على الصورة الديكارتية. (إرشاد: فك الأقواس قبل تعويض قيم r²,r. تمثل المعادلة الديكارتية قطعاً مخروطياً).

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}{r}^2(4{\cos }^2 \theta +3{\sin }^2 \theta )+r(-8a\cos \theta +6b\sin \theta )=12-4a^2-3b^2\\ 4r^2{\cos }^2 \theta +3r^2{\sin }^2 \theta -8ar\cos \theta +6br\sin \theta =12-4a^2-3b^2\\ 4(r\cos \theta {)}^2+3(r\sin \theta {)}^2-8a(r\cos \theta )+6b(r\sin \theta )=12-4a^2-3b^2\\ 4x^2+3y^2-8ax+6by=12-4a^2-3b^2\end{array} \\ \begin{array}{r}4x^2-8ax+4a^2+3y^2+6by+3b^2=12\\ 4(x^2-2ax+a^2)+3(y^2+2by+b^2)=12\\ 4(x-a{)}^2+3(y+b{)}^2=12\\ \frac{(x-a{)}^2}{3}+\frac{(y+b{)}^2}{4}=1\end{array} \end{gathered}$$

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

58) اكتشف الخطأ: يحاول كل من باسل وتوفيق كتابة المعادلة القطبية $r=\sin \theta$ على الصورة الديكارتية، فيعتقد توفيق أن الحل هو $x^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ في حين يعتقد باسل أن الحل هو y = sin x. أيهما كانت إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

توفيق؛ إجابة ممكنة: استعمل توفيق التعويض الصحيح، وتمثيل معادلته يطابق المعادلة القطبية الأصلية، في حين تمثّل إجابة باسل دالة الجيب، ولا تمثّل الدائرة التي هي التمثيل البياني للمعادلة القطبية الأصلية.

59) تحدٍّ: اكتب معادلة الدائرة $r=2a\cos \theta$ بالصورة الديكارتية، وأوجد مركزها وطول نصف قطرها.

x - a) ² + y ² = a 2) ، المركز (a,0)، طول نصف القطر a

60) اكتب: اكتب تخميناً يبيّن متى يكون تمثيل المعادلة على الصورة القطبية أسهل من تمثيلها على الصورة الديكارتية، ومتى يكون العكس صحيحاً.

إجابة ممكنة: تمثيل معادلات لا تمثّل دوال، كمعادلات الدوائر أسهل باستعمال الصورة القطبية من استعمال الصورة الديكارتية، في حين أن تمثيل معادلات تمثل دوال كالدوال الخطية أسهل
باستعمال الصورة الديكارتية.

61) برهان: استعمل $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$ لإثبان أن $r=x\sec \theta ,r=y\csc \theta$ حيث $\cdot \sin \theta \ne 0,\cos \theta \ne 0$

$\begin{array}{cc}y=r\sin \theta & x=r\cos \theta \\ \frac{y}{\sin \theta }=r& \frac{x}{\cos \theta }=r\\ y\cdot \frac{1}{\sin \theta }=r& x\cdot \frac{1}{\cos \theta }=r\\ y\csc \theta =r& x\sec \theta =r\end{array}$

62) تحدٍّ: اكتب المعادلة:

$\begin{array}{r}{r}^2(4{\cos }^2 \theta +3{\sin }^2 \theta )+r(-8a\cos \theta +6b\sin \theta )=\\ 12-4a^2-3b^2\end{array}$

على الصورة الديكارتية. (إرشاد: فك الأقواس قبل تعويض قيم r² ,r. تمثل المعادلة الديكارتية قطعاً مخروطياً).

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}{r}^2(4{\cos }^2 \theta +3{\sin }^2 \theta )+r(-8a\cos \theta +6b\sin \theta )=12-4a^2-3b^2\\ 4r^2{\cos }^2 \theta +3r^2{\sin }^2 \theta -8ar\cos \theta +6br\sin \theta =12-4a^2-3b^2\\ 4(r\cos \theta {)}^2+3(r\sin \theta {)}^2-8a(r\cos \theta )+6b(r\sin \theta )=12-4a^2-3b^2\\ 4x^2+3y^2-8ax+6by=12-4a^2-3b^2\end{array} \\ \begin{array}{r}4x^2-8ax+4a^2+3y^2+6by+3b^2=12\\ 4(x^2-2ax+a^2)+3(y^2+2by+b^2)=12\\ 4(x-a{)}^2+3(y+b{)}^2=12\\ \frac{(x-a{)}^2}{3}+\frac{(y+b{)}^2}{4}=1\end{array} \end{gathered}$$