حلول الأسئلة

السؤال

إذا كان $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ، $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ حيث $r_{2} \neq 0$ فأثبت أن $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})]$ .

الحل

$\begin{aligned} \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1} (c o s θ_{1} + i s i n θ_{1})}{r_{2} (c o s θ_{2} + i s i n θ_{2})} \\ = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\frac{c o s θ_{1} + i s i n θ_{1}}{c o s θ_{2} + i s i n θ_{2}}) \\ = \frac{r_{1}}{r_{2}} (\frac{c o s θ_{1} + i s i n θ_{1}}{c o s θ_{2} + i s i n θ_{2}}) \cdot (\frac{c o s θ_{2} - i s i n θ_{2}}{c o s θ_{2} - i s i n θ_{2}}) \\ = \frac{r_{1}}{r_{2}} \end{aligned}$

$\begin{matrix} (\frac{c o s θ_{1} c o s θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{1} + i s i n θ_{1} c o s θ_{2} - i^{2} s i n θ_{1} s i n θ_{2}}{c o s^{2} θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{2} + i s i n θ_{2} c o s θ_{2} - i^{2} s i n^{2} θ_{2}}) \\ = \frac{r_{1}}{r_{2}} \end{matrix}$

$(\frac{c o s θ_{1} c o s θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{1} + i s i n θ_{1} c o s θ_{2} - i^{2} s i n θ_{1} s i n θ_{2}}{c o s^{2} θ_{2} + s i n^{2} θ_{2}})$

$\begin{aligned} = & \frac{r_{1}}{r_{2}} (c o s θ_{1} c o s θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{1} + i s i n θ_{1} c o s θ_{2} + s i n θ_{1} s i n θ_{2}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} = & \frac{r_{1}}{r_{2}} [(c o s θ_{1} c o s θ_{2} + s i n θ_{1} s i n θ_{2}) + i (s i n θ_{1} c o s θ_{2} - s i n θ_{2} c o s θ_{1})] \end{aligned}$

$= \frac{r_{1}}{r_{2}} [c o s (θ_{1} - θ_{2}) + i s i n (θ_{1} - θ_{2})]$

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

الأعداد المركبة ونظرية ديموافر

مسائل مهارات التفكير العليا

42) اكتشف الخطأ: يحسب كل من أحمد وباسم قيمة ${(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i)}^{5}$ فيستعمل أحمد نظرية ديموافر ويحصل على الإجابة $\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6}$ . ويقول باسم بأن أحمد قد أنجز جزءاً من المسألة فقط، أيهما إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

باسم؛ إجابة ممكنة؛ لقد قام أحمد بتحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية فقط؛ لذا عليه استعمال نظرية ديموافر لحساب القوة الخامسة.

43) تحدٍ: أوجد الجذور المحددة على كل من المنحنيين أدناه على الصورة القطبية، ثم عيّن العدد المركب الذي له هذه الجذور.

الصورة القطبية

$\begin{array}{r} 3 (c o s \frac{π}{6} + i s i n \frac{π}{6}), 3 (c o s \frac{5 π}{6} + i s i n \frac{5 π}{6}) \\ 3 (c o s \frac{3 π}{2} + i s i n \frac{3 π}{2}), 27 i \end{array}$

44)

الصورة القطبية

$\begin{array}{r} 2 (c o s \frac{π}{4} + i s i n \frac{π}{4}), 2 (c o s \frac{3 π}{4} + i s i n \frac{3 π}{4}) \\ 2 (c o s \frac{5 π}{4} + i s i n \frac{5 π}{4}), 2 (c o s \frac{7 π}{4} + i s i n \frac{7 π}{4}), - 16 \end{array}$

45) برهان: إذا كان $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ، $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ حيث $r_{2} \neq 0$ فأثبت أن $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})]$ .

$(\frac{c o s θ_{1} c o s θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{1} + i s i n θ_{1} c o s θ_{2} - i^{2} s i n θ_{1} s i n θ_{2}}{c o s^{2} θ_{2} + s i n^{2} θ_{2}})$

$\begin{aligned} = & \frac{r_{1}}{r_{2}} (c o s θ_{1} c o s θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{1} + i s i n θ_{1} c o s θ_{2} + s i n θ_{1} s i n θ_{2}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} = & \frac{r_{1}}{r_{2}} [(c o s θ_{1} c o s θ_{2} + s i n θ_{1} s i n θ_{2}) + i (s i n θ_{1} c o s θ_{2} - s i n θ_{2} c o s θ_{1})] \end{aligned}$

$= \frac{r_{1}}{r_{2}} [c o s (θ_{1} - θ_{2}) + i s i n (θ_{1} - θ_{2})]$

46) اكتب $\cos 3 θ$ بدلالة $\cos θ$ cos مستعملاً نظرية ديموافر، إرشاد: أوجد قيمة $(\cos θ + i \sin θ)^{3}$ مرة باستعمال نظرية ديموافر، ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين.

$c o s 3 θ = 4 c o s^{3} θ - 3 c o s θ$

47) اكتب: وضّح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ، حيث n عدد صحيح موجب.

1) اكتب الصيغة العامة للجذور النونية للعدد المركب وهي:

$\begin{matrix} r^{\frac{1}{n}} (c o s \frac{θ + 2 k π}{n} + i s i n \frac{θ + 2 k π}{n}) \\ . k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 حيث) \end{matrix}$

2) عوِّض عن n بالقيمة المطلوبة، إذا أردت إيجاد الجذور الرباعية (n = 4) وإذا أردت إيجاد الجذور الخماسية( n = 5 )، وهكذا.

3) افترض أن k = 0 ، وعوّض في الصيغة العامة؛ لإيجاد الجذر الأول، ثم افترض أن k = 1، وعوّض لإيجاد الجذر الثاني، وهكذا حتى تصل إلى n - 1، فتحصل على جميع الجذور المطلوبة.

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

إذا كان $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ، $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ حيث $r_{2} \neq 0$ فأثبت أن $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})]$ .

الحل

$(\frac{c o s θ_{1} c o s θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{1} + i s i n θ_{1} c o s θ_{2} - i^{2} s i n θ_{1} s i n θ_{2}}{c o s^{2} θ_{2} + s i n^{2} θ_{2}})$

$\begin{aligned} = & \frac{r_{1}}{r_{2}} (c o s θ_{1} c o s θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{1} + i s i n θ_{1} c o s θ_{2} + s i n θ_{1} s i n θ_{2}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} = & \frac{r_{1}}{r_{2}} [(c o s θ_{1} c o s θ_{2} + s i n θ_{1} s i n θ_{2}) + i (s i n θ_{1} c o s θ_{2} - s i n θ_{2} c o s θ_{1})] \end{aligned}$

$= \frac{r_{1}}{r_{2}} [c o s (θ_{1} - θ_{2}) + i s i n (θ_{1} - θ_{2})]$

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

الأعداد المركبة ونظرية ديموافر

مسائل مهارات التفكير العليا

42) اكتشف الخطأ: يحسب كل من أحمد وباسم قيمة ${(- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i)}^{5}$ فيستعمل أحمد نظرية ديموافر ويحصل على الإجابة $\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6}$ . ويقول باسم بأن أحمد قد أنجز جزءاً من المسألة فقط، أيهما إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

43) تحدٍ: أوجد الجذور المحددة على كل من المنحنيين أدناه على الصورة القطبية، ثم عيّن العدد المركب الذي له هذه الجذور.

الصورة القطبية

$\begin{array}{r} 3 (c o s \frac{π}{6} + i s i n \frac{π}{6}), 3 (c o s \frac{5 π}{6} + i s i n \frac{5 π}{6}) \\ 3 (c o s \frac{3 π}{2} + i s i n \frac{3 π}{2}), 27 i \end{array}$

44)

الصورة القطبية

45) برهان: إذا كان $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ، $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ حيث $r_{2} \neq 0$ فأثبت أن $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})]$ .

$(\frac{c o s θ_{1} c o s θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{1} + i s i n θ_{1} c o s θ_{2} - i^{2} s i n θ_{1} s i n θ_{2}}{c o s^{2} θ_{2} + s i n^{2} θ_{2}})$

$\begin{aligned} = & \frac{r_{1}}{r_{2}} (c o s θ_{1} c o s θ_{2} - i s i n θ_{2} c o s θ_{1} + i s i n θ_{1} c o s θ_{2} + s i n θ_{1} s i n θ_{2}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} = & \frac{r_{1}}{r_{2}} [(c o s θ_{1} c o s θ_{2} + s i n θ_{1} s i n θ_{2}) + i (s i n θ_{1} c o s θ_{2} - s i n θ_{2} c o s θ_{1})] \end{aligned}$

$= \frac{r_{1}}{r_{2}} [c o s (θ_{1} - θ_{2}) + i s i n (θ_{1} - θ_{2})]$

46) اكتب $\cos 3 θ$ بدلالة $\cos θ$ cos مستعملاً نظرية ديموافر، إرشاد: أوجد قيمة $(\cos θ + i \sin θ)^{3}$ مرة باستعمال نظرية ديموافر، ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين.

$c o s 3 θ = 4 c o s^{3} θ - 3 c o s θ$

47) اكتب: وضّح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ، حيث n عدد صحيح موجب.

1) اكتب الصيغة العامة للجذور النونية للعدد المركب وهي:

$\begin{matrix} r^{\frac{1}{n}} (c o s \frac{θ + 2 k π}{n} + i s i n \frac{θ + 2 k π}{n}) \\ . k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 حيث) \end{matrix}$

حلول الأسئلة

إذا كان z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) ، z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) حيث r 2 ≠ 0 فأثبت أن z 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 − θ 2 ) + i sin ( θ 1 − θ 2 ) ] .

مشاركة الحل

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

43) تحدٍ: أوجد الجذور المحددة على كل من المنحنيين أدناه على الصورة القطبية، ثم عيّن العدد المركب الذي له هذه الجذور.

44)

45) برهان: إذا كان z1=r1(cos θ1+isin θ1)، z2=r2(cos θ2+isin θ2) حيث r2≠0 فأثبت أن z1z2=r1r2[cos (θ1−θ2)+isin (θ1−θ2)].

46) اكتب cos 3θ بدلالة cos θ cos مستعملاً نظرية ديموافر، إرشاد: أوجد قيمة (cos θ+isin θ)3 مرة باستعمال نظرية ديموافر، ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين.

47) اكتب: وضّح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب z=r(cos θ+isin θ)، حيث n عدد صحيح موجب.

مشاركة الدرس

إذا كان z 1 = r 1 ( cos θ 1 + i sin θ 1 ) ، z 2 = r 2 ( cos θ 2 + i sin θ 2 ) حيث r 2 ≠ 0 فأثبت أن z 1 z 2 = r 1 r 2 [ cos ( θ 1 − θ 2 ) + i sin ( θ 1 − θ 2 ) ] .

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

43) تحدٍ: أوجد الجذور المحددة على كل من المنحنيين أدناه على الصورة القطبية، ثم عيّن العدد المركب الذي له هذه الجذور.

44)

45) برهان: إذا كان z1=r1(cos θ1+isin θ1)، z2=r2(cos θ2+isin θ2) حيث r2≠0 فأثبت أن z1z2=r1r2[cos (θ1−θ2)+isin (θ1−θ2)].

46) اكتب cos 3θ بدلالة cos θ cos مستعملاً نظرية ديموافر، إرشاد: أوجد قيمة (cos θ+isin θ)3 مرة باستعمال نظرية ديموافر، ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين.

47) اكتب: وضّح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب z=r(cos θ+isin θ)، حيث n عدد صحيح موجب.

إذا كان $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ، $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ حيث $r_{2} \neq 0$ فأثبت أن $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})]$ .

45) برهان: إذا كان $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ، $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ حيث $r_{2} \neq 0$ فأثبت أن $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})]$ .

46) اكتب $\cos 3 θ$ بدلالة $\cos θ$ cos مستعملاً نظرية ديموافر، إرشاد: أوجد قيمة $(\cos θ + i \sin θ)^{3}$ مرة باستعمال نظرية ديموافر، ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين.

47) اكتب: وضّح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ، حيث n عدد صحيح موجب.

إذا كان $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ، $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ حيث $r_{2} \neq 0$ فأثبت أن $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})]$ .

45) برهان: إذا كان $z_{1} = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})$ ، $z_{2} = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})$ حيث $r_{2} \neq 0$ فأثبت أن $\frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})]$ .

46) اكتب $\cos 3 θ$ بدلالة $\cos θ$ cos مستعملاً نظرية ديموافر، إرشاد: أوجد قيمة $(\cos θ + i \sin θ)^{3}$ مرة باستعمال نظرية ديموافر، ومرة باستعمال مفكوك نظرية ذات الحدين.

47) اكتب: وضّح خطوات إيجاد الجذور النونية للعدد المركب $z = r (\cos θ + i \sin θ)$ ، حيث n عدد صحيح موجب.