يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية $r=\sin \theta$ على الصورة الديكارتية، فيعتقد توفيق أن الحل هو $x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ في حين يعتقد باسل أن الحل هو y = sin x. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

توفيق؛ إجابة ممكنة: استعمل توفيق التعويض الصحيح، وتمثيل معادلته يطابق المعادلة القطبية الأصلية، في حين تمثّل إجابة باسل دالة الجيب، ولا تمثّل الدائرة التي هي التمثيل البياني للمعادلة القطبية الأصلية.

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

58) اكتشف الخطأ: يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية $r=\sin \theta$ على الصورة الديكارتية، فيعتقد توفيق أن الحل هو $x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ في حين يعتقد باسل أن الحل هو y = sin x. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

توفيق؛ إجابة ممكنة: استعمل توفيق التعويض الصحيح، وتمثيل معادلته يطابق المعادلة القطبية الأصلية، في حين تمثّل إجابة باسل دالة الجيب، ولا تمثّل الدائرة التي هي التمثيل البياني للمعادلة القطبية الأصلية.

59) تحدٍّ: اكتب معادلة الدائرة $r=2a\cos \theta$ بالصورة الديكارتية، وأوجد مركزها وطول نصف قطرها.

x - a) ² + y ² = a 2) ، المركز (a,0)، طول نصف القطر a

60) اكتب: اكتب تخميناً يبيّن متى يكون تمثيل المعادلة على الصورة القطبية أسهل من تمثيلها على الصورة الديكارتية، ومتى يكون العكس صحيحاً.

إجابة ممكنة: تمثيل معادلات لا تمثّل دوال، كمعادلات الدوائر أسهل باستعمال الصورة القطبية من استعمال الصورة الديكارتية، في حين أن تمثيل معادلات تمثل دوال كالدوال الخطية أسهل
باستعمال الصورة الديكارتية.

61) برهان: استعمل $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ لإثبان أن $r=x\sec \theta ,r=y\csc \theta$ حيث $\cdot \sin \theta \ne 0,\cos \theta \ne 0$

$\begin{array}{cc}y=r\sin \theta & x=r\cos \theta \\ \frac{y}{\sin \theta }=r& \frac{x}{\cos \theta }=r\\ y\cdot \frac{1}{\sin \theta }=r& x\cdot \frac{1}{\cos \theta }=r\\ y\csc \theta =r& x\sec \theta =r\end{array}$

62) تحدٍّ: اكتب المعادلة:

$\begin{array}{r}{r}^2(4{\cos }^2 \theta +3{\sin }^2 \theta )+r(-8a\cos \theta +6b\sin \theta )=\\ 12-4a^2-3b^2\end{array}$

على الصورة الديكارتية. (إرشاد: فك الأقواس قبل تعويض قيم r² ,r. تمثل المعادلة الديكارتية قطعاً مخروطياً).

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}{r}^2(4{\cos }^2 \theta +3{\sin }^2 \theta )+r(-8a\cos \theta +6b\sin \theta )=12-4a^2-3b^2\\ 4r^2{\cos }^2 \theta +3r^2{\sin }^2 \theta -8ar\cos \theta +6br\sin \theta =12-4a^2-3b^2\\ 4(r\cos \theta {)}^2+3(r\sin \theta {)}^2-8a(r\cos \theta )+6b(r\sin \theta )=12-4a^2-3b^2\\ 4x^2+3y^2-8ax+6by=12-4a^2-3b^2\end{array} \\ \begin{array}{r}4x^2-8ax+4a^2+3y^2+6by+3b^2=12\\ 4(x^2-2ax+a^2)+3(y^2+2by+b^2)=12\\ 4(x-a{)}^2+3(y+b{)}^2=12\\ \frac{(x-a{)}^2}{3}+\frac{(y+b{)}^2}{4}=1\end{array} \end{gathered}$$