حلول الأسئلة

السؤال

استعمل x = r cos   θ , y = r sin   θ لإثبان أن r = x sec   θ , r = y csc   θ حيث sin   θ 0 , cos   θ 0

الحل

y = r sin   θ x = r cos   θ y sin   θ = r x cos   θ = r y 1 sin   θ = r x 1 cos   θ = r y csc   θ = r x sec   θ = r

شاهد حلول جميع الاسئلة

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات

مسائل مهارات التفكير العليا

58) اكتشف الخطأ: يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية r=sin θ على الصورة الديكارتية، فيعتقد توفيق أن الحل هو x2+y122=14 في حين يعتقد باسل أن الحل هو y = sin x. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

توفيق؛ إجابة ممكنة: استعمل توفيق التعويض الصحيح، وتمثيل معادلته يطابق المعادلة القطبية الأصلية، في حين تمثّل إجابة باسل دالة الجيب، ولا تمثّل الدائرة التي هي التمثيل البياني للمعادلة القطبية الأصلية.

59) تحدٍّ: اكتب معادلة الدائرة r=2acos θ بالصورة الديكارتية، وأوجد مركزها وطول نصف قطرها.

x - a) 2 + y 2 = a 2) ، المركز (a,0)، طول نصف القطر a

60) اكتب: اكتب تخميناً يبيّن متى يكون تمثيل المعادلة على الصورة القطبية أسهل من تمثيلها على الصورة الديكارتية، ومتى يكون العكس صحيحاً.

إجابة ممكنة: تمثيل معادلات لا تمثّل دوال، كمعادلات الدوائر أسهل باستعمال الصورة القطبية من استعمال الصورة الديكارتية، في حين أن تمثيل معادلات تمثل دوال كالدوال الخطية أسهل
باستعمال الصورة الديكارتية.

61) برهان: استعمل x=rcos θ,y=rsin θ لإثبان أن r=xsec θ,r=ycsc θ حيث sin θ0,cos θ0

y=rsin θx=rcos θysin θ=rxcos θ=ry1sin θ=rx1cos θ=rycsc θ=rxsec θ=r

62) تحدٍّ: اكتب المعادلة:

r2(4cos2 θ+3sin2 θ)+r(8acos θ+6bsin θ)=124a23b2

على الصورة الديكارتية. (إرشاد: فك الأقواس قبل تعويض قيم r2 ,r. تمثل المعادلة الديكارتية قطعاً مخروطياً).

r2(4cos2 θ+3sin2 θ)+r(8acos θ+6bsin θ)=124a23b24r2cos2 θ+3r2sin2 θ8arcos θ+6brsin θ=124a23b24(rcos θ)2+3(rsin θ)28a(rcos θ)+6b(rsin θ)=124a23b24x2+3y28ax+6by=124a23b24x28ax+4a2+3y2+6by+3b2=124(x22ax+a2)+3(y2+2by+b2)=124(xa)2+3(y+b)2=12(xa)23+(y+b)24=1

مشاركة الدرس

السؤال

استعمل x = r cos   θ , y = r sin   θ لإثبان أن r = x sec   θ , r = y csc   θ حيث sin   θ 0 , cos   θ 0

الحل

y = r sin   θ x = r cos   θ y sin   θ = r x cos   θ = r y 1 sin   θ = r x 1 cos   θ = r y csc   θ = r x sec   θ = r

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

الصورة القطبية والصورة الديكارتية للمعادلات

مسائل مهارات التفكير العليا

58) اكتشف الخطأ: يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية r=sin θ على الصورة الديكارتية، فيعتقد توفيق أن الحل هو x2+y122=14 في حين يعتقد باسل أن الحل هو y = sin x. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

توفيق؛ إجابة ممكنة: استعمل توفيق التعويض الصحيح، وتمثيل معادلته يطابق المعادلة القطبية الأصلية، في حين تمثّل إجابة باسل دالة الجيب، ولا تمثّل الدائرة التي هي التمثيل البياني للمعادلة القطبية الأصلية.

59) تحدٍّ: اكتب معادلة الدائرة r=2acos θ بالصورة الديكارتية، وأوجد مركزها وطول نصف قطرها.

x - a) 2 + y 2 = a 2) ، المركز (a,0)، طول نصف القطر a

60) اكتب: اكتب تخميناً يبيّن متى يكون تمثيل المعادلة على الصورة القطبية أسهل من تمثيلها على الصورة الديكارتية، ومتى يكون العكس صحيحاً.

إجابة ممكنة: تمثيل معادلات لا تمثّل دوال، كمعادلات الدوائر أسهل باستعمال الصورة القطبية من استعمال الصورة الديكارتية، في حين أن تمثيل معادلات تمثل دوال كالدوال الخطية أسهل
باستعمال الصورة الديكارتية.

61) برهان: استعمل x=rcos θ,y=rsin θ لإثبان أن r=xsec θ,r=ycsc θ حيث sin θ0,cos θ0

y=rsin θx=rcos θysin θ=rxcos θ=ry1sin θ=rx1cos θ=rycsc θ=rxsec θ=r

62) تحدٍّ: اكتب المعادلة:

r2(4cos2 θ+3sin2 θ)+r(8acos θ+6bsin θ)=124a23b2

على الصورة الديكارتية. (إرشاد: فك الأقواس قبل تعويض قيم r2 ,r. تمثل المعادلة الديكارتية قطعاً مخروطياً).

r2(4cos2 θ+3sin2 θ)+r(8acos θ+6bsin θ)=124a23b24r2cos2 θ+3r2sin2 θ8arcos θ+6brsin θ=124a23b24(rcos θ)2+3(rsin θ)28a(rcos θ)+6b(rsin θ)=124a23b24x2+3y28ax+6by=124a23b24x28ax+4a2+3y2+6by+3b2=124(x22ax+a2)+3(y2+2by+b2)=124(xa)2+3(y+b)2=12(xa)23+(y+b)24=1