حلول الأسئلة

السؤال

احسب كل نهاية مما يأتي:

الحل

$lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

1.46

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

1) $lim_{x \to - 3} (5 x - 10)$

25-

2) $lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + 4 x + 13}{x - 3}$

3) $lim_{x \to y} (\frac{1}{x} + 2 x + \sqrt{x})$

21.11

4) $lim_{x \to - 4} [x^{2} (x + 1) + 2]$

46-

5) $lim_{x \to 12} \frac{x^{2} - 10 x}{\sqrt{x + 4}}$

6) $lim_{x \to - 6} \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}}$

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:

7) $lim_{x \to 16} \frac{x^{2} + 9}{\sqrt{x} - 4}$

ليس ممكناً؛ فالمقام يساوي صفراً عندما x = 16

8) $lim_{x \to 2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

9) $lim_{x \to 3} \frac{x^{3} + 9 x + 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

10) $lim_{x \to 3} \sqrt{2 - x}$

ليس ممكناً، قيمة الدالة $f (x) = \sqrt{2 - x}$ هي $\sqrt{- 1}$ عندما x = 3 وهي ليست معرفة.

11) $lim_{x \to 9} (3 x^{2} - 10 x + 35)$

188

12) $lim_{x \to 10} (- x^{2} + 3 x + \sqrt{x})$

66.84-

13) فيزياء: بحسب نظرية آينشتاين النسبية، فإن كتلة جسم يتحرك بسرعة v تعطى بالعلاقة $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ حيث c سرعة الضوء، m₀ كتلة الجسم الابتدائية أو كتلته عند السكون. أوجد $lim_{v \to 0} m$ ووضح العلاقة بين هذه النهاية و m₀.

$lim_{v \to 0} m = m_{0}$ عندما تقترب سرعة الجسم من الصفر، فإن كتلته تقترب من كتلته الابتدائية، أو كتلته في وضع السكون.

احسب كل نهاية مما يأتي:

14) $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

15) $lim_{x \to 0} \frac{4 x}{\sqrt{x + 1} - 1}$

16) $lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

1.46

17) $lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 - \sqrt{x + 9}}$

12-

18) $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}$

19) $lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x + 3} - 3}{x - 6}$

$\frac{1}{6}$

احسب كل نهاية مما يأتي:

20) $lim_{x \to \infty} (5 - 2 x^{2} + 7 x^{3})$

$\infty$

21) $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - 10 x + 2}{4 x^{3} + 20 x^{2}}$

$\frac{3}{4}$

22) $lim_{x \to \infty} (10 x + 14 + 6 x^{2} - x^{4})$

$- \infty$

23) $lim_{x \to \infty} \frac{14 x^{3} - 12 x}{4 x^{2} + 13 x - 8}$

$\infty$

24) $lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} + 2 x - 11}{- x^{5} + 17 x^{3} + 4 x}$

25) $lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{4} - 2}{5 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}$

26) اسفنج: تحتوي مادة هلامية على حيوان الإسفنج، وعند وضع المادة الهلامية في الماء، فإن حيوان الإسفنج يبدأ بامتصاص الماء، والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة $ℓ (t) = \frac{105 t^{2}}{10 + t^{2}} + 25$ ، حيث $ℓ$ طول حيوان الإسفنج بالملمترات بعد t ثانية من وضعه في
الماء.

اسفنج

a) ما طول حيوان الإسفنج قبل وضعه في الماء؟

25mm

b) ما نهاية الدالة عندما $t \to \infty$ ؟

130mm

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة $ℓ$ وطول حيوان الإسفنج.

لن يتعدى طول حيوان الإسفنج 130mm

احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة:

27) $a_{n} = \frac{8 n + 1}{n^{2} - 3}$

28) $a_{n} = \frac{- 4 n^{2} + 6 n - 1}{n^{2} + 3 n}$

29) $a_{n} = \frac{12 n^{2} + 2}{6 n^{2} - 1}$

30) $a_{n} = \frac{8 n^{2} + 5 n + 2}{3 + 2 n}$

$\infty$

31) $a_{n} = \frac{1}{n^{4}} [\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}]$

$\frac{1}{4}$

32) $a_{n} = \frac{12}{n^{2}} [\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6}]$

$\infty$

احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدماً التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار:

33) $lim_{x \to - 2} \{\begin{aligned} x - 3, & x \leq - 2 \\ 2 x - 1, & x > - 2 \end{aligned}\}$

34) $lim_{x \to 0} \{\begin{array}{cc} 5 - x^{2}, & x \leq 0 \\ 5 - x, & x > 0 \end{array}\}$

35) $lim_{x \to 2} \{\begin{array}{cc} (x - 2)^{2} + 1, & x \leq 2 \\ x - 6, & x > 2 \end{array}\}$

غير موجودة.

احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة:

37) $lim_{x \to π} \frac{\sin x}{x}$

$L i m_{x \to π} \frac{S i n x}{x} = \frac{S i n π}{π} = \frac{0}{π} = 0$

38) $lim_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - \cos x)$

$\begin{array}{r} L i m_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - C o s x) = \\ 1 + 0 + 2^{0} - C o s 0 = 1 \end{array}$

39) $lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan 2 x}{x}$

$L i m_{x \to \frac{π}{2}} \frac{T a n 2 x}{x} = \frac{T a n π}{\frac{π}{2}} = 0$

40) $lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$

0.5-

أوجد $lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي:

41) f(x)=2x-1

42) f(x)=7-9x

43) $f (x) = \sqrt{x}$

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

44) $f (x) = \sqrt{x + 1}$

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

45) f(x)= x²

46) f(x)=x²+8x+4

2x + 8

47) فيزياء: يمتلك الجسم المتحرك طاقة تسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر، وتعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة $k (t) = \frac{1}{2} m \cdot (v (t))^{2}$ ، حيث (v (t سرعة الجسم عند الزمن t، وm كتلته بالكيلوجرام، إذا كانت سرعة جسم $v (t) = \frac{50}{1 + t^{2}}$ لكل $t \geq 0$ ، وكتلته 1kg، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100s؟

0.0000125

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

احسب كل نهاية مما يأتي:

الحل

$lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

1.46

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

1) $lim_{x \to - 3} (5 x - 10)$

25-

2) $lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + 4 x + 13}{x - 3}$

3) $lim_{x \to y} (\frac{1}{x} + 2 x + \sqrt{x})$

21.11

4) $lim_{x \to - 4} [x^{2} (x + 1) + 2]$

46-

5) $lim_{x \to 12} \frac{x^{2} - 10 x}{\sqrt{x + 4}}$

6) $lim_{x \to - 6} \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}}$

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:

7) $lim_{x \to 16} \frac{x^{2} + 9}{\sqrt{x} - 4}$

ليس ممكناً؛ فالمقام يساوي صفراً عندما x = 16

8) $lim_{x \to 2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

9) $lim_{x \to 3} \frac{x^{3} + 9 x + 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

10) $lim_{x \to 3} \sqrt{2 - x}$

ليس ممكناً، قيمة الدالة $f (x) = \sqrt{2 - x}$ هي $\sqrt{- 1}$ عندما x = 3 وهي ليست معرفة.

11) $lim_{x \to 9} (3 x^{2} - 10 x + 35)$

188

12) $lim_{x \to 10} (- x^{2} + 3 x + \sqrt{x})$

66.84-

13) فيزياء: بحسب نظرية آينشتاين النسبية، فإن كتلة جسم يتحرك بسرعة v تعطى بالعلاقة $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ حيث c سرعة الضوء، m₀ كتلة الجسم الابتدائية أو كتلته عند السكون. أوجد $lim_{v \to 0} m$ ووضح العلاقة بين هذه النهاية و m₀.

$lim_{v \to 0} m = m_{0}$ عندما تقترب سرعة الجسم من الصفر، فإن كتلته تقترب من كتلته الابتدائية، أو كتلته في وضع السكون.

احسب كل نهاية مما يأتي:

14) $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

15) $lim_{x \to 0} \frac{4 x}{\sqrt{x + 1} - 1}$

16) $lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

1.46

17) $lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 - \sqrt{x + 9}}$

12-

18) $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}$

19) $lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x + 3} - 3}{x - 6}$

$\frac{1}{6}$

احسب كل نهاية مما يأتي:

20) $lim_{x \to \infty} (5 - 2 x^{2} + 7 x^{3})$

$\infty$

21) $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - 10 x + 2}{4 x^{3} + 20 x^{2}}$

$\frac{3}{4}$

22) $lim_{x \to \infty} (10 x + 14 + 6 x^{2} - x^{4})$

$- \infty$

23) $lim_{x \to \infty} \frac{14 x^{3} - 12 x}{4 x^{2} + 13 x - 8}$

$\infty$

24) $lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} + 2 x - 11}{- x^{5} + 17 x^{3} + 4 x}$

25) $lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{4} - 2}{5 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}$

26) اسفنج: تحتوي مادة هلامية على حيوان الإسفنج، وعند وضع المادة الهلامية في الماء، فإن حيوان الإسفنج يبدأ بامتصاص الماء، والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة $ℓ (t) = \frac{105 t^{2}}{10 + t^{2}} + 25$ ، حيث $ℓ$ طول حيوان الإسفنج بالملمترات بعد t ثانية من وضعه في
الماء.

اسفنج

a) ما طول حيوان الإسفنج قبل وضعه في الماء؟

25mm

b) ما نهاية الدالة عندما $t \to \infty$ ؟

130mm

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة $ℓ$ وطول حيوان الإسفنج.

لن يتعدى طول حيوان الإسفنج 130mm

احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة:

27) $a_{n} = \frac{8 n + 1}{n^{2} - 3}$

28) $a_{n} = \frac{- 4 n^{2} + 6 n - 1}{n^{2} + 3 n}$

29) $a_{n} = \frac{12 n^{2} + 2}{6 n^{2} - 1}$

30) $a_{n} = \frac{8 n^{2} + 5 n + 2}{3 + 2 n}$

$\infty$

31) $a_{n} = \frac{1}{n^{4}} [\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}]$

$\frac{1}{4}$

32) $a_{n} = \frac{12}{n^{2}} [\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6}]$

$\infty$

احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدماً التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار:

33) $lim_{x \to - 2} \{\begin{aligned} x - 3, & x \leq - 2 \\ 2 x - 1, & x > - 2 \end{aligned}\}$

34) $lim_{x \to 0} \{\begin{array}{cc} 5 - x^{2}, & x \leq 0 \\ 5 - x, & x > 0 \end{array}\}$

35) $lim_{x \to 2} \{\begin{array}{cc} (x - 2)^{2} + 1, & x \leq 2 \\ x - 6, & x > 2 \end{array}\}$

غير موجودة.

احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة:

37) $lim_{x \to π} \frac{\sin x}{x}$

$L i m_{x \to π} \frac{S i n x}{x} = \frac{S i n π}{π} = \frac{0}{π} = 0$

38) $lim_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - \cos x)$

$\begin{array}{r} L i m_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - C o s x) = \\ 1 + 0 + 2^{0} - C o s 0 = 1 \end{array}$

39) $lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan 2 x}{x}$

$L i m_{x \to \frac{π}{2}} \frac{T a n 2 x}{x} = \frac{T a n π}{\frac{π}{2}} = 0$

40) $lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$

0.5-

أوجد $lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي:

41) f(x)=2x-1

42) f(x)=7-9x

43) $f (x) = \sqrt{x}$

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

44) $f (x) = \sqrt{x + 1}$

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

45) f(x)= x²

46) f(x)=x²+8x+4

2x + 8

47) فيزياء: يمتلك الجسم المتحرك طاقة تسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر، وتعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة $k (t) = \frac{1}{2} m \cdot (v (t))^{2}$ ، حيث (v (t سرعة الجسم عند الزمن t، وm كتلته بالكيلوجرام، إذا كانت سرعة جسم $v (t) = \frac{50}{1 + t^{2}}$ لكل $t \geq 0$ ، وكتلته 1kg، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100s؟

0.0000125

حلول الأسئلة

احسب كل نهاية مما يأتي:

مشاركة الحل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

1) limx→−3(5x−10)

2) limx→5x2+4x+13x−3

3) limx→y1x+2x+x

4) limx→−4[x2(x+1)+2]

5) limx→12x2−10xx+4

6) limx→−6x4−x3x2

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:

7) limx→16x2+9x−4

8) limx→2(4x3−3x2+10)

9) limx→3x3+9x+6x2+5x+6

10) limx→32−x

11) limx→9(3x2−10x+35)

12) limx→10(−x2+3x+x)

احسب كل نهاية مما يأتي:

14) limx→1x2+4x−5x2−1

15) limx→04xx+1−1

16) limx→−54x2+21x+53x2+17x+10

17) limx→02x3−x+9

18) limx→−3x2−2x−15x+3

19) limx→6x+3−3x−6

احسب كل نهاية مما يأتي:

20) limx→∞(5−2x2+7x3)

21) limx→∞3x3−10x+24x3+20x2

22) limx→∞(10x+14+6x2−x4)

23) limx→∞14x3−12x4x2+13x−8

24) limx→∞6x3+2x−11−x5+17x3+4x

25) limx→∞10x4−25x4+3x3−2x

a) ما طول حيوان الإسفنج قبل وضعه في الماء؟

b) ما نهاية الدالة عندما t→∞؟

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة ℓ وطول حيوان الإسفنج.

احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة:

27) an=8n+1n2−3

28) an=−4n2+6n−1n2+3n

29) an=12n2+26n2−1

30) an=8n2+5n+23+2n

31) an=1n4n2(n+1)24

32) an=12n2n(2n+1)(n+1)6

احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدماً التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار:

33) limx→−2x−3,x≤−22x−1,x>−2

34) limx→05−x2,x≤05−x,x>0

35) limx→2(x−2)2+1,x≤2x−6,x>2

احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة:

37) limx→πsin xx

38) limx→0(1+x+2x−cos x)

39) limx→π2tan 2xx

40) limx→11−xx−1

أوجد limh→0f(x+h)−f(x)h لكل دالة مما يأتي:

41) f(x)=2x-1

42) f(x)=7-9x

43) f(x)=x

44) f(x)=x+1

45) f(x)= x2

46) f(x)=x2+8x+4

مشاركة الدرس

احسب كل نهاية مما يأتي:

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

1) limx→−3(5x−10)

2) limx→5x2+4x+13x−3

3) limx→y1x+2x+x

4) limx→−4[x2(x+1)+2]

5) limx→12x2−10xx+4

6) limx→−6x4−x3x2

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:

7) limx→16x2+9x−4

8) limx→2(4x3−3x2+10)

9) limx→3x3+9x+6x2+5x+6

10) limx→32−x

11) limx→9(3x2−10x+35)

12) limx→10(−x2+3x+x)

احسب كل نهاية مما يأتي:

14) limx→1x2+4x−5x2−1

15) limx→04xx+1−1

16) limx→−54x2+21x+53x2+17x+10

17) limx→02x3−x+9

1) $lim_{x \to - 3} (5 x - 10)$

2) $lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + 4 x + 13}{x - 3}$

3) $lim_{x \to y} (\frac{1}{x} + 2 x + \sqrt{x})$

4) $lim_{x \to - 4} [x^{2} (x + 1) + 2]$

5) $lim_{x \to 12} \frac{x^{2} - 10 x}{\sqrt{x + 4}}$

6) $lim_{x \to - 6} \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}}$

7) $lim_{x \to 16} \frac{x^{2} + 9}{\sqrt{x} - 4}$

8) $lim_{x \to 2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

9) $lim_{x \to 3} \frac{x^{3} + 9 x + 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

10) $lim_{x \to 3} \sqrt{2 - x}$

11) $lim_{x \to 9} (3 x^{2} - 10 x + 35)$

12) $lim_{x \to 10} (- x^{2} + 3 x + \sqrt{x})$

14) $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

15) $lim_{x \to 0} \frac{4 x}{\sqrt{x + 1} - 1}$

16) $lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

17) $lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 - \sqrt{x + 9}}$

18) $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}$

19) $lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x + 3} - 3}{x - 6}$

20) $lim_{x \to \infty} (5 - 2 x^{2} + 7 x^{3})$

21) $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - 10 x + 2}{4 x^{3} + 20 x^{2}}$

22) $lim_{x \to \infty} (10 x + 14 + 6 x^{2} - x^{4})$

23) $lim_{x \to \infty} \frac{14 x^{3} - 12 x}{4 x^{2} + 13 x - 8}$

24) $lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} + 2 x - 11}{- x^{5} + 17 x^{3} + 4 x}$

25) $lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{4} - 2}{5 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}$

b) ما نهاية الدالة عندما $t \to \infty$ ؟

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة $ℓ$ وطول حيوان الإسفنج.

27) $a_{n} = \frac{8 n + 1}{n^{2} - 3}$

28) $a_{n} = \frac{- 4 n^{2} + 6 n - 1}{n^{2} + 3 n}$

29) $a_{n} = \frac{12 n^{2} + 2}{6 n^{2} - 1}$

30) $a_{n} = \frac{8 n^{2} + 5 n + 2}{3 + 2 n}$

31) $a_{n} = \frac{1}{n^{4}} [\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}]$

32) $a_{n} = \frac{12}{n^{2}} [\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6}]$

33) $lim_{x \to - 2} \{\begin{aligned} x - 3, & x \leq - 2 \\ 2 x - 1, & x > - 2 \end{aligned}\}$

34) $lim_{x \to 0} \{\begin{array}{cc} 5 - x^{2}, & x \leq 0 \\ 5 - x, & x > 0 \end{array}\}$

35) $lim_{x \to 2} \{\begin{array}{cc} (x - 2)^{2} + 1, & x \leq 2 \\ x - 6, & x > 2 \end{array}\}$

37) $lim_{x \to π} \frac{\sin x}{x}$

38) $lim_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - \cos x)$

39) $lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan 2 x}{x}$

40) $lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$

أوجد $lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي:

43) $f (x) = \sqrt{x}$

44) $f (x) = \sqrt{x + 1}$

45) f(x)= x²

46) f(x)=x²+8x+4

1) $lim_{x \to - 3} (5 x - 10)$

2) $lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + 4 x + 13}{x - 3}$

3) $lim_{x \to y} (\frac{1}{x} + 2 x + \sqrt{x})$

4) $lim_{x \to - 4} [x^{2} (x + 1) + 2]$

5) $lim_{x \to 12} \frac{x^{2} - 10 x}{\sqrt{x + 4}}$

6) $lim_{x \to - 6} \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}}$

7) $lim_{x \to 16} \frac{x^{2} + 9}{\sqrt{x} - 4}$

8) $lim_{x \to 2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

9) $lim_{x \to 3} \frac{x^{3} + 9 x + 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

10) $lim_{x \to 3} \sqrt{2 - x}$

11) $lim_{x \to 9} (3 x^{2} - 10 x + 35)$

12) $lim_{x \to 10} (- x^{2} + 3 x + \sqrt{x})$

14) $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

15) $lim_{x \to 0} \frac{4 x}{\sqrt{x + 1} - 1}$

16) $lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

17) $lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 - \sqrt{x + 9}}$

18) $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}$

19) $lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x + 3} - 3}{x - 6}$

20) $lim_{x \to \infty} (5 - 2 x^{2} + 7 x^{3})$

21) $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - 10 x + 2}{4 x^{3} + 20 x^{2}}$

22) $lim_{x \to \infty} (10 x + 14 + 6 x^{2} - x^{4})$

23) $lim_{x \to \infty} \frac{14 x^{3} - 12 x}{4 x^{2} + 13 x - 8}$

24) $lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} + 2 x - 11}{- x^{5} + 17 x^{3} + 4 x}$

25) $lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{4} - 2}{5 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}$

b) ما نهاية الدالة عندما $t \to \infty$ ؟

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة $ℓ$ وطول حيوان الإسفنج.

27) $a_{n} = \frac{8 n + 1}{n^{2} - 3}$

28) $a_{n} = \frac{- 4 n^{2} + 6 n - 1}{n^{2} + 3 n}$

29) $a_{n} = \frac{12 n^{2} + 2}{6 n^{2} - 1}$

30) $a_{n} = \frac{8 n^{2} + 5 n + 2}{3 + 2 n}$

31) $a_{n} = \frac{1}{n^{4}} [\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}]$

32) $a_{n} = \frac{12}{n^{2}} [\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6}]$

33) $lim_{x \to - 2} \{\begin{aligned} x - 3, & x \leq - 2 \\ 2 x - 1, & x > - 2 \end{aligned}\}$

34) $lim_{x \to 0} \{\begin{array}{cc} 5 - x^{2}, & x \leq 0 \\ 5 - x, & x > 0 \end{array}\}$

35) $lim_{x \to 2} \{\begin{array}{cc} (x - 2)^{2} + 1, & x \leq 2 \\ x - 6, & x > 2 \end{array}\}$

37) $lim_{x \to π} \frac{\sin x}{x}$