قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة.

$\underset{x\to 4}{lim}f\left(x\right)$

6-

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

قدّر كل نهاية مما يأتي باستعمال التمثيل البياني، ثم عزِّز إجابتك باستعمال جدول قيم، إرشاد: "يمكنك استعمال الآلة البيانية للتمثيل البياني".

1) $\underset{x\to 5}{lim}(4x-10)$

10

2) $\underset{x\to 2}{lim}\left(\frac{1}{2}{x}^5-2x^3+3x^2\right)$

12

3) $\underset{x\to -2}{lim}(x^2+2x-15)$

15-

4) $\underset{x\to -2}{lim}\frac{x^3+8}{x^2-4}$

3-

5) $\underset{x\to 0}{lim}\left[5({\cos }^2 x-\cos x)\right]$

0

6) $\underset{x\to 4}{lim}\frac{x-4}{\sqrt{x}-2}$

4

7) $\underset{x\to 6}{lim}(x+\sin x)$

5.72

8) $\underset{x\to -5}{lim}\frac{x^2+x-20}{x+5}$

9-

قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة.

9) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\sin x-x}{x}$

0

10) $\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\left|4x\right|}{x}$

4-

11) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x^2}{\left|x\right|}$

0

12) $\underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{x^2-5x+6}{x-3}$

1

13) $\underset{x\to -{\frac{1}{2}}^{-}}{lim}\frac{|2x+1|}{x}$

0

14) $\underset{x\to -2}{lim}\frac{x^2+5x+6}{|x+2|}$

غير موجودة.

15) $\underset{x\to 0^{-}}{lim}(\sqrt{-x}-7)$

7-

16) $\underset{x\to 5}{lim}\frac{x^2-25}{x-5}$

10

17) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\left|3x\right|}{2x}$

غير موجودة.

18) $\underset{x\to -1}{lim}\frac{|x+1|}{x^2-1}$

غير موجودة.

19) $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right),f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rl}x-5,& x<0\\ x^2+5,& x\ge 0\end{array}\right\}$

غير موجودة.

20) $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right),f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{rl}-x^2+2,& x<0\\ \frac{{\displaystyle 2x}}{{\displaystyle r}},& x\ge 0\end{array}\right\}$

2

استعمل التمثيل البياني لتقدير كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة:

21) $\underset{x\to -4}{lim}f\left(x\right)$

3

22) $\underset{x\to 4}{lim}g\left(x\right)$

$\infty$

23) $\underset{x\to 4}{lim}f\left(x\right)$

6-

24) $\underset{x\to -6}{lim}g\left(x\right)$

غير موجودة.

قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة.

25) $\underset{x\to -4}{lim}\frac{-17}{x^2+8x+16}$

$-\infty$

26) $\underset{x\to 4}{lim}\frac{\left|x\right|}{x-4}$

غير موجودة.

27) $\underset{x\to 5}{lim}\frac{x^2}{x^2-10x+25}$

$\infty$

28) $\underset{x\to 6}{lim}\frac{5}{(x-6{)}^2}$

$\infty$

29) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}(x^5-7x^4-4x+1)$

$-\infty$

30) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+x-22}{4x^3-13}$

0

31) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}x\cos x$

غير موجودة

32) $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{3^x+3^{-x}}{3^x-3^{-x}}$

1-

33) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \left|x\right|}{x}$

غير موجودة

34) $\underset{x\to 0}{lim}{x}^2\cos \frac{1}{x}$

0

35) دواء: تم توزيع لقاح للحدّ من عدوى مرض ما، ويبين التمثيل البياني أدناه عدد الحالات المصابة بالمرض بعد w أسبوع من توزيع اللقاح.

a) استعمل التمثيل البياني لتقدير $\underset{w\to 3}{lim}f\left(w\right)،\underset{w\to 1}{lim}f\left(w\right)$.

$\underset{w\to 1}{lim}f\left(w\right)=250;\underset{w\to 3}{lim}f\left(w\right)=100$

b) استعمل التمثيل البياني لتقدير $\underset{w\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(w\right)$. إذا كانت موجودة وفسّر النتيجة.

0؛ إجابة ممكنة: سيقضي اللقاح على العدوى مع مرور الزمن.

36) يقدَّر عدد مشاهدي أحد البرامج التلفزيونية اليومية بالدالة $f\left(d\right)=12(1.25012{)}^d-12$ حيث d رقم اليوم منذ أول يوم للبرنامج.

a) مثّل الدالة (f (d بيانياً في الفترة $.0\le d\le 20$

b) ما عدد مشاهدي البرنامج في اليوم: الخامس، العاشر، العشرين، بعد شهرين (d = 60)؟

نحو 25، نحو 100، نحو 1031، نحو 7875584 شخصاً سوف يشاهدون.

c) قدر $\underset{d\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(d\right)$ إذا كانت موجودة، وفسّر النتيجة.

$\infty$، إجابة ممكنة: يعني الناتج أن عدد مشاهدي البرنامج سيزداد بشكل لا نهائي.

37) كيمياء: تتسرَّب مادة سامة من أنبوب غاز تحت الأرض كما في الشكل أدناه، ويعبَّر عن المسافة الأفقية بالأمتار التي تقطعها المادة المتسرِّبة بالدالة $d\left(t\right)=2000(0.7{)}^{t-1},t\ge 1$، حيث t عدد السنوات منذ بدء التسرُّب.

a) مثّل باستعمال الآلة البيانية الدالة بيانياً في الفترة $.1\le t\le 15$

b) استعمل التمثيل البياني وخاصية تتبع المسار في الحاسبة البيانية لإيجاد قيم d عندما 15,10, t=5.

480.2 , 80.71 , 13.56

c) استعمل التمثيل البياني لتقدير $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}d\left(t\right)$.

0

d) هل من الممكن أن تصل المادة المتسرّبة لمستشفى يقع على بعد 7000 m من موقع التسريب؟ تذكر أن مجموع المتسلسلة الهندسية غير المنتهية $\frac{a_1}{1-r}$

لا؛ مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية 6666.67 m تقريباً، وهو أقل من 7000 m، والذي يساوي بعد المستشفى.

للدالة الممثَّلة بيانياً أدناه، قدّر كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة:

38) $\underset{x\to 0^{-}}{lim}f\left(x\right)$

1-

39) $\underset{x\to 0^{+}}{lim}f\left(x\right)$

4

40) $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)$

غير موجودة

41) $\underset{x\to 2^{-}}{lim}f\left(x\right)$

1

42) $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)$

6

43) $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$

2.5

حاسبة بيانية: حدّد ما إذا كانت النهاية موجودة أو غير موجودة في كل مما يأتي. وإذا لم تكن موجودة، فصف التمثيل البياني للدالة عند نقطة النهاية:

44) $\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^2-1}{x^2-2x+1}$

غير موجودة، يوجد خط تقارب رأسي للدالة عند x=2

45) $\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2+x}{x^2-x-2}$

غير موجودة، يوجد خط تقارب رأسي للدالة عند x

46) $\underset{x\to 0}{lim}3\cos \frac{\pi }{x}$

غير موجودة، تذبذب

47) $\underset{x\to -5}{lim}\frac{|x+5|}{x+5}$

غير موجودة؛ تقترب قيم ( f (x من قيمتين مختلفتين باقتراب قيم x من العدد -5 من اليمين ومن اليسار.