في هذه المسألة سوف تكتشف العلاقة بين الأعداد المركبة والإحداثيات القطبية.

أوجد الإحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال الإحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع.

(0.93 , 10) أو (° 53.13 , 10)

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حول الإحداثيات القطبية إلى إحداثيات ديكارتية لكلّ نقطة مما يأتي:

1) $\left(2,\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}\right)$

$(\sqrt{2},\sqrt{2})$

2) $\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}},\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}\right)$

$\left(0,\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}\right)$

3) ( 5 , 240°)

$(-2.5,-2.5\sqrt{3})$

4) $(2.5,{250}^{\circ })$

(-0.86, -2.35)

5) $\left(-2,\frac{{\displaystyle 4\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$

$(1,\sqrt{3})$

6) $(-13,-{70}^{\circ })$

( 12.22 , 4.45 -)

7) $\left(\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle 3\pi }}{{\displaystyle 4}}\right)$

$\left(-\frac{{\displaystyle \sqrt{2}}}{{\displaystyle 4}},\frac{{\displaystyle \sqrt{2}}}{{\displaystyle 4}}\right)$

8) $(-2,{270}^{\circ })$

(0,2)

9) (4,210°)

$(-2\sqrt{3},-2)$

10) $\left(-1,-\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$

$\left(-\frac{{\displaystyle \sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}},\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}\right)$

أوجد زوجين مختلفين كل منهما يمثِّل إحداثيين قطبيين لكل نقطة معطاة بالإحداثيات الديكارتية في كلّ مما يأتي:

11) ( 7, 10)

$\begin{array}{rl}& \approx (12.21,0.96),\approx (-12.21,4.1)\\ & وأ\\ & \approx (12.21,{55}^{\circ }),\approx (-12.21,{235}^{\circ })\end{array}$

12) (13,4-)

$\begin{array}{rl}& \approx (13.6,2.84),\approx (-13.6,5.98)\\ & وأ\\ & \approx (13.6,{163}^{\circ }),\approx (-13.6,{343}^{\circ })\end{array}$

13) (-12,-6)

$\begin{array}{rl}& \approx (13.42,4.25),\approx (-13.42,1.11)\\ & وأ\\ & \approx (13.42,{244}^{\circ }),\approx (-13.42,{64}^{\circ })\end{array}$

14) (12-, 4)

$\begin{array}{rl}\approx & (12.65,-1.25),\approx (-12.65,1.89)\\ & وأ\\ & \approx (12.65,{288}^{\circ }),\approx (-12.65,{108}^{\circ })\end{array}$

15) (3-, 2)

$\begin{array}{rl}\approx & (3.61,-0.98),\approx (-3.61,2.16)\\ & وأ\\ & \approx (3.61,-{72}^{\circ }),\approx (-3.61,{124}^{\circ })\end{array}$

16) (173-, 0)

$\begin{array}{rl}& (173,\frac{3\pi }{2}),(-173,\frac{\pi }{2})\\ & وأ\\ \approx & (173,{270}^{\circ }),\approx (-173,{90}^{\circ })\end{array}$

17) (3, 1)

$\begin{array}{rl}& \approx (3.16,1.25),\approx (-3.16,4.39)\\ & وأ\\ & \approx (3.16,{72}^{\circ }),\approx (-3.16,{252}^{\circ })\end{array}$

18) (14, 14-)

$\begin{array}{c}\approx (19.8,0.75\pi ),\approx (-19.8,1.75\pi )\\ وأ\\ \approx (19.8,{135}^{\circ }),\approx (-19.8,{315}^{\circ })\end{array}$

19) (31-, 52)

$\begin{array}{rl}& \approx (60.54,0.54),\approx (-60.54,2.61)\\ & وأ\\ & \approx (60.54,{31}^{\circ }),\approx (-60.54,{150}^{\circ })\end{array}$

20) (4-, 3)

$\begin{array}{c}\approx (5,-0.93),\approx (-5,2.21)\\ وأ\\ \approx (5,{53}^{\circ }),\approx (-5,{127}^{\circ })\end{array}$

21) (1-, 1)

$\begin{array}{rl}\approx \left(1.41,-\frac{\pi }{4}\right),& \approx \left(-1.41,\frac{3\pi }{4}\right)\\ & وأ\\ \approx (1.41,-{45}^{\circ }),& \approx (-1.41,{135}^{\circ })\end{array}$

22) $(2,\sqrt{2})$

$\begin{array}{rl}& (2.45,0.62),(-2.45,3.76)\\ & وأ\\ \approx & (2.45,{36}^{\circ }),\approx (-2.45,{216}^{\circ })\end{array}$

23) مسافات: إذا كانت مدرسة نواف تبعد 1.5 mi عن منزله، وتصنع زاوية مقدارها °53 شمال الشرق كما في الشكل أدناه، فأجب عن الفرعين a.b.

a) إذا سلك نواف طريقاً للشرق ثم للشمال؛ كي يصل إلى المدرسة فكم ميلاً يتحرك في كل اتجاه؟

1.2mi شرقاً، 0.90mi شمالاً.

b) إذا كان الملعب على بعد 2 mi غرباً، و0.5 mi جنوباً، ومنزل نواف يمثّل القطب، فما إحداثيات موقع الملعب على الصورة
القطبية؟

(2.06,194.04°)

اكتب كلَّ معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:

x = -2 (24

$r=-2sec \theta$

(x + 5) ² + y² = 25 (25

$r=-10cos \theta$

y = -3 (26

$r=-3csc \theta$

x = 5 (27

$r=4cos \theta$

(x - 2) ² + y² = 4 (28

$r=4cos \theta$

x² + (y + 3) ² = 9 (29

$r=-6sin \theta$

$y=\sqrt{3}x$ (30

$\theta =\frac{\pi }{3}$

x² + (y + 1) ² = 1 (31

$r=-2sin \theta$

اكتب كل معادلة قطبية مما يأتي على الصورة الديكارتية:

32) $r=3\sin \theta$

x ² + y ² - 3y = 0

33) $\theta =-\frac{\pi }{3}$

$y=-\sqrt{3}x$

34) r = 10

x ² + y ² = 100

35) $r=4\cos \theta$

x ² - 4x + y ² = 0

36) $\tan \theta =4$

y = 4x

37) $r=8\csc \theta$

y = 8

38) r = -4

x ² + y ² = 16

39) $\cot \theta =-7$

x = -7y أو $-\frac{1}{7}x=y$

40) $\theta =\frac{3\pi }{4}$

y = -x

41) $r=\sec \theta$

x = 1

42) زلزال: تندمج حركة أمواج الزلازل بالمعادلة $\theta$ r = 12.6 sin، حيث r مقاسه بالأميال، اكتب معادلة أمواج الزلازل على الصورة الديكارتية.

x ² + y ² - 12.6 y = 0

اكتب كل معادلة قطبية مما يأتي على الصورة الديكارتية:

43) $r=\frac{1}{\cos {\displaystyle }\theta +\sin \theta }$

x + y = 1 أو y = 1 - x

44) $r=10\csc \left(\theta +\frac{{\displaystyle 7\pi }}{{\displaystyle 4}}\right)$

$\frac{\sqrt{2}}{2}y-\frac{\sqrt{2}}{2}x=10$ أو $y=x+10\sqrt{2}$

45) $r=3\csc \left(\theta -\frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}\right)$

x= - 3

46) $r=-2\sec \left(\theta -\frac{{\displaystyle 11\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$

$\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}y=-2$ أو $y=\sqrt{3}x+4$

47) $r=4\sec \left(\theta -\frac{{\displaystyle 4\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$

$y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{8\sqrt{3}}{3} وأ -\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y=4$

48) $r=\frac{5\cos \theta +5\sin \theta }{{\cos }^2{\displaystyle }\theta -{\sin }^2 \theta }$

x - y = 5 أو y = x - 5

49) $r=2\sin (\theta +\frac{\pi }{3})$

${\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=1 وأ x^2+y^2-\sqrt{3}x-y=0$

50) $r=4\cos (\theta +\frac{\pi }{2})$

x ² + y ² + 4y = 0 أو $x^2+(y+2{)}^2=4$

اكتب كلَّ معادلة مما يأتي على الصورة القطبية:

6x - 3y = 4 (51

$r=\frac{4}{6cos \theta -3sin \theta }$

2x + 5y = 12 (52

$r=\frac{12}{2cos \theta +5sin \theta }$

(x-6) ² +(y - 8) ² = 100 (53

$r=12cos \theta +16sin \theta$

(x + 3) ² + (y - 2) ² = 13 (54

$r=-6cos \theta +4sin$

55) جولف: في أحد ملاعب الجولف، يحيط بثقب الهدف منطقة خضراء محاطة بمنطقة رملية، المنطقة الرملية على فرض أن الثقب يمثّل القطب لكلتا المعادلتين، كما في الشكل أدناه، أوجد مساحة وأن المسافات تقاس بوحدة الياردة.

$39\pi {\mathrm{yd}}^2\approx 122.52{\mathrm{yd}}^2$

56) عجلة دوارة: إذا كانت إحداثيات أدنى نقطة في عجلة دوَّارة (0 ,0)، وأعلى نقطة فيها (20 ,0).

a) فاكتب معادلة العجلة الدوَّارة الموضحة بالشكل المجاور على الصورة الديكارتية.

x ² + (y - 10) ² = 100

b) اكتب المعادلة في الفرع a بالصيغة القطبية.

$r=20sin \theta$

57) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة سوف تكتشف العلاقة بين الأعداد المركبة والإحداثيات القطبية.

a) بيانياً: يمكن تمثيل العدد المركب a + bi في المستوى الديكارتي بالنقطة (a,b). مثّل العدد المركب 6+ 8i في المستوي الديكارتي.

b) عددياً: أوجد الإحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال الإحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع.

(0.93 , 10) أو (° 53.13 , 10)

c) بيانياً: عزّز إجابتك في الفرع b بتمثيل الإحداثيات القطبية في المستوى القطبي.

d) بيانياً: مثّل بيانياً العدد المركب -3i+3 في المستوي الديكارتي.

e) بيانياً: أوجد الإحداثيات القطبية للعدد المركب باستعمال الإحداثيات الديكارتية التي أوجدتها في الفرع d، ومثّل الإحداثيات القطبية في المستوي القطبي.

f) تحليلياً: أوجد العبارات الجبرية التي تبين كيفية كتابة العدد المركب a + bi بالإحداثيات القطبية.

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

$\theta ={\mathrm{lan}}^{-1} \frac{b}{a}$ عندما a موجباً.

$\theta ={\mathrm{Tan}}^{-1} \frac{b}{a}+\pi$ عندما a سالبة.