حلول الأسئلة

السؤال

إذا كانت مدرسة نواف تبعد 1.5 mi عن منزله، وتصنع زاوية مقدارها °53 شمال الشرق كما في الشكل أدناه، فأجب عن الفرعين a.b.

مثال​​​​​​​

إذا سلك نواف طريقاً للشرق ثم للشمال؛ كي يصل إلى المدرسة فكم ميلاً يتحرك في كل اتجاه؟

الحل

1.2mi شرقاً، 0.90mi شمالاً.

شاهد حلول جميع الاسئلة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات

تدرب وحل المسائل

حول الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكلّ نقطة مما يأتي:

1) 2,π4

(2,2)

2) 14,π2

0,14

3) ( 5 , 240°)

(2.5,2.53)

4) (2.5,250)

(-0.86, -2.35)

5) 2,4π3

(1,3)

6) (13,70)

( 12.22 , 4.45 -)

7) 12,3π4

24,24

8) (2,270)

(0,2)

9) (4,210°)

(23,2)

10) 1,π6

32,12

أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمثِّل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة بالإحداثيات الديكارتية في كلّ مما يأتي:

11) ( 7, 10)

(12.21,0.96),(12.21,4.1)وأ(12.21,55),(12.21,235)

12) (13,4-)

(13.6,2.84),(13.6,5.98)وأ(13.6,163),(13.6,343)

13) (-12,-6)

(13.42,4.25),(13.42,1.11)وأ(13.42,244),(13.42,64)

14) (12-, 4)

(12.65,1.25),(12.65,1.89)وأ(12.65,288),(12.65,108)

15) (3-, 2)

(3.61,0.98),(3.61,2.16)وأ(3.61,72),(3.61,124)

16) (173-, 0)

(173,3π2),(173,π2)وأ(173,270),(173,90)

17) (3, 1)

(3.16,1.25),(3.16,4.39)وأ(3.16,72),(3.16,252)

18) (14, 14-)

(19.8,0.75π),(19.8,1.75π)وأ(19.8,135),(19.8,315)

19) (31-, 52)

(60.54,0.54),(60.54,2.61)وأ(60.54,31),(60.54,150)

20) (4-, 3)

(5,0.93),(5,2.21)وأ(5,53),(5,127)

21) (1-, 1)

1.41,π4,1.41,3π4وأ(1.41,45),(1.41,135)

22) (2,2)

(2.45,0.62),(2.45,3.76)وأ(2.45,36),(2.45,216)

23) مسافات: إذا كانت مدرسة نواف تبعد 1.5 mi عن منزله، وتصنع زاوية مقدارها °53 شمال الشرق كما في الشكل أدناه، فأجب عن الفرعين a.b.

مثال

a) إذا سلك نواف طريقاً للشرق ثم للشمال؛ كي يصل إلى المدرسة فكم ميلاً يتحرك في كل اتجاه؟

1.2mi شرقاً، 0.90mi شمالاً.

b) إذا كان الملعب على بعد 2 mi غرباً، و0.5 mi جنوباً، ومنزل نواف يمثّل القطب، فما إحداثيات موقع الملعب على الصورة
القطبية؟

(2.06,194.04°)

اكتب كلَّ معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:

x = -2 (24

r=2sec θ

(x + 5) 2 + y2 = 25 (25

r=10cos θ

y = -3 (26

r=3csc θ

x = 5 (27

r=4cos θ

(x - 2) 2 + y2 = 4 (28

r=4cos θ

x2 + (y + 3) 2 = 9 (29

r=6sin θ

y=3x (30

θ=π3

x2 + (y + 1) 2 = 1 (31

r=2sin θ

اكتب كل معادلة قطبية مما يأتي على الصورة الديكارتية:

32) r=3sin θ

x 2 + y 2 - 3y = 0

33) θ=π3

y=3x

34) r = 10

x 2 + y 2 = 100

35) r=4cos θ

x 2 - 4x + y 2 = 0

36) tan θ=4

y = 4x

37) r=8csc θ

y = 8

38) r = -4

x 2 + y 2 = 16

39) cot θ=7

x = -7y أو 17x=y

40) θ=3π4

y = -x

41) r=sec θ

x = 1

42) زلزال: تندمج حركة أمواج الزلازل بالمعادلة θ r = 12.6 sin، حيث r مقاسه بالأميال، اكتب معادلة أمواج الزلازل على الصورة الديكارتية.

x 2 + y 2 - 12.6 y = 0

اكتب كل معادلة قطبية مما يأتي على الصورة الديكارتية:

43) r=1cos θ+sin θ

x + y = 1 أو y = 1 - x

44) r=10csc θ+7π4

22y22x=10 أو y=x+102

45) r=3csc θπ2

x= - 3

46) r=2sec θ11π6

32x12y=2 أو y=3x+4

47) r=4sec θ4π3

y=33x833 وأ 12x32y=4

48) r=5cos θ+5sin θcos2 θsin2 θ

x - y = 5 أو y = x - 5

49) r=2sin (θ+π3)

x322+y122=1 وأ x2+y23xy=0

50) r=4cos (θ+π2)

x 2 + y 2 + 4y = 0 أو x2+(y+2)2=4

اكتب كلَّ معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:

6x - 3y = 4 (51

r=46cos θ3sin θ

2x + 5y = 12 (52

r=122cos θ+5sin θ

(x-6) 2 +(y - 8) 2 = 100 (53

r=12cos θ+16sin θ

(x + 3) 2 + (y - 2) 2 = 13 (54

r=6cos θ+4sin

55) جولف: في أحد ملاعب الجولف، يحيط بثقب الهدف منطقة خضراء محاطة بمنطقة رملية، المنطقة الرملية على فرض أن الثقب يمثّل القطب لكلتا المعادلتين، كما في الشكل أدناه، أوجد مساحة وأن المسافات تقاس بوحدة الياردة.

جولف

39πyd2122.52yd2

56) عجلة دوارة: إذا كانت إحداثيات أدنى نقطة في عجلة دوَّارة (0 ,0)، وأعلى نقطة فيها (20 ,0).

عجلة دوارة

a) فاكتب معادلة العجلة الدوَّارة الموضحة بالشكل المجاور على الصورة الديكارتية.

x 2 + (y - 10) 2 = 100

b) اكتب المعادلة في الفرع a بالصيغة القطبية.

r=20sin θ

57) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة سوف تكتشف العلاقة بين الأعداد المركبة والإحداثيات القطبية.

a) بيانياً: يمكن تمثيل العدد المركب a + bi في المستوى الديكارتي بالنقطة (a,b). مثّل العدد المركب 6+ 8i في المستوي الديكارتي.

التمثيل البياني

b) عددياً: أوجد الإحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال الإحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع.

(0.93 , 10) أو (° 53.13 , 10)

c) بيانياً: عزّز إجابتك في الفرع b بتمثيل الإحداثيات القطبية في المستوى القطبي.

التمثيل القطبي

d) بيانياً: مثّل بيانياً العدد المركب -3i+3 في المستوي الديكارتي.

التمثيل البياني

e) بيانياً: أوجد الإحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال الإحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع d، ومثّل الإحداثيات القطبية في المستوي القطبي.

التمثيل القطبي

f) تحليلياً: أوجد العبارات الجبرية التي تبين كيفية كتابة العدد المركب a + bi بالإحداثيات القطبية.

r=a2+b2

θ=lan1 ba عندما a موجباً.

θ=Tan1 ba+π عندما a سالبة.

مشاركة الدرس

السؤال

إذا كانت مدرسة نواف تبعد 1.5 mi عن منزله، وتصنع زاوية مقدارها °53 شمال الشرق كما في الشكل أدناه، فأجب عن الفرعين a.b.

مثال​​​​​​​

إذا سلك نواف طريقاً للشرق ثم للشمال؛ كي يصل إلى المدرسة فكم ميلاً يتحرك في كل اتجاه؟

الحل

1.2mi شرقاً، 0.90mi شمالاً.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات

تدرب وحل المسائل

حول الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكلّ نقطة مما يأتي:

1) 2,π4

(2,2)

2) 14,π2

0,14

3) ( 5 , 240°)

(2.5,2.53)

4) (2.5,250)

(-0.86, -2.35)

5) 2,4π3

(1,3)

6) (13,70)

( 12.22 , 4.45 -)

7) 12,3π4

24,24

8) (2,270)

(0,2)

9) (4,210°)

(23,2)

10) 1,π6

32,12

أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمثِّل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة بالإحداثيات الديكارتية في كلّ مما يأتي:

11) ( 7, 10)

(12.21,0.96),(12.21,4.1)وأ(12.21,55),(12.21,235)

12) (13,4-)

(13.6,2.84),(13.6,5.98)وأ(13.6,163),(13.6,343)

13) (-12,-6)

(13.42,4.25),(13.42,1.11)وأ(13.42,244),(13.42,64)

14) (12-, 4)

(12.65,1.25),(12.65,1.89)وأ(12.65,288),(12.65,108)

15) (3-, 2)

(3.61,0.98),(3.61,2.16)وأ(3.61,72),(3.61,124)

16) (173-, 0)

(173,3π2),(173,π2)وأ(173,270),(173,90)

17) (3, 1)

(3.16,1.25),(3.16,4.39)وأ(3.16,72),(3.16,252)

18) (14, 14-)

(19.8,0.75π),(19.8,1.75π)وأ(19.8,135),(19.8,315)

19) (31-, 52)

(60.54,0.54),(60.54,2.61)وأ(60.54,31),(60.54,150)

20) (4-, 3)

(5,0.93),(5,2.21)وأ(5,53),(5,127)

21) (1-, 1)

1.41,π4,1.41,3π4وأ(1.41,45),(1.41,135)

22) (2,2)

(2.45,0.62),(2.45,3.76)وأ(2.45,36),(2.45,216)

23) مسافات: إذا كانت مدرسة نواف تبعد 1.5 mi عن منزله، وتصنع زاوية مقدارها °53 شمال الشرق كما في الشكل أدناه، فأجب عن الفرعين a.b.

مثال

a) إذا سلك نواف طريقاً للشرق ثم للشمال؛ كي يصل إلى المدرسة فكم ميلاً يتحرك في كل اتجاه؟

1.2mi شرقاً، 0.90mi شمالاً.

b) إذا كان الملعب على بعد 2 mi غرباً، و0.5 mi جنوباً، ومنزل نواف يمثّل القطب، فما إحداثيات موقع الملعب على الصورة
القطبية؟

(2.06,194.04°)

اكتب كلَّ معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:

x = -2 (24

r=2sec θ

(x + 5) 2 + y2 = 25 (25

r=10cos θ

y = -3 (26

r=3csc θ

x = 5 (27

r=4cos θ

(x - 2) 2 + y2 = 4 (28

r=4cos θ

x2 + (y + 3) 2 = 9 (29

r=6sin θ

y=3x (30

θ=π3

x2 + (y + 1) 2 = 1 (31

r=2sin θ

اكتب كل معادلة قطبية مما يأتي على الصورة الديكارتية:

32) r=3sin θ

x 2 + y 2 - 3y = 0

33) θ=π3

y=3x

34) r = 10

x 2 + y 2 = 100

35) r=4cos θ

x 2 - 4x + y 2 = 0

36) tan θ=4

y = 4x

37) r=8csc θ

y = 8

38) r = -4

x 2 + y 2 = 16

39) cot θ=7

x = -7y أو 17x=y

40) θ=3π4

y = -x

41) r=sec θ

x = 1

42) زلزال: تندمج حركة أمواج الزلازل بالمعادلة θ r = 12.6 sin، حيث r مقاسه بالأميال، اكتب معادلة أمواج الزلازل على الصورة الديكارتية.

x 2 + y 2 - 12.6 y = 0

اكتب كل معادلة قطبية مما يأتي على الصورة الديكارتية:

43) r=1cos θ+sin θ

x + y = 1 أو y = 1 - x

44) r=10csc θ+7π4

22y22x=10 أو y=x+102

45) r=3csc θπ2

x= - 3

46) r=2sec θ11π6

32x12y=2 أو y=3x+4

47) r=4sec θ4π3

y=33x833 وأ 12x32y=4

48) r=5cos θ+5sin θcos2 θsin2 θ

x - y = 5 أو y = x - 5

49) r=2sin (θ+π3)

x322+y122=1 وأ x2+y23xy=0

50) r=4cos (θ+π2)

x 2 + y 2 + 4y = 0 أو x2+(y+2)2=4

اكتب كلَّ معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:

6x - 3y = 4 (51

r=46cos θ3sin θ

2x + 5y = 12 (52

r=122cos θ+5sin θ

(x-6) 2 +(y - 8) 2 = 100 (53

r=12cos θ+16sin θ

(x + 3) 2 + (y - 2) 2 = 13 (54

r=6cos θ+4sin

55) جولف: في أحد ملاعب الجولف، يحيط بثقب الهدف منطقة خضراء محاطة بمنطقة رملية، المنطقة الرملية على فرض أن الثقب يمثّل القطب لكلتا المعادلتين، كما في الشكل أدناه، أوجد مساحة وأن المسافات تقاس بوحدة الياردة.

جولف

39πyd2122.52yd2

56) عجلة دوارة: إذا كانت إحداثيات أدنى نقطة في عجلة دوَّارة (0 ,0)، وأعلى نقطة فيها (20 ,0).

عجلة دوارة

a) فاكتب معادلة العجلة الدوَّارة الموضحة بالشكل المجاور على الصورة الديكارتية.

x 2 + (y - 10) 2 = 100

b) اكتب المعادلة في الفرع a بالصيغة القطبية.

r=20sin θ

57) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة سوف تكتشف العلاقة بين الأعداد المركبة والإحداثيات القطبية.

a) بيانياً: يمكن تمثيل العدد المركب a + bi في المستوى الديكارتي بالنقطة (a,b). مثّل العدد المركب 6+ 8i في المستوي الديكارتي.

التمثيل البياني

b) عددياً: أوجد الإحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال الإحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع.

(0.93 , 10) أو (° 53.13 , 10)

c) بيانياً: عزّز إجابتك في الفرع b بتمثيل الإحداثيات القطبية في المستوى القطبي.

التمثيل القطبي

d) بيانياً: مثّل بيانياً العدد المركب -3i+3 في المستوي الديكارتي.

التمثيل البياني

e) بيانياً: أوجد الإحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال الإحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع d، ومثّل الإحداثيات القطبية في المستوي القطبي.

التمثيل القطبي

f) تحليلياً: أوجد العبارات الجبرية التي تبين كيفية كتابة العدد المركب a + bi بالإحداثيات القطبية.

r=a2+b2

θ=lan1 ba عندما a موجباً.

θ=Tan1 ba+π عندما a سالبة.