أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات: $\mathbf{a}=⟨-5,-4,3⟩,\mathbf{b}=⟨6,-2,-7⟩,\mathbf{c}=⟨-2,2,4⟩$.

8a - 5b - c

$⟨-68,-24,55⟩$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

عّين كل نقطة مما يأتي في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد:

1) (1, -2, -4)

2) (3, 2, 1)

3) (-5, -4, -2)

4) (-2, -5, 3)

5) (2, -2, 3)

6) (-16, 12, -13)

أوجد طول القطعة المستقيمة المعطاة نقطتا نهايتها وبدايتها، ثم أوجد إحداثيات نقطة منتصفها في كلٍّ مما يأتي:

7) (-4, 10, 4), (1, 0, 9)

$12.25,\left(-\frac{3}{2},5,\frac{13}{2}\right)$

8) (-6, 6, 3), (-9, -2, -2)

$9.90,\left(-\frac{{\displaystyle 15}}{{\displaystyle 2}},2,\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)$

9) (8, 3, 4), (-4, -7, 5)

$15.65,\left(2,-2,\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 2}}\right)$

10) (-7, 2, -5), (-2, -5, -8)

$9.11,\left(-\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 2}},-\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}},-\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 2}}\right)$

11) طيارون: في لحظة ما أثناء تدريب عسكري، كانت إحداثيات موقع طائرة (19300 ,121 - ,675)، وإحداثيات موقع طائرة أخرى (16100 ,715 ,-289) علماً بأن الإحداثيات معطاة بالأقدام.

a) أوجد المسافة بين الطائرتين مقرَّبة إلى أقرب قدم .

3445ft

b) عين إحداثيات النقطة التي تقع في منتصف المسافة بين الطائرتين في تلك اللحظة.

(193,297,17700)

مثل بيانياً كلاً من المتجهات الآتية في نظام الإحداثيات الثلاثي الأبعاد:

12) $\begin{array}{r}\mathbf{a}=⟨0,-4,4⟩\end{array}$

13) $\begin{array}{r}\mathbf{b}=⟨-3,-3,-2⟩\end{array}$

14) $\begin{array}{r}\mathbf{c}=⟨-1,3,-4⟩\end{array}$

15) $\mathbf{d}=⟨4,-2,-3⟩$

16) v = 6i + 8j -2k

17) w = -10i + 5k

18) m = 7i -6j + 6k

19) n = i -4j -8k

أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات: $\mathbf{a}=⟨-5,-4,3⟩,\mathbf{b}=⟨6,-2,-7⟩,\mathbf{c}=⟨-2,2,4⟩$.

20) 6a - 7b + 8c

$⟨-88,6,99⟩$

21) 7a - 5b

$⟨-65,-18,56⟩$

22) 2a + 5b - 9c

$⟨38,-36,-65⟩$

23) 6b + 4c - 4a

$⟨48,12,-38⟩$

24) 8a - 5b - c

$⟨-68,-24,55⟩$

25) 6a + b + 7c-

$⟨22,36,3⟩$

أوجد كلاً مما يأتي للمتجهات: $\mathrm{x}=-9\mathrm{i}+4\mathrm{j}+3\mathrm{k},\mathrm{y}=6\mathrm{i}-2\mathrm{j}-7\mathrm{k},\mathrm{z}=-2\mathrm{i}+2\mathrm{j}+4\mathrm{k}$.

26) 7x + 6y

27i+16j-21k-

27) 3x - 5y + 3z

63i+28j+56k-

28) 4x + 3y + 2z

22i+14j-k-

29) 8x - 2y + 5z-

50i-18j+10k

30) 6y - 9z-

18i-6j+6k-

31) x - 4y - z-

13i+2j+21k-

أوجد الصورة الإحداثية، وطول $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$ المعطاة نقطتا بدايته ونهايته، في كلٍّ مما يأتي، ثم أوجد متجه الوحدة في اتجاه $\stackrel{\rightharpoonup }{AB}$.

32) A(-5, -5, -9), B(11, -3, - 1)

$⟨16,2,8⟩,18,⟨\frac{8}{9},\frac{1}{9},\frac{4}{9}⟩$

33) A(-4, 0, -3), B(-4, -8, 9)

$⟨0,-8,12⟩,⟨0,-\frac{2\sqrt{13}}{13},\frac{3\sqrt{13}}{13}⟩$

34) A(3, 5, 1), B(0, 0, -9)

$\begin{array}{r}⟨-3,-5,-10⟩,\sqrt{134 }\\ ⟨-\frac{3\sqrt{134}}{134},-\frac{5\sqrt{134}}{134},-\frac{5\sqrt{134}}{67}⟩\end{array}$

35) A(-3, -7, -12), B(-7, 1, 8)

$\begin{array}{rl}& ⟨-4,8,20⟩,4\sqrt{30}\\ & ⟨-\frac{\sqrt{30}}{30},\frac{\sqrt{30}}{15},\frac{\sqrt{30}}{6}⟩\end{array}$

36) A(2, -5, 4), B(1, 3, -6)

$\begin{array}{r}⟨-1,8,-10⟩,\sqrt{165}\\ ⟨-\frac{\sqrt{165}}{165},\frac{8\sqrt{165}}{165},-\frac{2\sqrt{165}}{33}⟩\end{array}$

37) A(8, 12, 7), B(2, -3, 11)

$\begin{array}{r}⟨-6,-15,4⟩,\sqrt{277}\\ ⟨-\frac{6\sqrt{277}}{277},-\frac{15\sqrt{277}}{277},\frac{4\sqrt{277}}{277}⟩\end{array}$

38) A(3, 14, -5), B(7, -1, 0)

$\begin{array}{r}⟨4,-15,5⟩,\sqrt{266}\\ ⟨\frac{2\sqrt{266}}{133},-\frac{15\sqrt{266}}{266},\frac{5\sqrt{266}}{266}⟩\end{array}$

39) A(1, -18, -13), B(21, 14, 29)

$\begin{array}{r}⟨20,32,42⟩,2\sqrt{797}\\ ⟨\frac{10\sqrt{797}}{797},\frac{16\sqrt{797}}{797},\frac{21\sqrt{797}}{797}⟩\end{array}$

إذا كانت N منتصف $\overline{MP}$، فأوجد إحداثيات النقطة P في كلّ ممَّا يأتي:

40) $M(3,4,5),N\left(\frac{7}{2},1,2\right)$

(1-, 2-, 4)

41) M(-1, -4, -9), N(-2, 1, -5)

(1-, 6, 3-)

42) $M(7,1,5),N\left(5,-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}},6\right)$

(7, – 2, 3)

43) $M\left(\frac{3}{2},-5,9\right),N\left(-2,-\frac{{\displaystyle 13}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle 11}}{{\displaystyle 2}}\right)$

$\left(-\frac{{\displaystyle 11}}{{\displaystyle 2}},-8,2\right)$

44) تطوع: تطوَّع هاشم لحمل بالون كدليل في استعراض رياضي، إذا كان البالون يرتفع 35 ft عن سطح الأرض، ويمسك هاشم بالحبل الذي ثبت به البالون على ارتفاع 3 ft عن سطح الأرض، كما في الشكل أدناه، فأوجد طول الحبل إلى أقرب قدم.

34 ft.

حدد نوع المثلث الذي رؤوسه هي النقاط الثلاث في كلّ مما يأتي (قائم الزاوية، أو متطابق الضلعين، أو مختلف الأضلاع):

45) A(3, 1, 2) , B(5, -1, 1) , C(1, 3, 1)

$\begin{array}{rl}& AB=\sqrt{(5-3{)}^2+(-1-1{)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{4+4+1}=3\\ & BC=\sqrt{(1-5{)}^2+(3+1{)}^2+(1-1{)}^2}=\sqrt{16+16}=4\sqrt{2}\\ & AB=\sqrt{(1-3{)}^2+(3-1{)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{4+4+1}=3\end{array}$

بما أن $\mathrm{AB}=\mathrm{Ac}\ne \mathrm{Bc}$ فالمثلث متطابق الضلعين.

46) A(4, 3, 4) , B(4, 6, 4) , C(4, 3, 6)

$\begin{array}{rl}& \mathrm{AB}=\sqrt{(4-4{)}^2+(6-3{)}^2+(4-4{)}^2}=3\\ & \mathrm{AC}=\sqrt{(4-4{)}^2+(3-6{)}^2+(6-4{)}^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\\ & \mathrm{AC}=\sqrt{(4-4{)}^2+(3-3{)}^2+(6-4{)}^2}=2\end{array}$

بما أن $(\sqrt{13}{)}^2=(2{)}^2+(3{)}^2$

إذن المثلث القائم الزاوية، وبما أن أطوال أضلاعه مختلفة، إذن فهو مختلف الأضلاع.

47) A(-1, 4, 3) , B(2, 5, 1) , C(0, -6, 6)

$\begin{array}{rl}& \mathrm{AB}=\sqrt{(2+1{)}^2+(5-4{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}\\ & \mathrm{AC}=\sqrt{(0-2{)}^2+(-6-5{)}^2+(6-1{)}^2}=\sqrt{4+121+25}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}\\ & \mathrm{AC}=\sqrt{(0+1{)}^2+(-6-4{)}^2+(6-3{)}^2}=\sqrt{1+100+9}=\sqrt{110}\end{array}$

بما أن أطوال أضلاع المثلث مختلفة، إذن المثلث مختلف الأضلاع.

48) كرات: استعمل قانون المسافة بين نقطتين في الفضاء؛ لكتابة صيغة عامة لمعادلة كرة مركزها (L , h, k)، وطول نصف قطرها r. "إرشاد: الكرة هي مجموعة نقاط في الفضاء تبعد بعداً ثابتاً (نصف القطر) عن نقطة ثابتة (المركز)".

الكرة هي مجموعة النقاط في الفضاء التي تبعد عن مركز الكرة بعداً ثابتاً (نصف القطر) إذن إذا كانت النقطة (z ,y ,x) نقطة تقع على الكرة التي مركزها y ,k ,h)m)، فإنه يجب أن تكون المسافة بين A وM تساوي r نفترض أن النقطة (A (x, y, z نقطة تقع على الكرة التي مركزها m (h, k, l) نستخدم صيغة المسافة بين نقطتين.

$d=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2+{(z_2-z_1)}^2}$

لإيجاد معادلة الكرة

$\begin{array}{rl}r& =\sqrt{(x-h{)}^2+(y-k{)}^2+(z-l{)}^2}\\ r^2& =(x-h{)}^2+(y-k{)}^2+(z-l{)}^2\end{array}$

استعمل الصيغة العامة لمعادلة الكرة التي وجدتها في السؤال 48؛ لإيجاد معادلة الكرة المعطى مركزها، وطول نصف قطرها في كلّ مما يأتي:

49) مركزها ( 3 , 2- , 4-)، طول نصف قطرها 4.

$(x+4{)}^2+(y+2{)}^2+(z-3{)}^2=16$

50) مركزها ( 1- , 0 , 6)، طول نصف قطرها$\frac{1}{2}$.

$(x-6{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=\frac{1}{4}$

51) مركزها ( 4 , 3- , 5)، طول نصف قطرها$\sqrt{3}$.

$(x-5{)}^2+(y+3{)}^2+(z-4{)}^2=3$

52) مركزها (1- , 7 , 0)، طول نصف قطرها 12.

$x^2+(y-7{)}^2+(z+1{)}^2=144$