وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون ${\theta }_2-{\theta }_1=\frac{\pi }{2}$ ، فسّر هذا التغير.

عندما ${\theta }_2-{\theta }_1=\frac{\pi }{2}$ فإن $\cos \frac{\pi }{2}=0$ ، وعليه فإن تبسيط قانون المسافة القطبية يعطي $\sqrt{r_1^2+r_2^2}$ ، وهذه النتيجة تكافئ نظرية فيثاغورس، حيث تمثّل القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين وتر المثلث القائم الذي رؤوسه هاتان النقطتان ونقطة الأصل.

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

54) تبرير: وضح لماذا لا يكون ترتيب النقاط في معادلة المسافة القطبية مهماً، أو بعبارة أخرى، لماذا يمكنك اختيار أي نقطة لتكون P1، والنقطة الأخرى لتكون p2؟

إجابة ممكنة: تحتوي صيغة المسافة على عمليتي ضرب وجمع قيم r، وكلتا العمليتين إبدالية، والدالة $\theta$cos دالة زوجية. لذا $\cos (-\theta )=\cos \theta$، ومنه $\cdot \cos ({\theta }_1-{\theta }_2)=\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)$

55) تحدٍّ: أوجد زوجاً مرتباً من الإحداثيات القطبية؛ لتمثيل النقطة التي إحداثياتها الديكارتية (4- ,3-).

إجابة ممكنة (°233 , 5) تقريباً.

56) برهان: أثبت أن المسافة بين النقطتين $P_1(r_1,{\theta }_1),P_2(r_2,{\theta }_2)$ هي $P_1{P}_2=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\theta }_2-{\theta }_1)}$.

(إرشاد: استعمل قانون جيوب التمام).

في المثلث الذي رؤوسه P 1, P 2 والقطب، ضلعان معلومان وزاوية محصورة بينهما؛ لذا وباستعمال قانون جيب التمام فإن:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{أو} {\left(P_1{P}_2\right)}^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_{2}cos ({\theta }_2-{\theta }_1)\\ & .P_1{P}_2=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_{2}cos ({\theta }_2-{\theta }_1)}\end{array}$

57) تبرير: وضح ماذا يحدث لمعادلة المسافة المعطاة بالصيغة القطبية عندما يكون ${\theta }_2-{\theta }_1=\frac{\pi }{2}$، فسّر هذا التغير.

عندما ${\theta }_2-{\theta }_1=\frac{\pi }{2}$ فإن $\cos \frac{\pi }{2}=0$، وعليه فإن تبسيط قانون المسافة القطبية يعطي $\sqrt{r_1^2+r_2^2}$، وهذه النتيجة تكافئ نظرية فيثاغورس، حيث تمثّل القطعة المستقيمة الواصلة بين النقطتين وتر المثلث القائم الذي رؤوسه هاتان النقطتان ونقطة الأصل.

58) اكتشف الخطأ: قام كل من سعيد وعلي بتمثيل النقطة (°45 ,5) في المستوي القطبي كما هو مبين أدناه، أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

سعيد؛ إجابة ممكنة: عين على نقطة على المحور القطبي ورسم منها قطعة مستقيمة رأسية طولها 5 وحدات، بينما كان عليه تعيين نقطة تبعد 5 وحدات عن القطب على ضلع الانتهاء للزاوية.

59) اكتب: خمّن سبب عدم كفاية الإحداثيات القطبية لتحديد موقع طائرة بشكل دقيق.

في الإحداثيات القطبية، لا يؤخذ ارتفاع الطائرة في الحسبان لتحديد موقعها بشكل دقيق.