حلول الأسئلة

السؤال

تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

أوجد طول المتجه واتجاهه.

الحل

طوله 18.03N، اتجاهه محدد بالزاوية ° 56.31

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الأعداد المركبة ونظرية ديموافر

تدرب وحل المسائل

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:

1) z = 4 + 4i

5.66

2) z = -3 + i

3.16

3) z = -4 - 6i

7.21

4) z = 2 - 5i

5.39

5) z = -7 + 5i

8.60

6) z = 8 - 2i

8.25

7) متجهات: تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

a) مثّل z كمتجه في المستوى المركب.

التمثيل البياني

b) أوجد طول المتجه واتجاهه.

طوله 18.03N، اتجاهه محدد بالزاوية ° 56.31

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:

4 + 4i (8

$4 \sqrt{2} (c o s \frac{π}{4} + i s i n \frac{π}{4})$

-2 + i (9

$\approx \sqrt{5} (c o s 2 .68 + i s i n 2 .68)$

$4 - \sqrt{2} i$ (10

$\approx 3 \sqrt{2} (c o s (- 0 .34) + i s i n - (0 .34))$

2 - 2i (11

$2 \sqrt{2} (c o s (- \frac{π}{4}) + i s i n (- \frac{π}{4}))$

4 + 5i (12

$\approx \sqrt{41} (c o s 0 .90 + i s i n 0 .90)$

$- 1 - \sqrt{3} i$ (13

$2 (c o s \frac{4 π}{3} + i s i n \frac{4 π}{3})$

مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

14) $4 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

$2 + 2 \sqrt{3} i$

التمثيل القطبي

15) $(\cos \frac{11 π}{6} + i \sin \frac{11 π}{6})$

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

التمثيل القطبي

16) $2 (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3})$

$- 1 - \sqrt{3} i$

التمثيل القطبي

17) $\frac{3}{2} (\cos 360^{\circ} + i \sin 360^{\circ})$

$\frac{3}{2}$

التمثيل القطبي

أوجد الناتج في كلّ مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

18) $6 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}) \cdot 4 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

$24 (c o s \frac{3 π}{4} + i s i n \frac{3 π}{4}), - 12 \sqrt{2} + 12 \sqrt{2} i$

19) $5 (\cos 135^{\circ} + i \sin 135^{\circ}) \cdot 2 (\cos 45^{\circ} + i \sin 45^{\circ})$

$10 (c o s 180^{\circ} + i s i n 180^{\circ}), - 10$

20) $3 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \div \frac{1}{2} (\cos π + i \sin π)$

$6 [c o s (- \frac{π}{4}) + i s i n (- \frac{π}{4})], 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} i$

21) $2 (\cos 90^{\circ} + i \sin 90^{\circ}) \cdot 2 (\cos 270^{\circ} + i \sin 270^{\circ})$

$4 (c o s 360^{\circ} + i s i n 360^{\circ}), 4$

22) $3 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6}) \div 4 (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3})$

$\frac{3}{4} [c o s (- \frac{π}{2}) + i s i n (- \frac{π}{2})], - \frac{3}{4} i$

23) $4 (\cos \frac{9 π}{4} + i \sin \frac{9 π}{4}) \div 2 (\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2})$

$2 (c o s \frac{3 π}{4} + i s i n \frac{3 π}{4}), - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$

24) $\frac{1}{2} (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ}) \cdot 6 (\cos 150^{\circ} + i \sin 150^{\circ})$

$3 (c o s 210^{\circ} + i s i n 210^{\circ}), - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i$

25) $6 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \div 2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

$3 (c o s \frac{π}{2} + i s i n \frac{π}{2}), 3 i$

26) $5 (\cos 180^{\circ} + i \sin 180^{\circ}) \cdot 2 (\cos 135^{\circ} + i \sin 135^{\circ})$

$10 (c o s 315^{\circ} + i s i n 315^{\circ}), 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} i$

27) $\frac{1}{2} (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) \div 3 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})$

$\frac{1}{6} (c o s \frac{π}{6} + i s i n \frac{π}{6}), \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{12} i$

أوجد الناتج لكل مما يأتي بالصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

28) $(2 + 2 \sqrt{3} i)^{6}$

4096

29) ${[4 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2})]}^{4}$

256

30) $(2 + 3 i)^{- 2}$

0.03-0.07i-

31) ${[2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})]}^{4}$

16-

32) تصميم: يعمل سالم في وكالة للإعلانات ويرغب في تصميم لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبين أدناه، ويستطيع تعيين رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية بتمثيل حلول المعادلة، 1=0- في المستوى المركب أوجد رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية.

لوحة أشكال سداسية

$\begin{array}{r} 1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - 1 \\ - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array}$

أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي:

33) الجذور السداسية للعدد i.

$\begin{matrix} \approx 0 .97 + 0 .26 i, \approx 0 .26 + 0 .97 i, \approx - 0 .71 + 0 .71 i \\ \approx - 0 .97 - 0 .26 i, \approx - 0 .26 - 0 .97 i, \approx 0 .71 - 0 .71 i \end{matrix}$

34) الجذور الرباعية للعدد $4 \sqrt{3} - 4 i$ .

$\begin{array}{r} \approx 0 .22 + 1 .67 i, \approx - 1 .67 + 0 .22 i \\ \approx - . 22 - 1 .67 i, \approx 1 .67 - 0 .22 i \end{array}$

35) الجذور التربيعية للعدد $- 3 - 4 i$ .

-1 + 2 i, 1 - 2 i

36) كهرباء: تعطى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة $5 (\cos 0.9 + j \sin 0.9) Ω$ ، وتعطى في الجزء الآخر من الدائرة بالعبارة $8 (\cos 0.4 + j \sin 0.4) Ω$ .

a) حوّل كلاً من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية.

3.11+3.92 j, 7.37+3.12 j

b) اجمع الناتجين في الفرع a؛ لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة.

$(10.48 + 7.04 j) Ω$

c) حوّل المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية.

$\approx 12.63 (\cos 0.59 + j \sin 0.59) Ω$

37) كسريات: الكسريات شكل هندسي يتكون من نمط مكرر بشكل مستمر، وتكون الكسريات ذاتية التشابه؛ أي أن الأجزاء الصغيرة
للشكل لها الخصائص الهندسية نفسها للشكل الأصلي، كما في الشكل أدناه.

شكل هندسي

في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلالال تكرار f(z) = z²، حيث . z₀= 0.8 + 0.5i.

a) احسب z₁, z₂,z₃,z₄,z₅,z₆ حيث (z₂=f(z₁) ،z₁=f(z₀وهكذا.

$\begin{matrix} z_{1} \approx 0 .39 + 0 .8 i, z_{2} \approx - 0 .49 + 0 .62 i \\ z_{3} \approx - 0 .14 - 0 .61 i, z_{4} \approx - 0 .35 + 0 .17 i \\ z_{5} \approx 0 .09 - 0 .12 i, z_{6} \approx - 0 .0063 - 0 .0216 i \end{matrix}$

b) مثّل كل عدد في المستوى المركب.

التمثيل البياني

c) صف النمط الناتج.

إجابة ممكنة: عند تطبيق f (z ) = z² في كل مرة، فإن العدد المركب الناتج يقترب من نقطة الأصل وتقترب قيمته المطلقة من الصفر.

38) أوجد العدد المركب z إذا علمت أن $(- 1 - i)$ هو أحد جذوره الرباعية، ثم أوجد جذوره الرباعية الأخرى .

إجابة ممكنة: أوجد الصورة القطبية للجذر $(- 1 - i)$ فستكون $\sqrt{2} (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4})$ ثم أوجد ${[\sqrt{2} (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4})]}^{4}$ تحصل على العدد المركب z ، ثم أوجد
جذوره الأخرى ، وتكون الإجابة النهائية هي:

-4 ; 1 + i , -1 + i , -1 - i , 1 - i

حل كلاً من المعادلات الآتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة:

39) x³ = i

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, - i$

40) x⁴ = 81i

$\begin{matrix} 2.77 + 1.15 i, - 1.15 + 2.77 i \\ \approx - 2.77 - 1.15 i, 1.15 - 2.77 i \end{matrix}$

41) x³ + 1 = i

$\begin{array}{r} 0.79 + 0.79 i, - 1.08 + 0.29 i \\ 0.29 - 1.08 i \end{array}$

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الأعداد المركبة ونظرية ديموافر

تدرب وحل المسائل

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:

1) z = 4 + 4i

5.66

2) z = -3 + i

3.16

3) z = -4 - 6i

7.21

4) z = 2 - 5i

5.39

5) z = -7 + 5i

8.60

6) z = 8 - 2i

8.25

7) متجهات: تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

a) مثّل z كمتجه في المستوى المركب.

التمثيل البياني

b) أوجد طول المتجه واتجاهه.

طوله 18.03N، اتجاهه محدد بالزاوية ° 56.31

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:

4 + 4i (8

$4 \sqrt{2} (c o s \frac{π}{4} + i s i n \frac{π}{4})$

-2 + i (9

$\approx \sqrt{5} (c o s 2 .68 + i s i n 2 .68)$

$4 - \sqrt{2} i$ (10

$\approx 3 \sqrt{2} (c o s (- 0 .34) + i s i n - (0 .34))$

2 - 2i (11

$2 \sqrt{2} (c o s (- \frac{π}{4}) + i s i n (- \frac{π}{4}))$

4 + 5i (12

$\approx \sqrt{41} (c o s 0 .90 + i s i n 0 .90)$

$- 1 - \sqrt{3} i$ (13

$2 (c o s \frac{4 π}{3} + i s i n \frac{4 π}{3})$

مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

14) $4 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

$2 + 2 \sqrt{3} i$

التمثيل القطبي

15) $(\cos \frac{11 π}{6} + i \sin \frac{11 π}{6})$

$\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$

التمثيل القطبي

16) $2 (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3})$

$- 1 - \sqrt{3} i$

التمثيل القطبي

17) $\frac{3}{2} (\cos 360^{\circ} + i \sin 360^{\circ})$

$\frac{3}{2}$

التمثيل القطبي

أوجد الناتج في كلّ مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

18) $6 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}) \cdot 4 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

$24 (c o s \frac{3 π}{4} + i s i n \frac{3 π}{4}), - 12 \sqrt{2} + 12 \sqrt{2} i$

19) $5 (\cos 135^{\circ} + i \sin 135^{\circ}) \cdot 2 (\cos 45^{\circ} + i \sin 45^{\circ})$

$10 (c o s 180^{\circ} + i s i n 180^{\circ}), - 10$

20) $3 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \div \frac{1}{2} (\cos π + i \sin π)$

$6 [c o s (- \frac{π}{4}) + i s i n (- \frac{π}{4})], 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} i$

21) $2 (\cos 90^{\circ} + i \sin 90^{\circ}) \cdot 2 (\cos 270^{\circ} + i \sin 270^{\circ})$

$4 (c o s 360^{\circ} + i s i n 360^{\circ}), 4$

22) $3 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6}) \div 4 (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3})$

$\frac{3}{4} [c o s (- \frac{π}{2}) + i s i n (- \frac{π}{2})], - \frac{3}{4} i$

23) $4 (\cos \frac{9 π}{4} + i \sin \frac{9 π}{4}) \div 2 (\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2})$

$2 (c o s \frac{3 π}{4} + i s i n \frac{3 π}{4}), - \sqrt{2} + \sqrt{2} i$

24) $\frac{1}{2} (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ}) \cdot 6 (\cos 150^{\circ} + i \sin 150^{\circ})$

$3 (c o s 210^{\circ} + i s i n 210^{\circ}), - \frac{3 \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i$

25) $6 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \div 2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

$3 (c o s \frac{π}{2} + i s i n \frac{π}{2}), 3 i$

26) $5 (\cos 180^{\circ} + i \sin 180^{\circ}) \cdot 2 (\cos 135^{\circ} + i \sin 135^{\circ})$

$10 (c o s 315^{\circ} + i s i n 315^{\circ}), 5 \sqrt{2} - 5 \sqrt{2} i$

27) $\frac{1}{2} (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) \div 3 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})$

$\frac{1}{6} (c o s \frac{π}{6} + i s i n \frac{π}{6}), \frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{1}{12} i$

أوجد الناتج لكل مما يأتي بالصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

28) $(2 + 2 \sqrt{3} i)^{6}$

4096

29) ${[4 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2})]}^{4}$

256

30) $(2 + 3 i)^{- 2}$

0.03-0.07i-

31) ${[2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})]}^{4}$

16-

32) تصميم: يعمل سالم في وكالة للإعلانات ويرغب في تصميم لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبين أدناه، ويستطيع تعيين رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية بتمثيل حلول المعادلة، 1=0- في المستوى المركب أوجد رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية.

لوحة أشكال سداسية

$\begin{array}{r} 1, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - 1 \\ - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i \end{array}$

أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي:

33) الجذور السداسية للعدد i.

$\begin{matrix} \approx 0 .97 + 0 .26 i, \approx 0 .26 + 0 .97 i, \approx - 0 .71 + 0 .71 i \\ \approx - 0 .97 - 0 .26 i, \approx - 0 .26 - 0 .97 i, \approx 0 .71 - 0 .71 i \end{matrix}$

34) الجذور الرباعية للعدد $4 \sqrt{3} - 4 i$ .

$\begin{array}{r} \approx 0 .22 + 1 .67 i, \approx - 1 .67 + 0 .22 i \\ \approx - . 22 - 1 .67 i, \approx 1 .67 - 0 .22 i \end{array}$

35) الجذور التربيعية للعدد $- 3 - 4 i$ .

-1 + 2 i, 1 - 2 i

36) كهرباء: تعطى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة $5 (\cos 0.9 + j \sin 0.9) Ω$ ، وتعطى في الجزء الآخر من الدائرة بالعبارة $8 (\cos 0.4 + j \sin 0.4) Ω$ .

a) حوّل كلاً من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية.

3.11+3.92 j, 7.37+3.12 j

b) اجمع الناتجين في الفرع a؛ لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة.

$(10.48 + 7.04 j) Ω$

c) حوّل المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية.

$\approx 12.63 (\cos 0.59 + j \sin 0.59) Ω$

37) كسريات: الكسريات شكل هندسي يتكون من نمط مكرر بشكل مستمر، وتكون الكسريات ذاتية التشابه؛ أي أن الأجزاء الصغيرة
للشكل لها الخصائص الهندسية نفسها للشكل الأصلي، كما في الشكل أدناه.

شكل هندسي

في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلالال تكرار f(z) = z²، حيث . z₀= 0.8 + 0.5i.

a) احسب z₁, z₂,z₃,z₄,z₅,z₆ حيث (z₂=f(z₁) ،z₁=f(z₀وهكذا.

b) مثّل كل عدد في المستوى المركب.

التمثيل البياني

c) صف النمط الناتج.

38) أوجد العدد المركب z إذا علمت أن $(- 1 - i)$ هو أحد جذوره الرباعية، ثم أوجد جذوره الرباعية الأخرى .

-4 ; 1 + i , -1 + i , -1 - i , 1 - i

حل كلاً من المعادلات الآتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة:

39) x³ = i

$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i, - i$

40) x⁴ = 81i

$\begin{matrix} 2.77 + 1.15 i, - 1.15 + 2.77 i \\ \approx - 2.77 - 1.15 i, 1.15 - 2.77 i \end{matrix}$

41) x³ + 1 = i

$\begin{array}{r} 0.79 + 0.79 i, - 1.08 + 0.29 i \\ 0.29 - 1.08 i \end{array}$

حلول الأسئلة

تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

أوجد طول المتجه واتجاهه.

مشاركة الحل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:

1) z = 4 + 4i

2) z = -3 + i

3) z = -4 - 6i

4) z = 2 - 5i

5) z = -7 + 5i

6) z = 8 - 2i

7) متجهات: تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

a) مثّل z كمتجه في المستوى المركب.

b) أوجد طول المتجه واتجاهه.

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:

4 + 4i (8

-2 + i (9

(10

2 - 2i (11

4 + 5i (12

(13

مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

14)

15)

16)

17)

أوجد الناتج في كلّ مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

أوجد الناتج لكل مما يأتي بالصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

28)

29)

30)

31)

أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي:

33) الجذور السداسية للعدد i.

34) الجذور الرباعية للعدد .

35) الجذور التربيعية للعدد .

36) كهرباء: تعطى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة ، وتعطى في الجزء الآخر من الدائرة بالعبارة .

a) حوّل كلاً من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية.

b) اجمع الناتجين في الفرع a؛ لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة.

c) حوّل المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية.

في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلالال تكرار f(z) = z2، حيث . z0 = 0.8 + 0.5i.

a) احسب z1, z2,z3,z4,z5,z6 حيث (z2=f(z1) ،z1=f(z0 وهكذا.

b) مثّل كل عدد في المستوى المركب.

c) صف النمط الناتج.

38) أوجد العدد المركب z إذا علمت أن هو أحد جذوره الرباعية، ثم أوجد جذوره الرباعية الأخرى .

حل كلاً من المعادلات الآتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة:

39) x3 = i

40) x4 = 81i

41) x3 + 1 = i

مشاركة الدرس

تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

أوجد طول المتجه واتجاهه.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:

1) z = 4 + 4i

2) z = -3 + i

3) z = -4 - 6i

4) z = 2 - 5i

5) z = -7 + 5i

6) z = 8 - 2i

7) متجهات: تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

a) مثّل z كمتجه في المستوى المركب.

b) أوجد طول المتجه واتجاهه.

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:

4 + 4i (8

-2 + i (9

(10

2 - 2i (11

4 + 5i (12

$4 - \sqrt{2} i$ (10

$- 1 - \sqrt{3} i$ (13

14) $4 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

15) $(\cos \frac{11 π}{6} + i \sin \frac{11 π}{6})$

16) $2 (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3})$

17) $\frac{3}{2} (\cos 360^{\circ} + i \sin 360^{\circ})$

18) $6 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}) \cdot 4 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

19) $5 (\cos 135^{\circ} + i \sin 135^{\circ}) \cdot 2 (\cos 45^{\circ} + i \sin 45^{\circ})$

20) $3 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \div \frac{1}{2} (\cos π + i \sin π)$

21) $2 (\cos 90^{\circ} + i \sin 90^{\circ}) \cdot 2 (\cos 270^{\circ} + i \sin 270^{\circ})$

22) $3 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6}) \div 4 (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3})$

23) $4 (\cos \frac{9 π}{4} + i \sin \frac{9 π}{4}) \div 2 (\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2})$

24) $\frac{1}{2} (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ}) \cdot 6 (\cos 150^{\circ} + i \sin 150^{\circ})$

25) $6 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \div 2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

26) $5 (\cos 180^{\circ} + i \sin 180^{\circ}) \cdot 2 (\cos 135^{\circ} + i \sin 135^{\circ})$

27) $\frac{1}{2} (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) \div 3 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})$

28) $(2 + 2 \sqrt{3} i)^{6}$

29) ${[4 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2})]}^{4}$

30) $(2 + 3 i)^{- 2}$

31) ${[2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})]}^{4}$

34) الجذور الرباعية للعدد $4 \sqrt{3} - 4 i$ .

35) الجذور التربيعية للعدد $- 3 - 4 i$ .

36) كهرباء: تعطى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة $5 (\cos 0.9 + j \sin 0.9) Ω$ ، وتعطى في الجزء الآخر من الدائرة بالعبارة $8 (\cos 0.4 + j \sin 0.4) Ω$ .

في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلالال تكرار f(z) = z²، حيث . z₀= 0.8 + 0.5i.

a) احسب z₁, z₂,z₃,z₄,z₅,z₆ حيث (z₂=f(z₁) ،z₁=f(z₀وهكذا.

38) أوجد العدد المركب z إذا علمت أن $(- 1 - i)$ هو أحد جذوره الرباعية، ثم أوجد جذوره الرباعية الأخرى .

39) x³ = i

40) x⁴ = 81i

41) x³ + 1 = i

$4 - \sqrt{2} i$ (10

$- 1 - \sqrt{3} i$ (13

14) $4 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})$

15) $(\cos \frac{11 π}{6} + i \sin \frac{11 π}{6})$

16) $2 (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3})$

17) $\frac{3}{2} (\cos 360^{\circ} + i \sin 360^{\circ})$

18) $6 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2}) \cdot 4 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

19) $5 (\cos 135^{\circ} + i \sin 135^{\circ}) \cdot 2 (\cos 45^{\circ} + i \sin 45^{\circ})$

20) $3 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \div \frac{1}{2} (\cos π + i \sin π)$

21) $2 (\cos 90^{\circ} + i \sin 90^{\circ}) \cdot 2 (\cos 270^{\circ} + i \sin 270^{\circ})$

22) $3 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6}) \div 4 (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3})$

23) $4 (\cos \frac{9 π}{4} + i \sin \frac{9 π}{4}) \div 2 (\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2})$

24) $\frac{1}{2} (\cos 60^{\circ} + i \sin 60^{\circ}) \cdot 6 (\cos 150^{\circ} + i \sin 150^{\circ})$

25) $6 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) \div 2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

26) $5 (\cos 180^{\circ} + i \sin 180^{\circ}) \cdot 2 (\cos 135^{\circ} + i \sin 135^{\circ})$

27) $\frac{1}{2} (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) \div 3 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})$

28) $(2 + 2 \sqrt{3} i)^{6}$

29) ${[4 (\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2})]}^{4}$

30) $(2 + 3 i)^{- 2}$

31) ${[2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})]}^{4}$

34) الجذور الرباعية للعدد $4 \sqrt{3} - 4 i$ .

35) الجذور التربيعية للعدد $- 3 - 4 i$ .

36) كهرباء: تعطى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة $5 (\cos 0.9 + j \sin 0.9) Ω$ ، وتعطى في الجزء الآخر من الدائرة بالعبارة $8 (\cos 0.4 + j \sin 0.4) Ω$ .

في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلالال تكرار f(z) = z²، حيث . z₀= 0.8 + 0.5i.

a) احسب z₁, z₂,z₃,z₄,z₅,z₆ حيث (z₂=f(z₁) ،z₁=f(z₀وهكذا.

38) أوجد العدد المركب z إذا علمت أن $(- 1 - i)$ هو أحد جذوره الرباعية، ثم أوجد جذوره الرباعية الأخرى .

39) x³ = i

40) x⁴ = 81i

41) x³ + 1 = i