مثّل بيانياً دالة تحقق كلاً مما يأتي: $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right),\text{،}\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=-3,f\left(0\right)=2,f\left(2\right)=5$ غير موجودة.

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

48) اكتشف الخطأ: قال علي: إن نهاية الدالة الممثَّلة بيانياً في الشكل أدناه عندما تقترب x من 6- هي 4-. في حين قال محمد: إنها 3، هل أي منهما إجابته صحيحة؟ برّر إجابتك.

كلاهما على خطأ، إذا اقتربت الدالة من قيمتين مختلفتين من اليمين واليسار، فإن النهاية غير موجودة عند تلك النقطة.

49) مسألة مفتوحة: أعط مثالاً على (f(x، بحيث تكون $\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)$ موجودة، و (f(0 غير معرفة، ومثالاً على دالة أخرى g(x)، بحيث تكون (g(0 معرفة، ولكن $\underset{x\to 0}{lim}g\left(x\right)$غير موجودة.

إجابة ممكنة، $f\left(x\right)=\frac{\sin {\displaystyle }x}{x},g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}2x& ,x=0\\ x+1& ,x>0\end{array}\right\}$

50) تحدٍّ: إذا كان $f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{x-1},g\left(x\right)=\frac{x+1}{x^2-4}$، فقدر كلاً من $\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right),\underset{x\to 2}{lim}g\left(x\right)$. وإذا كانت (h(x), j(x كثيرتي حدود بحيث: $h\left(a\right)=0,j\left(a\right)\ne 0$فماذا يمكنك القول عن $\underset{x\to a}{lim}\frac{j\left(x\right)}{h\left(x\right)}$؟ برر إجابتك.

$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)$ غير موجودة، $\underset{x\to 2}{lim}g\left(x\right)$غير موجودة؛ إجابة ممكنة: إذا كان مقام الدالة النسبية صفراً، والبسط لا يساوي صفراً عند نقطة معطاة، فإن النهاية غير موجودة.

51) تبرير: حدّد ما إذا كانت العبارة الآتية صحيحة دائماً أو صحيحة أحياناً أو غير صحيحة أبداً. برّر إجابتك.

إذا كان $\underset{x\to c}{lim}f\left(x\right)=L\text{فإن}f\left(c\right)=L$

أحياناً؛ إجابة ممكنة: لا تعتمد نهاية (f (x عندما تقترب x من c على قيمة الدالة عند النقطة c. فإذا كانت الدالة غير متصلة عند c ، وكان f (c) = L فإن نهاية الدالة قد تكون قيمة مختلفة عن L.

52) مسألة مفتوحة: مثّل بيانياً دالة تحقق كلاً مما يأتي: $\underset{x\to 2}{lim}f\left(x\right),\text{،}\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=-3,f\left(0\right)=2,f\left(2\right)=5$ غير موجودة.

53) تحدٍّ: قدر كلاً من النهايات الآتية للدالة f إذا كانت موجودة:

$f\left(x\right)= \left\{\begin{array}{llc}2x+4,& x<-1& \\ -1& ,& -1\le x\le 0\\ x^2& ,& 1<x\le 2\\ x-3& ,& x>2\end{array}\right\}$

a) $\underset{x\to -1}{lim}f\left(x\right)$

غير موجودة.

b) $\underset{x\to 0}{lim}\mathrm{f}\left(x\right)$

غير موجودة.

c) $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f\left(x\right)$

1-

54) اكتب: من خلال ما لاحظته في حل التمارين، وضح طريقتك لتقدير نهاية دالة متصلة.

إجابة ممكنة: إذا كانت الدالة (f (x متصلة عند x = a، فإنه يمكنك إيجاد النهاية بالتعويض عن x ب a في الدالة.