إذا كان $\mathrm{a}=⟨x_1,y_1⟩,\mathrm{b}=⟨x_2,y_2⟩,\mathrm{c}=⟨x_3,y_3⟩$ ، فأثبت الخصائص الآتية:

$k(\mathrm{a}+\mathrm{b})=k\mathrm{a}+k\mathrm{b}$

، حيث k عدد حقيقي.

$\begin{array}{rl}k(\mathrm{a}+\mathrm{b})& =k(⟨x_1,y_1⟩+⟨x_2,y_2⟩)\\ & =k⟨x_1+x_2,y_1+y_2⟩\\ & =⟨k(x_1+x_2),k(y_1+y_2)⟩\\ & =⟨k{x}_1+k{x}_2,k{y}_1+k{y}_2⟩\\ & =⟨k{x}_1,k{y}_1⟩+⟨k{x}_2,k{y}_2⟩\\ & =k⟨x_1,y_1⟩+k⟨x_2,y_2⟩\\ & =k\mathrm{a}+k\mathrm{b}\end{array}$

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

43) تبرير: إذا كان a, b متجهين متوازيين، فعبّر عن كلّ من المتجهين بالصورة الإحداثية مبيِّناً العلاقة بين a,b.

إجابة ممكنة:

a = x i + y j

b = k x i + k y j

حيث k عدد حقيقي لا يساوي الصفر.

44) تبرير: إذا أعطيت طول متجه، ونقطة بدايته، فصف المحل الهندسي للنقاط التي يمكن أن تمثّل نقطة نهايته.
(إرشاد: المحل الهندسي هو مجموعة من النقاط تحقق شرطاً معيَّناً).

إجابة ممكنة: إذا كانت نقطة بداية المتجه هي (a, b)، وطول المتجه هو m، فإن أي نقطة (x, y) تحقق المعادلة: $.m=\sqrt{(x-a{)}^2+(y-b{)}^2}$ يمكن أن تكون نقطة نهاية للمتجه وهي دائرة مركزها النقطة (a, b)، وطول نصف قطرها m.

45) تحدٍّ: إذا كانت زاوية اتجاه $⟨x,y⟩$ هي °(4y)، فأوجد قيمة x بدلالة y.

$x=\frac{y}{\tan {\displaystyle }4y}$

برهان: إذا كان $\mathrm{a}=⟨x_1,y_1⟩,\mathrm{b}=⟨x_2,y_2⟩,\mathrm{c}=⟨x_3,y_3⟩$، فأثبت الخصائص الآتية:

46) a + b = b + a

$\begin{array}{rl}\mathrm{a}+\mathrm{b}& =⟨x_1,y_1⟩+⟨x_2,y_2⟩\\ & =⟨x_1+x_2,y_1+y_2⟩\\ & =⟨x_2+x_1,y_2+y_1⟩\\ & =⟨x_2,y_2⟩+⟨x_1,y_1⟩\\ & =\mathrm{b}+\mathrm{a}\end{array}$

47) $(a+b)+c=a+(b+c)$

$\begin{array}{rl}(\mathrm{a}+\mathrm{b})+\mathrm{c}& =(⟨x_1,y_1⟩+⟨x_2,y_2⟩)+⟨x_3,y_3⟩\\ & =⟨x_1+x_2,y_1+y_2⟩+⟨x_3,y_3⟩\\ & =⟨x_1+x_2+x_3,y_1+y_2+y_3⟩\\ & =⟨x_1,y_1⟩+⟨x_2+x_3,y_2+y_3⟩\\ & =⟨x_1,y_1⟩+(⟨x_2,y_2⟩+⟨x_3,y_3⟩)\\ & =\mathrm{a}+(\mathrm{b}+\mathrm{c})\end{array}$

48) $k(\mathrm{a}+\mathrm{b})=k\mathrm{a}+k\mathrm{b}$، حيث k عدد حقيقي.

$\begin{array}{rl}k(\mathrm{a}+\mathrm{b})& =k(⟨x_1,y_1⟩+⟨x_2,y_2⟩)\\ & =k⟨x_1+x_2,y_1+y_2⟩\\ & =⟨k(x_1+x_2),k(y_1+y_2)⟩\\ & =⟨k{x}_1+k{x}_2,k{y}_1+k{y}_2⟩\\ & =⟨k{x}_1,k{y}_1⟩+⟨k{x}_2,k{y}_2⟩\\ & =k⟨x_1,y_1⟩+k⟨x_2,y_2⟩\\ & =k\mathrm{a}+k\mathrm{b}\end{array}$

49) $\left|k\mathrm{a}\right|=\left|k\right|\left|\mathrm{a}\right|$، حيث k عدد حقيقي.

$\begin{array}{rl}\left|k\mathrm{a}\right|& =\mid k⟨x_1,y_1\mid ⟩\\ & =\left|⟨k{x}_1,k{y}_1⟩\right|\\ & =\sqrt{{\left(k{x}_1\right)}^2+{\left(k{y}_1\right)}^2}\\ & =\sqrt{k^2{x}_1^2+k^2{y}_1^2}\\ & =\sqrt{k^2(x_1^2+y_1^2)}\\ & =\sqrt{k^2}\sqrt{x_1^2+y_1^2}\\ & =\left|k\right|\left|⟨x_1,y_1⟩\right|\\ & =\left|k\right|\left|\mathrm{a}\right|\end{array}$