حلول الأسئلة

السؤال

أثبت أن المسافة بين النقطتين $P_{1} (r_{1}, θ_{1}), P_{2} (r_{2}, θ_{2})$ هي $P_{1} P_{2} = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1})}$ .

استعمل قانون جيوب التمام.

الحل

التمثيل القطبي

في المثلث الذي رؤوسه P 1, P 2 والقطب، ضلعان معلومان وزاوية محصورة بينهما؛ لذا وباستعمال قانون جيب التمام فإن:

$\begin{aligned} أو {(P_{1} P_{2})}^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} c o s (θ_{2} - θ_{1}) \\ . P_{1} P_{2} = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} c o s (θ_{2} - θ_{1})} \end{aligned}$

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

الإحداثيات القطبية

مسائل مهارات التفكير العليا

54) تبرير: وضح لماذا لا يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهماً، أو بعبارة أخرى، لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P1، والنقطة الأخرى لتكون p2؟

إجابة ممكنة: تحتوي صيغة المسافة على عمليتي ضرب وجمع قيم r، وكلتا العمليتين إبدالية، والدالة $θ$ cos دالة زوجية. لذا $\cos (- θ) = \cos θ$ ، ومنه $\cdot \cos (θ_{1} - θ_{2}) = \cos (θ_{2} - θ_{1})$

55) تحدٍّ: أوجد زوجاً مرتباً من الإحداثيات القطبية؛ لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (4- ,3-).

إجابة ممكنة (°233 , 5) تقريباً.

56) برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين $P_{1} (r_{1}, θ_{1}), P_{2} (r_{2}, θ_{2})$ هي $P_{1} P_{2} = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1})}$ .

(إرشاد: استعمل قانون جيوب التمام).

التمثيل القطبي

في المثلث الذي رؤوسه P 1, P 2 والقطب، ضلعان معلومان وزاوية محصورة بينهما؛ لذا وباستعمال قانون جيب التمام فإن:

57) تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون $θ_{2} - θ_{1} = \frac{π}{2}$ ، فسّر هذا التغير.

عندما $θ_{2} - θ_{1} = \frac{π}{2}$ فإن $\cos \frac{π}{2} = 0$ ، وعليه فإن تبسيط قانون المسافة القطبية يعطي $\sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2}}$ ، وهذه النتيجة تكافئ نظرية فيثاغورس، حيث تمثّل القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين وتر المثلث القائم الذي رؤوسه هاتان النقطتان ونقطة الأصل.

58) اكتشف الخطأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (°45 ,5) في المستوي القطبي كما هو مبين أدناه، أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

سعيد وعلي

سعيد؛ إجابة ممكنة: عين على نقطة على المحور القطبي ورسم منها قطعة مستقيمة رأسية طولها 5 وحدات، بينما كان عليه تعيين نقطة تبعد 5 وحدات عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية.

59) اكتب: خمّن سبب عدم كفاية الإحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق.

في الإحداثيات القطبية، لا يؤخذ ارتفاع الطائرة في الحسبان لتحديد موقعها بشكل دقيق.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

أثبت أن المسافة بين النقطتين $P_{1} (r_{1}, θ_{1}), P_{2} (r_{2}, θ_{2})$ هي $P_{1} P_{2} = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1})}$ .

استعمل قانون جيوب التمام.

الحل

التمثيل القطبي

في المثلث الذي رؤوسه P 1, P 2 والقطب، ضلعان معلومان وزاوية محصورة بينهما؛ لذا وباستعمال قانون جيب التمام فإن:

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

الإحداثيات القطبية

مسائل مهارات التفكير العليا

54) تبرير: وضح لماذا لا يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهماً، أو بعبارة أخرى، لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P1، والنقطة الأخرى لتكون p2؟

55) تحدٍّ: أوجد زوجاً مرتباً من الإحداثيات القطبية؛ لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (4- ,3-).

إجابة ممكنة (°233 , 5) تقريباً.

56) برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين $P_{1} (r_{1}, θ_{1}), P_{2} (r_{2}, θ_{2})$ هي $P_{1} P_{2} = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1})}$ .

(إرشاد: استعمل قانون جيوب التمام).

التمثيل القطبي

في المثلث الذي رؤوسه P 1, P 2 والقطب، ضلعان معلومان وزاوية محصورة بينهما؛ لذا وباستعمال قانون جيب التمام فإن:

57) تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون $θ_{2} - θ_{1} = \frac{π}{2}$ ، فسّر هذا التغير.

58) اكتشف الخطأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (°45 ,5) في المستوي القطبي كما هو مبين أدناه، أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

سعيد وعلي

59) اكتب: خمّن سبب عدم كفاية الإحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق.

في الإحداثيات القطبية، لا يؤخذ ارتفاع الطائرة في الحسبان لتحديد موقعها بشكل دقيق.

حلول الأسئلة

أثبت أن المسافة بين النقطتين P 1 ( r 1 , θ 1 ) , P 2 ( r 2 , θ 2 ) هي P 1 P 2 = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos ( θ 2 − θ 1 ) .

استعمل قانون جيوب التمام.

مشاركة الحل

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

54) تبرير: وضح لماذا لا يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهماً، أو بعبارة أخرى، لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P1، والنقطة الأخرى لتكون p2؟

55) تحدٍّ: أوجد زوجاً مرتباً من الإحداثيات القطبية؛ لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (4- ,3-).

56) برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين P1(r1,θ1),P2(r2,θ2) هي P1P2=r12+r22−2r1r2cos (θ2−θ1).

(إرشاد: استعمل قانون جيوب التمام).

57) تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون θ2−θ1=π2، فسّر هذا التغير.

58) اكتشف الخطأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (°45 ,5) في المستوي القطبي كما هو مبين أدناه، أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

59) اكتب: خمّن سبب عدم كفاية الإحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق.

مشاركة الدرس

أثبت أن المسافة بين النقطتين P 1 ( r 1 , θ 1 ) , P 2 ( r 2 , θ 2 ) هي P 1 P 2 = r 1 2 + r 2 2 − 2 r 1 r 2 cos ( θ 2 − θ 1 ) .

استعمل قانون جيوب التمام.

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

54) تبرير: وضح لماذا لا يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهماً، أو بعبارة أخرى، لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P1، والنقطة الأخرى لتكون p2؟

55) تحدٍّ: أوجد زوجاً مرتباً من الإحداثيات القطبية؛ لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (4- ,3-).

56) برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين P1(r1,θ1),P2(r2,θ2) هي P1P2=r12+r22−2r1r2cos (θ2−θ1).

(إرشاد: استعمل قانون جيوب التمام).

57) تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون θ2−θ1=π2، فسّر هذا التغير.

58) اكتشف الخطأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (°45 ,5) في المستوي القطبي كما هو مبين أدناه، أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

59) اكتب: خمّن سبب عدم كفاية الإحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق.

أثبت أن المسافة بين النقطتين $P_{1} (r_{1}, θ_{1}), P_{2} (r_{2}, θ_{2})$ هي $P_{1} P_{2} = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1})}$ .

56) برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين $P_{1} (r_{1}, θ_{1}), P_{2} (r_{2}, θ_{2})$ هي $P_{1} P_{2} = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1})}$ .

57) تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون $θ_{2} - θ_{1} = \frac{π}{2}$ ، فسّر هذا التغير.

أثبت أن المسافة بين النقطتين $P_{1} (r_{1}, θ_{1}), P_{2} (r_{2}, θ_{2})$ هي $P_{1} P_{2} = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1})}$ .

56) برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين $P_{1} (r_{1}, θ_{1}), P_{2} (r_{2}, θ_{2})$ هي $P_{1} P_{2} = \sqrt{r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1})}$ .

57) تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون $θ_{2} - θ_{1} = \frac{π}{2}$ ، فسّر هذا التغير.