حل كلاً من المعادلات الآتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة:

x ³ = i

$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-i$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مثّل كل عدد مما يأتي في المستوى المركب، وأوجد قيمته المطلقة:

1) z = 4 + 4i

5.66

2) z = -3 + i

3.16

3) z = -4 - 6i

7.21

4) z = 2 - 5i

5.39

5) z = -7 + 5i

8.60

6) z = 8 - 2i

8.25

7) متجهات: تعطى القوة المؤثرة على جسم بالعلاقة z = 10 + 15i، حيث تقاس كل مركبة للقوة بالنيوتن (N).

a) مثّل z كمتجه في المستوى المركب.

b) أوجد طول المتجه واتجاهه.

طوله 18.03N، اتجاهه محدد بالزاوية ° 56.31

عبّر عن كل عدد مركب مما يأتي بالصورة القطبية:

4 + 4i (8

$4\sqrt{2}\left(cos \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}+isin \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}\right)$

-2 + i (9

$\approx \sqrt{5}(cos 2.68+isin 2.68)$

$4-\sqrt{2}i$ (10

$\approx 3\sqrt{2}(cos (-0.34)+isin-(0.34\left)\right)$

2 - 2i (11

$2\sqrt{2}\left(cos \left(-\frac{\pi }{4}\right)+isin \left(-\frac{\pi }{4}\right)\right)$

4 + 5i (12

$\approx \sqrt{41}(cos 0.90+isin 0.90)$

$-1-\sqrt{3}i$ (13

$2\left(cos \frac{{\displaystyle 4\pi }}{{\displaystyle 3}}+isin \frac{{\displaystyle 4\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$

مثّل كل عدد مركب مما يأتي في المستوى القطبي، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

14) $4\left(\cos \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}}+i\sin \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$

$2+2\sqrt{3}i$

15) $\left(\cos \frac{{\displaystyle 11\pi }}{{\displaystyle 6}}+i\sin \frac{{\displaystyle 11\pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$

$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$

16) $2\left(\cos \frac{4\pi }{3}+i\sin \frac{4\pi }{3}\right)$

$-1-\sqrt{3}i$

17) $\frac{3}{2}(\cos {360}^{\circ }+i\sin {360}^{\circ })$

$\frac{3}{2}$

أوجد الناتج في كلّ مما يأتي على الصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

18)$6\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)\cdot 4\left(\cos \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}+i\sin \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}\right)$

$24\left(cos \frac{3\pi }{4}+isin \frac{3\pi }{4}\right),-12\sqrt{2}+12\sqrt{2}i$

19) $5(\cos {135}^{\circ }+i\sin {135}^{\circ })\cdot 2(\cos {45}^{\circ }+i\sin {45}^{\circ })$

$10(cos {180}^{\circ }+isin {180}^{\circ }),-10$

20) $3\left(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}\right)÷\frac{1}{2}(\cos \pi +i\sin \pi )$

$6\left[cos\left(-\frac{\pi }{4}\right)+isin\left(-\frac{\pi }{4}\right)\right],3\sqrt{2}-3\sqrt{2}i$

21) $2(\cos {90}^{\circ }+i\sin {90}^{\circ })\cdot 2(\cos {270}^{\circ }+i\sin {270}^{\circ })$

$4(cos {360}^{\circ }+isin {360}^{\circ }),4$

22) $3\left(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)÷4\left(\cos \frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle 3}}+i\sin \frac{{\displaystyle 2\pi }}{{\displaystyle 3}}\right)$

$\frac{3}{4}\left[cos\left(-\frac{\pi }{2}\right)+isin\left(-\frac{\pi }{2}\right)\right],-\frac{3}{4}i$

23) $4\left(\cos \frac{9\pi }{4}+i\sin \frac{9\pi }{4}\right)÷2\left(\cos \frac{{\displaystyle 3\pi }}{{\displaystyle 2}}+i\sin \frac{{\displaystyle 3\pi }}{{\displaystyle 2}}\right)$

$2\left(cos \frac{3\pi }{4}+isin \frac{3\pi }{4}\right),-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$

24) $\frac{1}{2}(\cos {60}^{\circ }+i\sin {60}^{\circ })\cdot 6(\cos {150}^{\circ }+i\sin {150}^{\circ })$

$3\left(cos {210}^{\circ }+isin {210}^{\circ }\right),-\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{2}i$

25) $6\left(\cos \frac{{\displaystyle 3\pi }}{{\displaystyle 4}}+i\sin \frac{{\displaystyle 3\pi }}{{\displaystyle 4}}\right)÷2\left(\cos \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}+i\sin \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}\right)$

$3\left(cos \frac{\pi }{2}+isin \frac{\pi }{2}\right),3i$

26) $5(\cos {180}^{\circ }+i\sin {180}^{\circ })\cdot 2(\cos {135}^{\circ }+i\sin {135}^{\circ })$

$10(cos {315}^{\circ }+isin {315}^{\circ }),5\sqrt{2}-5\sqrt{2}i$

27) $\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)÷3\left(\cos \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 6}}+i\sin \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 6}}\right)$

$\frac{1}{6}\left(cos \frac{\pi }{6}+isin \frac{\pi }{6}\right),\frac{\sqrt{3}}{12}+\frac{1}{12}i$

أوجد الناتج لكل مما يأتي بالصورة القطبية، ثم عبّر عنه بالصورة الديكارتية:

28) $(2+2\sqrt{3}i{)}^6$

4096

29) ${\left[4\left(\cos \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}+i\sin \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 2}}\right)\right]}^4$

256

30) $(2+3i{)}^{-2}$

0.03-0.07i-

31) ${\left[2\left(\cos \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}+i\sin \frac{{\displaystyle \pi }}{{\displaystyle 4}}\right)\right]}^4$

16-

32) تصميم: يعمل سالم في وكالة للإعلانات ويرغب في تصميم لوحة مكونة من أشكال سداسية منتظمة كما هو مبين أدناه، ويستطيع تعيين رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية بتمثيل حلول المعادلة، 1=0- في المستوى المركب أوجد رؤوس أحد هذه الأشكال السداسية.

$\begin{array}{r}1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1\\ -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$

أوجد جميع الجذور المطلوبة للعدد المركب في كل مما يأتي:

33) الجذور السداسية للعدد i.

$\begin{array}{c}\approx 0.97+0.26i,\approx 0.26+0.97i,\approx -0.71+0.71i\\ \approx -0.97-0.26i,\approx -0.26-0.97i,\approx 0.71-0.71i\end{array}$

34) الجذور الرباعية للعدد $4\sqrt{3}-4i$.

$\begin{array}{r}\approx 0.22+1.67i,\approx -1.67+0.22i\\ \approx -.22-1.67i,\approx 1.67-0.22i\end{array}$

35) الجذور التربيعية للعدد $-3-4i$.

-1 + 2 i, 1 - 2 i

36) كهرباء: تعطى معاوقة أحد أجزاء دائرة كهربائية موصولة على التوالي بالعبارة $5(\cos 0.9+j\sin 0.9)\mathrm{\Omega }$، وتعطى في الجزء الآخر من الدائرة بالعبارة $8(\cos 0.4+j\sin 0.4)\mathrm{\Omega }$.

a) حوّل كلاً من العبارتين السابقتين إلى الصورة الديكارتية.

3.11+3.92 j, 7.37+3.12 j

b) اجمع الناتجين في الفرع a؛ لإيجاد المعاوقة الكلية في الدائرة.

$(10.48+7.04j)\mathrm{\Omega }$

c) حوّل المعاوقة الكلية إلى الصورة القطبية.

$\approx 12.63(\cos 0.59+j\sin 0.59)\mathrm{\Omega }$

37) كسريات: الكسريات شكل هندسي يتكون من نمط مكرر بشكل مستمر، وتكون الكسريات ذاتية التشابه؛ أي أن الأجزاء الصغيرة
للشكل لها الخصائص الهندسية نفسها للشكل الأصلي، كما في الشكل أدناه.

في هذا السؤال سوف تنتج كسريات من خلالال تكرار f(z) = z²، حيث . z₀ = 0.8 + 0.5i.

a) احسب z₁, z₂,z₃,z₄,z₅,z₆ حيث (z₂=f(z₁) ،z₁=f(z₀ وهكذا.

$\begin{array}{c}{z}_1\approx 0.39+0.8i,z_2\approx -0.49+0.62i\\ z_3\approx -0.14-0.61i,z_4\approx -0.35+0.17i\\ z_5\approx 0.09-0.12i,z_6\approx -0.0063-0.0216i\end{array}$

b) مثّل كل عدد في المستوى المركب.

c) صف النمط الناتج.

إجابة ممكنة: عند تطبيق f (z ) = z ² في كل مرة، فإن العدد المركب الناتج يقترب من نقطة الأصل وتقترب قيمته المطلقة من الصفر.

38) أوجد العدد المركب z إذا علمت أن $(-1-i)$ هو أحد جذوره الرباعية، ثم أوجد جذوره الرباعية الأخرى .

إجابة ممكنة: أوجد الصورة القطبية للجذر $(-1-\mathrm{i})$ فستكون $\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)$ ثم أوجد ${\left[\sqrt{2}\left(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}\right)\right]}^4$ تحصل على العدد المركب z ، ثم أوجد
جذوره الأخرى ، وتكون الإجابة النهائية هي:

-4 ; 1 + i , -1 + i , -1 - i , 1 - i

حل كلاً من المعادلات الآتية باستعمال صيغة الجذور المختلفة:

39) x³ = i

$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i,-i$

40) x⁴ = 81i

$\begin{array}{c}2.77+1.15i,-1.15+2.77i\\ \approx -2.77-1.15i,1.15-2.77i\end{array}$

41) x³ + 1 = i

$\begin{array}{r}0.79+0.79i,-1.08+0.29i\\ 0.29-1.08i\end{array}$