حلول الأسئلة

السؤال

برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

الحل

5 ⁿ -1 يقبل القسمة على 4.

الخطوة الأولى: عند n=1

4=5-1 إذاً العبارة تقبل القسمة على 4 إذاً العبارة صحيحة عند n=1

الخطوة الثانية: نفرض أن 5 ^k -1 تقبل القسمة على 4 حيث k عدد صحيح موجب أي 5 ^k -1=4r، حيث أن r عدد طبيعي.

الخطوة الثالثة:

$\begin{array}{r} 5^{k} - 1 = 4 r \\ 5^{k} = 4 r + 1 \\ 5^{k + 1} = 20 r + 5 \\ 5^{k + 1} - 1 = 20 r + 5 - 1 \\ 5^{k + 1} - 1 = 20 r + 4 \\ 5^{k + 1} - 1 = 4 (5 r + 1) \end{array}$

حيث r عدد طبيعي و 5r+1 عدد طبيعي. إذاً 5^k+1 -1 يقبل القسمة على 4.

العبارة صحيحة عند n=k+1 على هذا 5ⁿ -1 تقبل القسمة على 4 لكل عدد صحيح موجب n

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل مراجعة درس البرهان باستعمال مبدأ الإستقراء الرياضي

البرهان باستعمال الاستقراء الرياضي

برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

48) $2 + 6 + 12 + \dots + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$ .

الخطوة الأولى: عند n=1 الطرف الأيسر من المعادلة =2 والطرف الأيمن من المعادلة أيضاً=2، إذاً فالمعادلة صحيحة عند n=1

الخطوة الثانية: افرض أن: $2 + 6 + 12 + \dots + k (k + 1) = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3}$ حيث k عدد صحيح موجب.

الخطوة الثالثة: $2 + 2 \cdot 3 + \dots + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} + (k + 1) (k + 2)$

$\begin{array}{r} = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} + \frac{3 (k + 1) (k + 2)}{3} \\ = \frac{(k + 1) [k (k + 2) + 3 (k + 2)]}{3} \\ = \frac{(k + 1) (k + 2) (k + 3)}{3} \\ \frac{(k + 1) [(k + 1) + 1] [(k + 1) + 2]}{3} \end{array}$

الطرف الأيمن هو المطلوب إثباته عند n=k+1 لذا فالمعادلة صحيحة عند n=k+1.

إذاً: $2 + 6 + 12 + \dots + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$ لكل الأعداد الصحيحة الموجبة n.

49) 5ⁿ-1 يقبل القسمة على 4.

الخطوة الأولى: عند n=1

4=5-1 إذاً العبارة تقبل القسمة على 4 إذاً العبارة صحيحة عند n=1

الخطوة الثانية: نفرض أن 5^k-1 تقبل القسمة على 4 حيث k عدد صحيح موجب أي 5^k-1=4r، حيث أن r عدد طبيعي.

الخطوة الثالثة:

$\begin{array}{r} 5^{k} - 1 = 4 r \\ 5^{k} = 4 r + 1 \\ 5^{k + 1} = 20 r + 5 \\ 5^{k + 1} - 1 = 20 r + 5 - 1 \\ 5^{k + 1} - 1 = 20 r + 4 \\ 5^{k + 1} - 1 = 4 (5 r + 1) \end{array}$

حيث r عدد طبيعي و 5r+1 عدد طبيعي. إذاً 5^k+1-1 يقبل القسمة على 4.

العبارة صحيحة عند n=k+1 على هذا 5ⁿ-1 تقبل القسمة على 4 لكل عدد صحيح موجب n

أعط مثالاً مضاداً يبين خطأ كل من الجمل الآتية، حيث n أي عدد طبيعي:

50) 8ⁿ+3 يقبل القسمة على 11.

n=2

51) 6ⁿ⁺¹-2 يقبل القسمة على 17.

n=2

52) n²+2ⁿ+4 عدد أولي.

n=2

53) n+19 عدد أولي.

n=1

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

الحل

5 ⁿ -1 يقبل القسمة على 4.

الخطوة الأولى: عند n=1

4=5-1 إذاً العبارة تقبل القسمة على 4 إذاً العبارة صحيحة عند n=1

الخطوة الثانية: نفرض أن 5 ^k -1 تقبل القسمة على 4 حيث k عدد صحيح موجب أي 5 ^k -1=4r، حيث أن r عدد طبيعي.

الخطوة الثالثة:

$\begin{array}{r} 5^{k} - 1 = 4 r \\ 5^{k} = 4 r + 1 \\ 5^{k + 1} = 20 r + 5 \\ 5^{k + 1} - 1 = 20 r + 5 - 1 \\ 5^{k + 1} - 1 = 20 r + 4 \\ 5^{k + 1} - 1 = 4 (5 r + 1) \end{array}$

حيث r عدد طبيعي و 5r+1 عدد طبيعي. إذاً 5^k+1 -1 يقبل القسمة على 4.

العبارة صحيحة عند n=k+1 على هذا 5ⁿ -1 تقبل القسمة على 4 لكل عدد صحيح موجب n

حل مراجعة درس البرهان باستعمال مبدأ الإستقراء الرياضي

البرهان باستعمال الاستقراء الرياضي

برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

48) $2 + 6 + 12 + \dots + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$ .

الخطوة الأولى: عند n=1 الطرف الأيسر من المعادلة =2 والطرف الأيمن من المعادلة أيضاً=2، إذاً فالمعادلة صحيحة عند n=1

الخطوة الثانية: افرض أن: $2 + 6 + 12 + \dots + k (k + 1) = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3}$ حيث k عدد صحيح موجب.

الخطوة الثالثة: $2 + 2 \cdot 3 + \dots + k (k + 1) + (k + 1) (k + 2) = \frac{k (k + 1) (k + 2)}{3} + (k + 1) (k + 2)$

الطرف الأيمن هو المطلوب إثباته عند n=k+1 لذا فالمعادلة صحيحة عند n=k+1.

إذاً: $2 + 6 + 12 + \dots + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$ لكل الأعداد الصحيحة الموجبة n.

49) 5ⁿ-1 يقبل القسمة على 4.

الخطوة الأولى: عند n=1

4=5-1 إذاً العبارة تقبل القسمة على 4 إذاً العبارة صحيحة عند n=1

الخطوة الثانية: نفرض أن 5^k-1 تقبل القسمة على 4 حيث k عدد صحيح موجب أي 5^k-1=4r، حيث أن r عدد طبيعي.

الخطوة الثالثة:

$\begin{array}{r} 5^{k} - 1 = 4 r \\ 5^{k} = 4 r + 1 \\ 5^{k + 1} = 20 r + 5 \\ 5^{k + 1} - 1 = 20 r + 5 - 1 \\ 5^{k + 1} - 1 = 20 r + 4 \\ 5^{k + 1} - 1 = 4 (5 r + 1) \end{array}$

حيث r عدد طبيعي و 5r+1 عدد طبيعي. إذاً 5^k+1-1 يقبل القسمة على 4.

العبارة صحيحة عند n=k+1 على هذا 5ⁿ-1 تقبل القسمة على 4 لكل عدد صحيح موجب n

أعط مثالاً مضاداً يبين خطأ كل من الجمل الآتية، حيث n أي عدد طبيعي:

50) 8ⁿ+3 يقبل القسمة على 11.

n=2

51) 6ⁿ⁺¹-2 يقبل القسمة على 17.

n=2

52) n²+2ⁿ+4 عدد أولي.

n=2

53) n+19 عدد أولي.

n=1

حلول الأسئلة

برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

مشاركة الحل

حل مراجعة درس البرهان باستعمال مبدأ الإستقراء الرياضي

برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

48) 2+6+12+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3.

49) 5n-1 يقبل القسمة على 4.

أعط مثالاً مضاداً يبين خطأ كل من الجمل الآتية، حيث n أي عدد طبيعي:

50) 8n+3 يقبل القسمة على 11.

51) 6n+1-2 يقبل القسمة على 17.

52) n2+2n+4 عدد أولي.

53) n+19 عدد أولي.

مشاركة الدرس

برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

حل مراجعة درس البرهان باستعمال مبدأ الإستقراء الرياضي

برهن صحة كل جملة مما يأتي للأعداد الطبيعية جميعها:

48) 2+6+12+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)3.

49) 5n-1 يقبل القسمة على 4.

أعط مثالاً مضاداً يبين خطأ كل من الجمل الآتية، حيث n أي عدد طبيعي:

50) 8n+3 يقبل القسمة على 11.

51) 6n+1-2 يقبل القسمة على 17.

52) n2+2n+4 عدد أولي.

53) n+19 عدد أولي.

48) $2 + 6 + 12 + \dots + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$ .

49) 5ⁿ-1 يقبل القسمة على 4.

50) 8ⁿ+3 يقبل القسمة على 11.

51) 6ⁿ⁺¹-2 يقبل القسمة على 17.

52) n²+2ⁿ+4 عدد أولي.

48) $2 + 6 + 12 + \dots + n (n + 1) = \frac{n (n + 1) (n + 2)}{3}$ .

49) 5ⁿ-1 يقبل القسمة على 4.

50) 8ⁿ+3 يقبل القسمة على 11.

51) 6ⁿ⁺¹-2 يقبل القسمة على 17.

52) n²+2ⁿ+4 عدد أولي.