتك.

1) ظهور عدد فردي أو أكبر من 3 عند رمي مكعب مرقم مرة واحدة.

غير متنافيتان لأن العدد 5 فردي وأكبر من 3.

2) اختيار سيارة أو حصان.

حدثان متنافيان لأن السيارة لا تكون حصان ولا الحصان لا يكون سيارة.

3) الموظف المثالي: حصل سامي على جائزة أفضل أداء لموظفي شركة، وكانت جائزته أن يختار عشوائي واحدة من بين 4 بطاقات سفر و6 كتب و10 ساعات و3 حقائب، و7 نظارات، ما احتمال أن يربح بطاقة سفر أو كتاباً أو ساعة؟

$P=\frac{20}{30}=\frac{2}{3}$

4) نشاطات مدرسية: بناءً على الجدول المجاور، اختير طالب في المدرسة، ما احتمال أن يكون الطالب من الصف الثاني الثانوي أو في نادي العلوم؟

$\frac{11}{25}$ أو 44 %.

5) لعبة السهام: إذا كان احتمال إصابتك الهدف عند رمي السهم تساوي $\frac{2}{10}$ ما احتمال أن تخطئ إصابة الهدف؟

$P=1-\frac{2}{10}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$

6) تخرج: عدد طلاب الصف الثالث الثانوي في مدرسة 100 طالب، حضر حفل التخرج النهائي %91 منهم، إذا اختير طالبان واحداً تلو الآخر عشوائياً من طلاب الصف جميعهم، فما احتمال أن يكون أحدهما على الأقل لم يحضر الحفل؟

تعلم أن 91% من الطلاب حضر حفل التخرج النهائي (العبارة أحدهما على الأقل) يعني أن:

• الطالب الأول المختار لم يحضر الحفل.
• أو الطالب الثاني المختار لم يحضر الحفل.
• أو كلاً من الطالبين المختارين لم يحضرا الحفل.

أي إيجاد $\mathrm{P}({\mathrm{A}}^{\text{'}}\cup {\mathrm{B}}^{\text{'}})$، نفرض أن الحادثة A تمثل لختيار طالب يحضر حفل التخرج، الحادثة B تمثل اختيار طالب يحضر حفل التخرج يعد أن يكون قد تم اختيار الطالب الأول، ونجد أن الحادثتان غير مستقلتان لأن احتمال الحادثة الأولى يؤثر في احتمال الحادثة الثانية.

بما أن: $\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)\cdot \mathrm{P}(\mathrm{B}\mid \mathrm{A})=\frac{91}{100}\cdot \frac{90}{99}=\frac{91}{110}$

$\mathrm{P}({\mathrm{A}}^{\text{'}}\cup {\mathrm{B}}^{\text{'}})=\left[\mathrm{P}\right(\mathrm{A}\cap \mathrm{B}){]}^{\text{'}}=1-\mathrm{P}(\mathrm{A}\cap \mathrm{B})=1-\frac{91}{110}=\frac{19}{110}$