حلول الأسئلة

السؤال

أوجد الناتج في كلّ مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

الحل

1 2 cos   π 3 + i sin   π 3 ÷ 3 cos   π 6 + i sin   π 6

1 6 c o s   π 6 + i s i n   π 6 , 3 12 + 1 12 i

شاهد حلول جميع الاسئلة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الأعداد المركبة ونظرية ديموافر

تدرب وحل المسائل

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:

1) z = 4 + 4i

5.66

2) z = -3 + i

3.16

3) z = -4 - 6i

7.21

4) z = 2 - 5i

5.39

5) z = -7 + 5i

8.60

6) z = 8 - 2i

8.25

7) متجهات: تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

a) مثّل z كمتجه في المستوى المركب.

التمثيل البياني

b) أوجد طول المتجه واتجاهه.

طوله 18.03N، اتجاهه محدد بالزاوية ° 56.31

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:

4 + 4i (8

42cos π4+isin π4

-2 + i (9

5(cos 2.68+isin 2.68)

42i (10

32(cos (0.34)+isin(0.34))

2 - 2i (11

22cos π4+isin π4

4 + 5i (12

41(cos 0.90+isin 0.90)

13i (13

2cos 4π3+isin 4π3

مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

14) 4cos π3+isin π3

2+23i

التمثيل القطبي

15) cos 11π6+isin 11π6

3212i

التمثيل القطبي

16) 2cos 4π3+isin 4π3

13i

التمثيل القطبي

17) 32(cos 360+isin 360)

32

التمثيل القطبي

أوجد الناتج في كلّ مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

18)6cos π2+isin π24cos π4+isin π4

24cos 3π4+isin 3π4,122+122i

19) 5(cos 135+isin 135)2(cos 45+isin 45)

10(cos 180+isin 180),10

20) 3cos 3π4+isin 3π4÷12(cos π+isin π)

6cosπ4+isinπ4,3232i

21) 2(cos 90+isin 90)2(cos 270+isin 270)

4(cos 360+isin 360),4

22) 3cos π6+isin π6÷4cos 2π3+isin 2π3

34cosπ2+isinπ2,34i

23) 4cos 9π4+isin 9π4÷2cos 3π2+isin 3π2

2cos 3π4+isin 3π4,2+2i

24) 12(cos 60+isin 60)6(cos 150+isin 150)

3cos 210+isin 210,33232i

25) 6cos 3π4+isin 3π4÷2cos π4+isin π4

3cos π2+isin π2,3i

26) 5(cos 180+isin 180)2(cos 135+isin 135)

10(cos 315+isin 315),5252i

27) 12cos π3+isin π3÷3cos π6+isin π6

16cos π6+isin π6,312+112i

أوجد الناتج لكل مما يأتي بالصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

28) (2+23i)6

4096

29) 4cos π2+isin π24

256

30) (2+3i)2

0.03-0.07i-

31) 2cos π4+isin π44

16-

32) تصميم: يعمل سالم في وكالة للإعلانات ويرغب في تصميم لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبين أدناه، ويستطيع تعيين رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية بتمثيل حلول المعادلة، 1=0- في المستوى المركب أوجد رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية.

لوحة أشكال سداسية

1,12+32i,12+32i,11232i,1232i

أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي:

33) الجذور السداسية للعدد i.

0.97+0.26i,0.26+0.97i,0.71+0.71i0.970.26i,0.260.97i,0.710.71i

34) الجذور الرباعية للعدد 434i.

0.22+1.67i,1.67+0.22i.221.67i,1.670.22i

35) الجذور التربيعية للعدد 34i.

-1 + 2 i, 1 - 2 i

36) كهرباء: تعطى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة 5(cos 0.9+jsin 0.9)Ω، وتعطى في الجزء الآخر من الدائرة بالعبارة 8(cos 0.4+jsin 0.4)Ω.

a) حوّل كلاً من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية.

3.11+3.92 j, 7.37+3.12 j

b) اجمع الناتجين في الفرع a؛ لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة.

(10.48+7.04j)Ω

c) حوّل المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية.

12.63(cos 0.59+jsin 0.59)Ω

37) كسريات: الكسريات شكل هندسي يتكون من نمط مكرر بشكل مستمر، وتكون الكسريات ذاتية التشابه؛ أي أن الأجزاء الصغيرة
للشكل لها الخصائص الهندسية نفسها للشكل الأصلي، كما في الشكل أدناه.

شكل هندسي

في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلالال تكرار f(z) = z2، حيث . z0 = 0.8 + 0.5i.

a) احسب z1, z2,z3,z4,z5,z6 حيث (z2=f(z1) ،z1=f(z0 وهكذا.

z10.39+0.8i,z20.49+0.62iz30.140.61i,z40.35+0.17iz50.090.12i,z60.00630.0216i

b) مثّل كل عدد في المستوى المركب.

التمثيل البياني

c) صف النمط الناتج.

إجابة ممكنة: عند تطبيق f (z ) = z 2 في كل مرة، فإن العدد المركب الناتج يقترب من نقطة الأصل وتقترب قيمته المطلقة من الصفر.

38) أوجد العدد المركب z إذا علمت أن (1i) هو أحد جذوره الرباعية، ثم أوجد جذوره الرباعية الأخرى .

إجابة ممكنة: أوجد الصورة القطبية للجذر (1i) فستكون 2cos 5π4+isin 5π4 ثم أوجد 2cos 5π4+isin 5π44 تحصل على العدد المركب z ، ثم أوجد
جذوره الأخرى ، وتكون الإجابة النهائية هي:

-4 ; 1 + i , -1 + i , -1 - i , 1 - i

حل كلاً من المعادلات الآتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة:

39) x3 = i

32+12i,32+12i,i

40) x4 = 81i

2.77+1.15i,1.15+2.77i2.771.15i,1.152.77i

41) x3 + 1 = i

0.79+0.79i,1.08+0.29i0.291.08i

مشاركة الدرس

السؤال

أوجد الناتج في كلّ مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

الحل

1 2 cos   π 3 + i sin   π 3 ÷ 3 cos   π 6 + i sin   π 6

1 6 c o s   π 6 + i s i n   π 6 , 3 12 + 1 12 i

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

الأعداد المركبة ونظرية ديموافر

تدرب وحل المسائل

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:

1) z = 4 + 4i

5.66

2) z = -3 + i

3.16

3) z = -4 - 6i

7.21

4) z = 2 - 5i

5.39

5) z = -7 + 5i

8.60

6) z = 8 - 2i

8.25

7) متجهات: تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

a) مثّل z كمتجه في المستوى المركب.

التمثيل البياني

b) أوجد طول المتجه واتجاهه.

طوله 18.03N، اتجاهه محدد بالزاوية ° 56.31

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:

4 + 4i (8

42cos π4+isin π4

-2 + i (9

5(cos 2.68+isin 2.68)

42i (10

32(cos (0.34)+isin(0.34))

2 - 2i (11

22cos π4+isin π4

4 + 5i (12

41(cos 0.90+isin 0.90)

13i (13

2cos 4π3+isin 4π3

مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

14) 4cos π3+isin π3

2+23i

التمثيل القطبي

15) cos 11π6+isin 11π6

3212i

التمثيل القطبي

16) 2cos 4π3+isin 4π3

13i

التمثيل القطبي

17) 32(cos 360+isin 360)

32

التمثيل القطبي

أوجد الناتج في كلّ مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

18)6cos π2+isin π24cos π4+isin π4

24cos 3π4+isin 3π4,122+122i

19) 5(cos 135+isin 135)2(cos 45+isin 45)

10(cos 180+isin 180),10

20) 3cos 3π4+isin 3π4÷12(cos π+isin π)

6cosπ4+isinπ4,3232i

21) 2(cos 90+isin 90)2(cos 270+isin 270)

4(cos 360+isin 360),4

22) 3cos π6+isin π6÷4cos 2π3+isin 2π3

34cosπ2+isinπ2,34i

23) 4cos 9π4+isin 9π4÷2cos 3π2+isin 3π2

2cos 3π4+isin 3π4,2+2i

24) 12(cos 60+isin 60)6(cos 150+isin 150)

3cos 210+isin 210,33232i

25) 6cos 3π4+isin 3π4÷2cos π4+isin π4

3cos π2+isin π2,3i

26) 5(cos 180+isin 180)2(cos 135+isin 135)

10(cos 315+isin 315),5252i

27) 12cos π3+isin π3÷3cos π6+isin π6

16cos π6+isin π6,312+112i

أوجد الناتج لكل مما يأتي بالصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

28) (2+23i)6

4096

29) 4cos π2+isin π24

256

30) (2+3i)2

0.03-0.07i-

31) 2cos π4+isin π44

16-

32) تصميم: يعمل سالم في وكالة للإعلانات ويرغب في تصميم لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبين أدناه، ويستطيع تعيين رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية بتمثيل حلول المعادلة، 1=0- في المستوى المركب أوجد رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية.

لوحة أشكال سداسية

1,12+32i,12+32i,11232i,1232i

أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي:

33) الجذور السداسية للعدد i.

0.97+0.26i,0.26+0.97i,0.71+0.71i0.970.26i,0.260.97i,0.710.71i

34) الجذور الرباعية للعدد 434i.

0.22+1.67i,1.67+0.22i.221.67i,1.670.22i

35) الجذور التربيعية للعدد 34i.

-1 + 2 i, 1 - 2 i

36) كهرباء: تعطى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة 5(cos 0.9+jsin 0.9)Ω، وتعطى في الجزء الآخر من الدائرة بالعبارة 8(cos 0.4+jsin 0.4)Ω.

a) حوّل كلاً من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية.

3.11+3.92 j, 7.37+3.12 j

b) اجمع الناتجين في الفرع a؛ لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة.

(10.48+7.04j)Ω

c) حوّل المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية.

12.63(cos 0.59+jsin 0.59)Ω

37) كسريات: الكسريات شكل هندسي يتكون من نمط مكرر بشكل مستمر، وتكون الكسريات ذاتية التشابه؛ أي أن الأجزاء الصغيرة
للشكل لها الخصائص الهندسية نفسها للشكل الأصلي، كما في الشكل أدناه.

شكل هندسي

في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلالال تكرار f(z) = z2، حيث . z0 = 0.8 + 0.5i.

a) احسب z1, z2,z3,z4,z5,z6 حيث (z2=f(z1) ،z1=f(z0 وهكذا.

z10.39+0.8i,z20.49+0.62iz30.140.61i,z40.35+0.17iz50.090.12i,z60.00630.0216i

b) مثّل كل عدد في المستوى المركب.

التمثيل البياني

c) صف النمط الناتج.

إجابة ممكنة: عند تطبيق f (z ) = z 2 في كل مرة، فإن العدد المركب الناتج يقترب من نقطة الأصل وتقترب قيمته المطلقة من الصفر.

38) أوجد العدد المركب z إذا علمت أن (1i) هو أحد جذوره الرباعية، ثم أوجد جذوره الرباعية الأخرى .

إجابة ممكنة: أوجد الصورة القطبية للجذر (1i) فستكون 2cos 5π4+isin 5π4 ثم أوجد 2cos 5π4+isin 5π44 تحصل على العدد المركب z ، ثم أوجد
جذوره الأخرى ، وتكون الإجابة النهائية هي:

-4 ; 1 + i , -1 + i , -1 - i , 1 - i

حل كلاً من المعادلات الآتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة:

39) x3 = i

32+12i,32+12i,i

40) x4 = 81i

2.77+1.15i,1.15+2.77i2.771.15i,1.152.77i

41) x3 + 1 = i

0.79+0.79i,1.08+0.29i0.291.08i