برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

$2+6+12+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

.الخطوة الأولى: عند n=1 الطرف الأيسر من المعادلة =2 والطرف الأيمن من المعادلة أيضاً=2، إذاً فالمعادلة صحيحة عند n=1

الخطوة الثانية: افرض أن: $2+6+12+\dots +k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ حيث k عدد صحيح موجب.

الخطوة الثالثة: $2+2\cdot 3+\dots +k(k+1)+(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$

$\begin{array}{r}=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}\\ =\frac{(k+1)\left[k\right(k+2)+3(k+2\left)\right]}{3}\\ =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\\ \frac{(k+1)\left[\right(k+1)+1]\left[\right(k+1)+2]}{3}\end{array}$

الطرف الأيمن هو المطلوب إثباته عند n=k+1 لذا فالمعادلة صحيحة عند n=k+1.

إذاً: $2+6+12+\dots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ لكل الأعداد الصحيحة الموجبة n.

حل مراجعة درس البرهان باستعمال مبدأ الإستقراء الرياضي

برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

48) $2+6+12+\cdots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$.

الخطوة الأولى: عند n=1 الطرف الأيسر من المعادلة =2 والطرف الأيمن من المعادلة أيضاً=2، إذاً فالمعادلة صحيحة عند n=1

الخطوة الثانية: افرض أن: $2+6+12+\dots +k(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}$ حيث k عدد صحيح موجب.

الخطوة الثالثة: $2+2\cdot 3+\dots +k(k+1)+(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$

$\begin{array}{r}=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}\\ =\frac{(k+1)\left[k\right(k+2)+3(k+2\left)\right]}{3}\\ =\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\\ \frac{(k+1)\left[\right(k+1)+1]\left[\right(k+1)+2]}{3}\end{array}$

الطرف الأيمن هو المطلوب إثباته عند n=k+1 لذا فالمعادلة صحيحة عند n=k+1.

إذاً: $2+6+12+\dots +n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$ لكل الأعداد الصحيحة الموجبة n.

49) 5ⁿ-1 يقبل القسمة على 4.

الخطوة الأولى: عند n=1

4=5-1 إذاً العبارة تقبل القسمة على 4 إذاً العبارة صحيحة عند n=1

الخطوة الثانية: نفرض أن 5^k-1 تقبل القسمة على 4 حيث k عدد صحيح موجب أي 5^k-1=4r، حيث أن r عدد طبيعي.

الخطوة الثالثة:

$\begin{array}{r}{5}^k-1=4r\\ 5^k=4r+1\\ 5^{k+1}=20r+5\\ 5^{k+1}-1=20r+5-1\\ 5^{k+1}-1=20r+4\\ 5^{k+1}-1=4(5r+1)\end{array}$

حيث r عدد طبيعي و 5r+1 عدد طبيعي. إذاً 5^k+1-1 يقبل القسمة على 4.

العبارة صحيحة عند n=k+1 على هذا 5ⁿ-1 تقبل القسمة على 4 لكل عدد صحيح موجب n

أعط مثالاً مضاداً يبين خطأ كل من الجمل الآتية، حيث n أي عدد طبيعي:

50) 8ⁿ+3 يقبل القسمة على 11.

n=2

51) 6ⁿ⁺¹-2 يقبل القسمة على 17.

n=2

52) n²+2ⁿ+4 عدد أولي.

n=2

53) n+19 عدد أولي.

n=1