أوجد الإحداثي المجهول الذي يحقِّق الشروط المعطاة في كل مما يأتي:

$P_1{P}_2=4,0\le \theta \le {180}^{\circ }$

, $P_1=(5,{125}^{\circ }),P_2=(2,\theta )$

$\theta \approx 75.5 وأ 7\approx 174{.46}^{\circ }$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مثّل كل نقطة مما يأتي في المستوى القطبي.

1) R(1 , 120°)

2) T(-2.5 , 330°)

3) $F\left(-2,\frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$

4) $A\left(3,\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$

5) B(5 , -60°)

6) $D\left(-1,-\frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$

7) $G\left(3.5,-\frac{{\displaystyle 11\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$

8) C(-4 ,$\mathrm{\pi }$)

9) M(0.5 , 270°)

10) W(-1.5 , 150°)

11) رماية: يتكون هدف في منافسة للرماية من 10 دوائر متحدة المركز، ويتدرج عدد النقاط المكتسبة من 1 إلى 10 من الحلقة الدائرية الخارجية إلى الدائرة الداخلية على الترتيب، افترض أن رامياً يستعمل هدفاً نصف قطره 120 cm، وأنه قد أطلق ثلاثة أسهم، فأصابت الهدف عند النقاط (° 240 , 30), (° 315 , 82), (° 45 , 114)، إذا كان لجميع الحلقات الدائرية السمك نفسه، ويساوي طول نصف قطر الدائرة الداخلية.

a) فمثّل النقاط التي أصابها الرَّامي في المستوى القطبي.

b) ما مجموع النقاط التي حصل عليها الرَّامي؟

13 نقطة.

إذا كانت $-{360}^{\circ }\le \theta \le {360}^{\circ }$ فأوجد ثلاثة أزواج مختلفة كل منها يمثل إحداثيين قطبيين للنقطة في كلّ مما يأتي:

(1 , 150°) (12

(-1, 330°), (1,-210°), (-1,-30°)

(-2 , 300°) (13

(2, 120°), (2, -240°), (-2, -60°)

$\left(4,-\frac{{\displaystyle 7\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$ (14

$\left(4,\frac{5\pi }{6}\right),\left(-4,\frac{{\displaystyle 11\pi }}{{\displaystyle 6}}\right),\left(-4,\frac{{\displaystyle -\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$

$\left(-3,\frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$ (15

$\left(3,\frac{5\pi }{3}\right),\left(3,\frac{-\pi }{3}\right),\left(-3,\frac{-4\pi }{3}\right)$

$\left(5,\frac{{\displaystyle 11\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$ (16

$\left(5,\frac{-\pi }{6}\right),\left(-5,\frac{5\pi }{6}\right),\left(-5,\frac{-7\pi }{6}\right)$

$\left(-5,-\frac{{\displaystyle 4\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$ (17

$\left(5,\frac{5\pi }{3}\right),\left(5,\frac{{\displaystyle -\pi }}{{\displaystyle 3}}\right),\left(-5,\frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$

(2 , -30°) (18

(2, 330°), (-2, 150°), (-2, -210°)

(-1 , -240°) (19

(1, 300°), (1, -60°), (-1, 120°)

مثّل كل معادلة من المعادلات القطبية الآتية بيانياً:

20) r = 1.5

21) $\theta$ = 225°

22) $\theta =-\frac{7\pi }{6}$

23) r = -3.5

24) القفز بالمظلات: في مسابقة لتحديد دقة موقع الهبوط، يحاول مظلي الوصول إلى مركز الهدف المحدد ومركز الهدف عبارة عن دائرة حمراء طول قطرها 2 m، كما يشمل الهدف دائرتين طولا نصفي قطريهما 10m ،20m.

a) اكتب 3 معادلات قطبية تمثّل حدود المناطق الثلاث للهدف.

r = 1, r = 10, r = 20

b) مثّل هذه المعادلات في المستوى القطبي.

أوجد المسافة بين كل زوج من النقاط فيما يأتي.

(2 , 30°) , (5 , 120°) (25

5.39

$\left(3,\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}\right),\left(8,\frac{{\displaystyle 4\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$ (26

10.70

(6 , 45°) , (-3 , 300°) (27

5.97

$\left(7,-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}}\right),\left(1,\frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$ (28

8

$\left(-5,\frac{7\pi }{6}\right),\left(4,\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$ (29

1

(4 , -315°) , (1 , 60°) (30

3.05

(-2 , -30°) , (8 , 210°) (31

7.21

$\left(-3,\frac{11\pi }{6}\right),\left(-2,\frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$ (32

5

$\left(1,-\frac{\pi }{4}\right),\left(-5,\frac{{\displaystyle 7\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$ (33

4.84

(7 , - 90°) , (- 4 ,- 330°) (34

6.08

$\left(8,-\frac{2\pi }{3}\right),\left(4,-\frac{{\displaystyle 3\pi }}{{\displaystyle 4}}\right)$ (35

4.26

(- 5 , 135°) , (-1 , 240°) (36

5.35

37) مساحون: أراد مسَّاح تحديد حدود قطعة أرض، فحدد أثراً يبعد 223 ft، بزاوية °45 إلى يسار المركز، وأثراً آخر على بعد 418 ft، بزاوية °67 إلى يمين المركز، كما في الشكل أدناه، أوجد المسافة بين الأثرين.

542.5 ft

38) مراقبة: تراقب آلة تصوير مثبتة منطقة جبلية تمثّل جزءاً من دائرة، وتحدَّد بالمتباينتين $-{60}^{\circ }\le \theta \le {150}^{\circ },0\le r\le 40$ حيث r بالأمتار.

a) مثّل في المستوى القطبي المنطقة التي يمكن لآلة التصوير مراقبتها.

b) أوجد مساحة المنطقة (مساحة القطاع الدائري تساوي: $\mathrm{الدائرة} \mathrm{مساحة}\times \frac{\mathrm{بالدرجات} \mathrm{القطاع} \mathrm{زاوية} \mathrm{قياس}}{360°}$).

حوالي 2932.2m ²

إذا كانت $0\le \theta \le {180}^{\circ }$ فأوجد زوجاً آخر من الإحداثيات القطبية لكل نقطة مما يأتي:

(5 , 960°) (39

(-5, 60°)

$\left(-2.5,\frac{{\displaystyle 15\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$ (40

$\left(-2.5,\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}\right)$

$\left(4,\frac{{\displaystyle 33\pi }}{{\displaystyle 12}}\right)$ (41

$\left(4,\frac{{\displaystyle 3\pi }}{{\displaystyle 4}}\right)$

(1.25 ,-920°) (42

(1.25, 160°)

$\left(-1,-\frac{{\displaystyle 21\pi }}{{\displaystyle 8}}\right)$ (43

$\left(1,\frac{{\displaystyle 3\pi }}{{\displaystyle 8}}\right)$

(-6 , -1460°) (44

(6, 160°)

45) مسرح: يلقي شاعر قصيدة في مسرح، ويمكن وصف المسرح بمستوى قطبي، بحيث يقف الشاعر في القطب باتجاه المحور
القطبي، افترض أن الجمهور يجلس في المنطقة المحددة بالمتباينتين $-\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{4},30\le r\le 240$ حيث r بالأقدام.

a) مثّل المنطقة التي يجلس بها الجمهور في المستوى القطبي.

b) إذا كان كل شخص بحاجة إلى 5ft ²، فكم مقعداً يتسع المسرح؟

8906 مقاعد تقريباً.

46) أمن: يضيء مصباح مراقبة مثبت على سطح أحد المنازل منطقة على شكل جزء من قطاع دائري محدَّد بالمتباينتين $\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{5\pi }{6}$، $x\le r\le 20$ حيث r بالأقدام، إذا كانت مساحة المنطقة 314.16 ft ²، كما هو مبين في الشكل أدناه، فأوجد قيمة x.

10 ft تقريباً.

أوجد الإحداثي المجهول الذي يحقِّق الشروط المعطاة في كل مما يأتي:

47) P1 = (3, 35°) , P2 = (r, 75°) , P1P2 = 4.174

r = -1.40 أو r = 6

48) $P_1{P}_2=4,0\le \theta \le {180}^{\circ }$, $P_1=(5,{125}^{\circ }),P_2=(2,\theta )$

$\theta \approx 75.5 وأ 7\approx 174{.46}^{\circ }$

49) $P_1=(3,\theta ),P_2=(4,\frac{7\pi }{9}),P_1{P}_2=5,0\le \theta \le \pi$

$\theta \approx \frac{5\pi }{18}$

50) P1 = (r, 120°) , P2 = (4, 160°) , P1P2 = 3.297

$r\approx 5.13 \text{أو }r\approx 1$

51) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة، سوف تستقصي العلاقة بين الإحداثيات القطبية والإحداثيات الديكارتية.

a) بيانياً: عيّن $A\left(2,\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$ في المستوى القطبي، وارسم نظام الإحداثيات الديكارتية فوق المستوى القطبي بحيث تنطبق نقطة
الأصل على القطب، والجزء الموجب من المحور x على المحور القطبي، وبالتالي سينطبق المحور y على المستقيم $\theta =\frac{\pi }{2}$، ارسم مثلثاً قائماً بوصل A مع نقطة الأصل، وارسم منها عموداً على المحور x.

b) عددياً: احسب طولي ضلعي الزاوية القائمة باستعمال طول الوتر والمتطابقات المثلثية.

$\begin{array}{c}x=r\cos \frac{\pi }{3}=2\times \frac{1}{2}=1\\ y=r\sin \frac{\pi }{3}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\end{array}$

c) بيانياً: عيّن $B\left(4,\frac{{\displaystyle 5\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$، على المستوى القطبي نفسه، وارسم مثلثاً قائماً بوصل B مع نقطة الأصل، وارسم منها عموداً على المحور x، واحسب طولي ضلعي الزاوية القائمة.

d) تحليلياً: كيف ترتبط أطوال أضلاع المثلث بالإحداثيات الديكارتية لكل نقطة؟

يمثِّل طولا الضلعين الأفقي والرأسي القيمة المطلقة للإحداثيين x, y على الترتيب.

e) تحليلياً: اشرح العلاقة بين الإحداثيات القطبية $(r,\theta )$، والإحداثيات الديكارتية (x,y).

إذا كانت إحداثيات النقطة القطبية ($\theta$ , r)، فإن إحداثياتها الديكارتية هي ($\theta$r cos $\theta$ , r sin)

اكتب المعادلة لكل تمثيل قطبي مما يأتي:

52)

إجابة ممكنة $\theta =\frac{\pi }{12}$

53)

r = 2.5 أو r = -2.5