حلول الأسئلة

السؤال

يمتلك الجسم المتحرك طاقة تسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر، وتعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة $k (t) = \frac{1}{2} m \cdot (v (t))^{2}$ ، حيث (v (t سرعة الجسم عند الزمن t، وm كتلته بالكيلوجرام، إذا كانت سرعة جسم $v (t) = \frac{50}{1 + t^{2}}$ لكل $t \geq 0$ ، وكتلته 1kg، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100s؟

الحل

0.0000125

شاهد حلول جميع الاسئلة

مشاركة الحل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

1) $lim_{x \to - 3} (5 x - 10)$

25-

2) $lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + 4 x + 13}{x - 3}$

3) $lim_{x \to y} (\frac{1}{x} + 2 x + \sqrt{x})$

21.11

4) $lim_{x \to - 4} [x^{2} (x + 1) + 2]$

46-

5) $lim_{x \to 12} \frac{x^{2} - 10 x}{\sqrt{x + 4}}$

6) $lim_{x \to - 6} \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}}$

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:

7) $lim_{x \to 16} \frac{x^{2} + 9}{\sqrt{x} - 4}$

ليس ممكناً؛ فالمقام يساوي صفراً عندما x = 16

8) $lim_{x \to 2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

9) $lim_{x \to 3} \frac{x^{3} + 9 x + 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

10) $lim_{x \to 3} \sqrt{2 - x}$

ليس ممكناً، قيمة الدالة $f (x) = \sqrt{2 - x}$ هي $\sqrt{- 1}$ عندما x = 3 وهي ليست معرفة.

11) $lim_{x \to 9} (3 x^{2} - 10 x + 35)$

188

12) $lim_{x \to 10} (- x^{2} + 3 x + \sqrt{x})$

66.84-

13) فيزياء: بحسب نظرية آينشتاين النسبية، فإن كتلة جسم يتحرك بسرعة v تعطى بالعلاقة $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ حيث c سرعة الضوء، m₀ كتلة الجسم الابتدائية أو كتلته عند السكون. أوجد $lim_{v \to 0} m$ ووضح العلاقة بين هذه النهاية و m₀.

$lim_{v \to 0} m = m_{0}$ عندما تقترب سرعة الجسم من الصفر، فإن كتلته تقترب من كتلته الابتدائية، أو كتلته في وضع السكون.

احسب كل نهاية مما يأتي:

14) $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

15) $lim_{x \to 0} \frac{4 x}{\sqrt{x + 1} - 1}$

16) $lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

1.46

17) $lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 - \sqrt{x + 9}}$

12-

18) $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}$

19) $lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x + 3} - 3}{x - 6}$

$\frac{1}{6}$

احسب كل نهاية مما يأتي:

20) $lim_{x \to \infty} (5 - 2 x^{2} + 7 x^{3})$

$\infty$

21) $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - 10 x + 2}{4 x^{3} + 20 x^{2}}$

$\frac{3}{4}$

22) $lim_{x \to \infty} (10 x + 14 + 6 x^{2} - x^{4})$

$- \infty$

23) $lim_{x \to \infty} \frac{14 x^{3} - 12 x}{4 x^{2} + 13 x - 8}$

$\infty$

24) $lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} + 2 x - 11}{- x^{5} + 17 x^{3} + 4 x}$

25) $lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{4} - 2}{5 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}$

26) اسفنج: تحتوي مادة هلامية على حيوان الإسفنج، وعند وضع المادة الهلامية في الماء، فإن حيوان الإسفنج يبدأ بامتصاص الماء، والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة $ℓ (t) = \frac{105 t^{2}}{10 + t^{2}} + 25$ ، حيث $ℓ$ طول حيوان الإسفنج بالملمترات بعد t ثانية من وضعه في
الماء.

اسفنج

a) ما طول حيوان الإسفنج قبل وضعه في الماء؟

25mm

b) ما نهاية الدالة عندما $t \to \infty$ ؟

130mm

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة $ℓ$ وطول حيوان الإسفنج.

لن يتعدى طول حيوان الإسفنج 130mm

احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة:

27) $a_{n} = \frac{8 n + 1}{n^{2} - 3}$

28) $a_{n} = \frac{- 4 n^{2} + 6 n - 1}{n^{2} + 3 n}$

29) $a_{n} = \frac{12 n^{2} + 2}{6 n^{2} - 1}$

30) $a_{n} = \frac{8 n^{2} + 5 n + 2}{3 + 2 n}$

$\infty$

31) $a_{n} = \frac{1}{n^{4}} [\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}]$

$\frac{1}{4}$

32) $a_{n} = \frac{12}{n^{2}} [\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6}]$

$\infty$

احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدماً التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار:

33) $lim_{x \to - 2} \{\begin{aligned} x - 3, & x \leq - 2 \\ 2 x - 1, & x > - 2 \end{aligned}\}$

34) $lim_{x \to 0} \{\begin{array}{cc} 5 - x^{2}, & x \leq 0 \\ 5 - x, & x > 0 \end{array}\}$

35) $lim_{x \to 2} \{\begin{array}{cc} (x - 2)^{2} + 1, & x \leq 2 \\ x - 6, & x > 2 \end{array}\}$

غير موجودة.

احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة:

37) $lim_{x \to π} \frac{\sin x}{x}$

$L i m_{x \to π} \frac{S i n x}{x} = \frac{S i n π}{π} = \frac{0}{π} = 0$

38) $lim_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - \cos x)$

$\begin{array}{r} L i m_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - C o s x) = \\ 1 + 0 + 2^{0} - C o s 0 = 1 \end{array}$

39) $lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan 2 x}{x}$

$L i m_{x \to \frac{π}{2}} \frac{T a n 2 x}{x} = \frac{T a n π}{\frac{π}{2}} = 0$

40) $lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$

0.5-

أوجد $lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي:

41) f(x)=2x-1

42) f(x)=7-9x

43) $f (x) = \sqrt{x}$

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

44) $f (x) = \sqrt{x + 1}$

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

45) f(x)= x²

46) f(x)=x²+8x+4

2x + 8

47) فيزياء: يمتلك الجسم المتحرك طاقة تسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر، وتعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة $k (t) = \frac{1}{2} m \cdot (v (t))^{2}$ ، حيث (v (t سرعة الجسم عند الزمن t، وm كتلته بالكيلوجرام، إذا كانت سرعة جسم $v (t) = \frac{50}{1 + t^{2}}$ لكل $t \geq 0$ ، وكتلته 1kg، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100s؟

0.0000125

مشاركة الدرس

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

السؤال

يمتلك الجسم المتحرك طاقة تسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر، وتعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة $k (t) = \frac{1}{2} m \cdot (v (t))^{2}$ ، حيث (v (t سرعة الجسم عند الزمن t، وm كتلته بالكيلوجرام، إذا كانت سرعة جسم $v (t) = \frac{50}{1 + t^{2}}$ لكل $t \geq 0$ ، وكتلته 1kg، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100s؟

الحل

0.0000125

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

1) $lim_{x \to - 3} (5 x - 10)$

25-

2) $lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + 4 x + 13}{x - 3}$

3) $lim_{x \to y} (\frac{1}{x} + 2 x + \sqrt{x})$

21.11

4) $lim_{x \to - 4} [x^{2} (x + 1) + 2]$

46-

5) $lim_{x \to 12} \frac{x^{2} - 10 x}{\sqrt{x + 4}}$

6) $lim_{x \to - 6} \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}}$

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:

7) $lim_{x \to 16} \frac{x^{2} + 9}{\sqrt{x} - 4}$

ليس ممكناً؛ فالمقام يساوي صفراً عندما x = 16

8) $lim_{x \to 2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

9) $lim_{x \to 3} \frac{x^{3} + 9 x + 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

10) $lim_{x \to 3} \sqrt{2 - x}$

ليس ممكناً، قيمة الدالة $f (x) = \sqrt{2 - x}$ هي $\sqrt{- 1}$ عندما x = 3 وهي ليست معرفة.

11) $lim_{x \to 9} (3 x^{2} - 10 x + 35)$

188

12) $lim_{x \to 10} (- x^{2} + 3 x + \sqrt{x})$

66.84-

13) فيزياء: بحسب نظرية آينشتاين النسبية، فإن كتلة جسم يتحرك بسرعة v تعطى بالعلاقة $m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ حيث c سرعة الضوء، m₀ كتلة الجسم الابتدائية أو كتلته عند السكون. أوجد $lim_{v \to 0} m$ ووضح العلاقة بين هذه النهاية و m₀.

$lim_{v \to 0} m = m_{0}$ عندما تقترب سرعة الجسم من الصفر، فإن كتلته تقترب من كتلته الابتدائية، أو كتلته في وضع السكون.

احسب كل نهاية مما يأتي:

14) $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

15) $lim_{x \to 0} \frac{4 x}{\sqrt{x + 1} - 1}$

16) $lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

1.46

17) $lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 - \sqrt{x + 9}}$

12-

18) $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}$

19) $lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x + 3} - 3}{x - 6}$

$\frac{1}{6}$

احسب كل نهاية مما يأتي:

20) $lim_{x \to \infty} (5 - 2 x^{2} + 7 x^{3})$

$\infty$

21) $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - 10 x + 2}{4 x^{3} + 20 x^{2}}$

$\frac{3}{4}$

22) $lim_{x \to \infty} (10 x + 14 + 6 x^{2} - x^{4})$

$- \infty$

23) $lim_{x \to \infty} \frac{14 x^{3} - 12 x}{4 x^{2} + 13 x - 8}$

$\infty$

24) $lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} + 2 x - 11}{- x^{5} + 17 x^{3} + 4 x}$

25) $lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{4} - 2}{5 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}$

26) اسفنج: تحتوي مادة هلامية على حيوان الإسفنج، وعند وضع المادة الهلامية في الماء، فإن حيوان الإسفنج يبدأ بامتصاص الماء، والتضخم. ويمكن تمثيل ذلك بالدالة $ℓ (t) = \frac{105 t^{2}}{10 + t^{2}} + 25$ ، حيث $ℓ$ طول حيوان الإسفنج بالملمترات بعد t ثانية من وضعه في
الماء.

اسفنج

a) ما طول حيوان الإسفنج قبل وضعه في الماء؟

25mm

b) ما نهاية الدالة عندما $t \to \infty$ ؟

130mm

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة $ℓ$ وطول حيوان الإسفنج.

لن يتعدى طول حيوان الإسفنج 130mm

احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة:

27) $a_{n} = \frac{8 n + 1}{n^{2} - 3}$

28) $a_{n} = \frac{- 4 n^{2} + 6 n - 1}{n^{2} + 3 n}$

29) $a_{n} = \frac{12 n^{2} + 2}{6 n^{2} - 1}$

30) $a_{n} = \frac{8 n^{2} + 5 n + 2}{3 + 2 n}$

$\infty$

31) $a_{n} = \frac{1}{n^{4}} [\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}]$

$\frac{1}{4}$

32) $a_{n} = \frac{12}{n^{2}} [\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6}]$

$\infty$

احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدماً التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار:

33) $lim_{x \to - 2} \{\begin{aligned} x - 3, & x \leq - 2 \\ 2 x - 1, & x > - 2 \end{aligned}\}$

34) $lim_{x \to 0} \{\begin{array}{cc} 5 - x^{2}, & x \leq 0 \\ 5 - x, & x > 0 \end{array}\}$

35) $lim_{x \to 2} \{\begin{array}{cc} (x - 2)^{2} + 1, & x \leq 2 \\ x - 6, & x > 2 \end{array}\}$

غير موجودة.

احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة:

37) $lim_{x \to π} \frac{\sin x}{x}$

$L i m_{x \to π} \frac{S i n x}{x} = \frac{S i n π}{π} = \frac{0}{π} = 0$

38) $lim_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - \cos x)$

$\begin{array}{r} L i m_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - C o s x) = \\ 1 + 0 + 2^{0} - C o s 0 = 1 \end{array}$

39) $lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan 2 x}{x}$

$L i m_{x \to \frac{π}{2}} \frac{T a n 2 x}{x} = \frac{T a n π}{\frac{π}{2}} = 0$

40) $lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$

0.5-

أوجد $lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي:

41) f(x)=2x-1

42) f(x)=7-9x

43) $f (x) = \sqrt{x}$

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

44) $f (x) = \sqrt{x + 1}$

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

45) f(x)= x²

46) f(x)=x²+8x+4

2x + 8

47) فيزياء: يمتلك الجسم المتحرك طاقة تسمى الطاقة الحركية؛ لأن بإمكانه بذل شغل عند تأثيره على جسم آخر، وتعطى الطاقة الحركية لجسم متحرك بالعلاقة $k (t) = \frac{1}{2} m \cdot (v (t))^{2}$ ، حيث (v (t سرعة الجسم عند الزمن t، وm كتلته بالكيلوجرام، إذا كانت سرعة جسم $v (t) = \frac{50}{1 + t^{2}}$ لكل $t \geq 0$ ، وكتلته 1kg، فما الطاقة الحركية التي يمتلكها عندما يقترب الزمن من 100s؟

0.0000125

حلول الأسئلة

مشاركة الحل

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

1) limx→−3(5x−10)

2) limx→5x2+4x+13x−3

3) limx→y1x+2x+x

4) limx→−4[x2(x+1)+2]

5) limx→12x2−10xx+4

6) limx→−6x4−x3x2

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:

7) limx→16x2+9x−4

8) limx→2(4x3−3x2+10)

9) limx→3x3+9x+6x2+5x+6

10) limx→32−x

11) limx→9(3x2−10x+35)

12) limx→10(−x2+3x+x)

احسب كل نهاية مما يأتي:

14) limx→1x2+4x−5x2−1

15) limx→04xx+1−1

16) limx→−54x2+21x+53x2+17x+10

17) limx→02x3−x+9

18) limx→−3x2−2x−15x+3

19) limx→6x+3−3x−6

احسب كل نهاية مما يأتي:

20) limx→∞(5−2x2+7x3)

21) limx→∞3x3−10x+24x3+20x2

22) limx→∞(10x+14+6x2−x4)

23) limx→∞14x3−12x4x2+13x−8

24) limx→∞6x3+2x−11−x5+17x3+4x

25) limx→∞10x4−25x4+3x3−2x

a) ما طول حيوان الإسفنج قبل وضعه في الماء؟

b) ما نهاية الدالة عندما t→∞؟

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة ℓ وطول حيوان الإسفنج.

احسب نهاية كل متتابعة مما يأتي إذا كانت موجودة:

27) an=8n+1n2−3

28) an=−4n2+6n−1n2+3n

29) an=12n2+26n2−1

30) an=8n2+5n+23+2n

31) an=1n4n2(n+1)24

32) an=12n2n(2n+1)(n+1)6

احسب كل نهاية مما يأتي إذا كانت موجودة مستخدماً التعويض المباشر لحساب النهايتين من اليمين واليسار:

33) limx→−2x−3,x≤−22x−1,x>−2

34) limx→05−x2,x≤05−x,x>0

35) limx→2(x−2)2+1,x≤2x−6,x>2

احسب كل نهاية مما يأتي، إذا كانت موجودة:

37) limx→πsin xx

38) limx→0(1+x+2x−cos x)

39) limx→π2tan 2xx

40) limx→11−xx−1

أوجد limh→0f(x+h)−f(x)h لكل دالة مما يأتي:

41) f(x)=2x-1

42) f(x)=7-9x

43) f(x)=x

44) f(x)=x+1

45) f(x)= x2

46) f(x)=x2+8x+4

مشاركة الدرس

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل خصائص النهايات لحساب كل نهاية مما يأتي:

1) limx→−3(5x−10)

2) limx→5x2+4x+13x−3

3) limx→y1x+2x+x

4) limx→−4[x2(x+1)+2]

5) limx→12x2−10xx+4

6) limx→−6x4−x3x2

احسب كل نهاية مما يأتي باستعمال التعويض المباشر إذا كان ممكناً، وإلا فاذكر السبب:

7) limx→16x2+9x−4

8) limx→2(4x3−3x2+10)

9) limx→3x3+9x+6x2+5x+6

10) limx→32−x

11) limx→9(3x2−10x+35)

12) limx→10(−x2+3x+x)

احسب كل نهاية مما يأتي:

14) limx→1x2+4x−5x2−1

15) limx→04xx+1−1

16) limx→−54x2+21x+53x2+17x+10

17) limx→02x3−x+9

18) limx→−3x2−2x−15x+3

19) limx→6x+3−3x−6

1) $lim_{x \to - 3} (5 x - 10)$

2) $lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + 4 x + 13}{x - 3}$

3) $lim_{x \to y} (\frac{1}{x} + 2 x + \sqrt{x})$

4) $lim_{x \to - 4} [x^{2} (x + 1) + 2]$

5) $lim_{x \to 12} \frac{x^{2} - 10 x}{\sqrt{x + 4}}$

6) $lim_{x \to - 6} \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}}$

7) $lim_{x \to 16} \frac{x^{2} + 9}{\sqrt{x} - 4}$

8) $lim_{x \to 2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

9) $lim_{x \to 3} \frac{x^{3} + 9 x + 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

10) $lim_{x \to 3} \sqrt{2 - x}$

11) $lim_{x \to 9} (3 x^{2} - 10 x + 35)$

12) $lim_{x \to 10} (- x^{2} + 3 x + \sqrt{x})$

14) $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

15) $lim_{x \to 0} \frac{4 x}{\sqrt{x + 1} - 1}$

16) $lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

17) $lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 - \sqrt{x + 9}}$

18) $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}$

19) $lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x + 3} - 3}{x - 6}$

20) $lim_{x \to \infty} (5 - 2 x^{2} + 7 x^{3})$

21) $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - 10 x + 2}{4 x^{3} + 20 x^{2}}$

22) $lim_{x \to \infty} (10 x + 14 + 6 x^{2} - x^{4})$

23) $lim_{x \to \infty} \frac{14 x^{3} - 12 x}{4 x^{2} + 13 x - 8}$

24) $lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} + 2 x - 11}{- x^{5} + 17 x^{3} + 4 x}$

25) $lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{4} - 2}{5 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}$

b) ما نهاية الدالة عندما $t \to \infty$ ؟

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة $ℓ$ وطول حيوان الإسفنج.

27) $a_{n} = \frac{8 n + 1}{n^{2} - 3}$

28) $a_{n} = \frac{- 4 n^{2} + 6 n - 1}{n^{2} + 3 n}$

29) $a_{n} = \frac{12 n^{2} + 2}{6 n^{2} - 1}$

30) $a_{n} = \frac{8 n^{2} + 5 n + 2}{3 + 2 n}$

31) $a_{n} = \frac{1}{n^{4}} [\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}]$

32) $a_{n} = \frac{12}{n^{2}} [\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6}]$

33) $lim_{x \to - 2} \{\begin{aligned} x - 3, & x \leq - 2 \\ 2 x - 1, & x > - 2 \end{aligned}\}$

34) $lim_{x \to 0} \{\begin{array}{cc} 5 - x^{2}, & x \leq 0 \\ 5 - x, & x > 0 \end{array}\}$

35) $lim_{x \to 2} \{\begin{array}{cc} (x - 2)^{2} + 1, & x \leq 2 \\ x - 6, & x > 2 \end{array}\}$

37) $lim_{x \to π} \frac{\sin x}{x}$

38) $lim_{x \to 0} (1 + x + 2^{x} - \cos x)$

39) $lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan 2 x}{x}$

40) $lim_{x \to 1} \frac{1 - \sqrt{x}}{x - 1}$

أوجد $lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ لكل دالة مما يأتي:

43) $f (x) = \sqrt{x}$

44) $f (x) = \sqrt{x + 1}$

45) f(x)= x²

46) f(x)=x²+8x+4

1) $lim_{x \to - 3} (5 x - 10)$

2) $lim_{x \to 5} \frac{x^{2} + 4 x + 13}{x - 3}$

3) $lim_{x \to y} (\frac{1}{x} + 2 x + \sqrt{x})$

4) $lim_{x \to - 4} [x^{2} (x + 1) + 2]$

5) $lim_{x \to 12} \frac{x^{2} - 10 x}{\sqrt{x + 4}}$

6) $lim_{x \to - 6} \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2}}$

7) $lim_{x \to 16} \frac{x^{2} + 9}{\sqrt{x} - 4}$

8) $lim_{x \to 2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 10)$

9) $lim_{x \to 3} \frac{x^{3} + 9 x + 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

10) $lim_{x \to 3} \sqrt{2 - x}$

11) $lim_{x \to 9} (3 x^{2} - 10 x + 35)$

12) $lim_{x \to 10} (- x^{2} + 3 x + \sqrt{x})$

14) $lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

15) $lim_{x \to 0} \frac{4 x}{\sqrt{x + 1} - 1}$

16) $lim_{x \to - 5} \frac{4 x^{2} + 21 x + 5}{3 x^{2} + 17 x + 10}$

17) $lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 - \sqrt{x + 9}}$

18) $lim_{x \to - 3} \frac{x^{2} - 2 x - 15}{x + 3}$

19) $lim_{x \to 6} \frac{\sqrt{x + 3} - 3}{x - 6}$

20) $lim_{x \to \infty} (5 - 2 x^{2} + 7 x^{3})$

21) $lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{3} - 10 x + 2}{4 x^{3} + 20 x^{2}}$

22) $lim_{x \to \infty} (10 x + 14 + 6 x^{2} - x^{4})$

23) $lim_{x \to \infty} \frac{14 x^{3} - 12 x}{4 x^{2} + 13 x - 8}$

24) $lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{3} + 2 x - 11}{- x^{5} + 17 x^{3} + 4 x}$

25) $lim_{x \to \infty} \frac{10 x^{4} - 2}{5 x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}$

b) ما نهاية الدالة عندما $t \to \infty$ ؟

c) وضِّح العلاقة بين نهاية الدالة $ℓ$ وطول حيوان الإسفنج.

27) $a_{n} = \frac{8 n + 1}{n^{2} - 3}$

28) $a_{n} = \frac{- 4 n^{2} + 6 n - 1}{n^{2} + 3 n}$

29) $a_{n} = \frac{12 n^{2} + 2}{6 n^{2} - 1}$

30) $a_{n} = \frac{8 n^{2} + 5 n + 2}{3 + 2 n}$

31) $a_{n} = \frac{1}{n^{4}} [\frac{n^{2} (n + 1)^{2}}{4}]$

32) $a_{n} = \frac{12}{n^{2}} [\frac{n (2 n + 1) (n + 1)}{6}]$

33) $lim_{x \to - 2} \{\begin{aligned} x - 3, & x \leq - 2 \\ 2 x - 1, & x > - 2 \end{aligned}\}$

34) $lim_{x \to 0} \{\begin{array}{cc} 5 - x^{2}, & x \leq 0 \\ 5 - x, & x > 0 \end{array}\}$

35) $lim_{x \to 2} \{\begin{array}{cc} (x - 2)^{2} + 1, & x \leq 2 \\ x - 6, & x > 2 \end{array}\}$

37) $lim_{x \to π} \frac{\sin x}{x}$