استعمل خصائص النهايات؛ لإثبات أنه لأي كثيرة حدود p(x)= a_nx ⁿ + a _{n - 1} x ^{n - 1} +......+ a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ ولأي عدد حقيقي c، فإن $\underset{x\to c}{lim}p\left(x\right)=p\left(c\right)$ .

$$\begin{gathered} \underset{x\to c}{lim}p\left(x\right)=\underset{x\to c}{lim}(a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0) \\ \begin{array}{rl}=\underset{x\to c}{lim}{a}_n{x}^n+\underset{x\to c}{lim}{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +\underset{x\to c}{lim}{a}_2{x}^2+\underset{x\to c}{lim}{a}_{1}x+\underset{x\to c}{lim}{a}_0& \end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rl}& =a_n\underset{x\to c}{lim}{x}^n+a_{n-1}\underset{x\to c}{lim}{x}^{n-1}+\dots +a_2\underset{x\to c}{lim}{x}^2+a_1\underset{x\to c}{lim}x+\underset{x\to c}{lim}{a}_0\\ & \begin{array}{rl}=a_n{\left(\underset{x\to c}{lim}x\right)}^n+a_{n-1}{\left(\underset{x\to c}{lim}x\right)}^{n-1}+& \dots +a_2{\left(\underset{x\to c}{lim}x\right)}^2+a_1\underset{x\to c}{lim}x+\underset{x\to c}{lim}{a}_0\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =a_n{c}^n+a_{n-1}{c}^{n-1}+\cdots +a_2{c}^2+a_{1}c+a_0\\ & =p\left(c\right)\end{array}$

حل أسئلة مسائل مهارات التفكير العليا

48) تحدّ: استعمل خصائص النهايات؛ لإثبات أنه لأي كثيرة حدود p(x)= a_n xⁿ + a_{n - 1}x^{n - 1} +......+ a₂x² + a₁x + a₀ ولأي عدد حقيقي c، فإن $\underset{x\to c}{lim}p\left(x\right)=p\left(c\right)$.

$$\begin{gathered} \underset{x\to c}{lim}p\left(x\right)=\underset{x\to c}{lim}(a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0) \\ \begin{array}{rl}=\underset{x\to c}{lim}{a}_n{x}^n+\underset{x\to c}{lim}{a}_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +\underset{x\to c}{lim}{a}_2{x}^2+\underset{x\to c}{lim}{a}_{1}x+\underset{x\to c}{lim}{a}_0& \end{array} \end{gathered}$$

$\begin{array}{rl}& =a_n\underset{x\to c}{lim}{x}^n+a_{n-1}\underset{x\to c}{lim}{x}^{n-1}+\dots +a_2\underset{x\to c}{lim}{x}^2+a_1\underset{x\to c}{lim}x+\underset{x\to c}{lim}{a}_0\\ & \begin{array}{rl}=a_n{\left(\underset{x\to c}{lim}x\right)}^n+a_{n-1}{\left(\underset{x\to c}{lim}x\right)}^{n-1}+& \dots +a_2{\left(\underset{x\to c}{lim}x\right)}^2+a_1\underset{x\to c}{lim}x+\underset{x\to c}{lim}{a}_0\end{array}\end{array}$

$\begin{array}{rl}& =a_n{c}^n+a_{n-1}{c}^{n-1}+\cdots +a_2{c}^2+a_{1}c+a_0\\ & =p\left(c\right)\end{array}$

49) برهان: استعمل الاستقراء الرياضي؛ لإثبات أنه إذا كان $\underset{x\to C}{lim}f\left(x\right)=L$، فإنه لأي عدد صحيح n $\underset{x\to C}{lim}\left[f\right(x){]}^n={\left[\underset{x\to c}{lim}f\right(x\left)\right]}^n=L^n$.

أثبت أن العبارة صحيحة عندما n = 1،

$\underset{x\to c}{lim}\left[f\right(x){]}^1=L^1=L=\underset{x\to c}{lim}[f\left(x\right)]$

أي أن العبارة صحيحة عندما n = 1. افترض أن العبارة صحيحة عندما n = k حيث k عدد صحيح موجب أي $\underset{x\to c}{lim}\left[f\right(x){]}^k=L^k$ والمطلوب إثبات أن العبارة صحيحة عندما n = k + 1 أي

$\begin{array}{rl}\underset{x\to c}{lim}\left[f\right(x){]}^{k+1}& =L^{k+1}\\ \underset{x\to c}{lim}\left[f\right(x){]}^{\mathrm{k}+1}& =\underset{x\to c}{lim}\left[f\right(x){]}^k\cdot \underset{x\to c}{lim}[f\left(x\right){]}^1=\\ L^k\cdot L^1& =L^{k+1}\end{array}$

أي أن العبارة صحيحة عندما n = k + 1 . وبحسب مبدأ الاستقراء الرياضي، فإن العبارة صحيحة لأي عدد صحيح موجب n.

50) تحدّ: احسب النهاية الآتية إذا كانت $:a_n\ne 0,b_m\ne 0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_n{x}^n+a_n-1^{x^{n-1}}+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_2{x}^2+b_{1}x+b_0}$

( إرشاد: افترض كلاً من الحالات m < n, m = n, m > n)

إذا كانت m> n ، فإن النهاية تساوي 0

إذا كانت m= n فإن النهاية تساوي $\cdot \frac{a_n}{b_m}$

إذا كانت m< n ، فإن النهاية إما $+\infty وأ -\infty$

51) تبرير: إذا كانت ( r(x دالة نسبية، فهل العلاقة $\underset{x\to c}{lim}r\left(x\right)=r\left(c\right)$صحيحة أحياناً، أو صحيحة دائماً، أو غير صحيحة أبداً؟ برّر إجابتك.

صحيحة أحياناً، تكون صحيحة إذا كانت ( r(x معرفة عند c.

52) تحدّ: استعمل جدولاً لتنظيم خصائص النهايات، وضمّنه مثالاً على كل خاصية.

53) اكتب: افترض أن $\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}$ دالة نسبية، وأن $\underset{x\to a}{lim}\frac{p\left(x\right)}{q\left(x\right)}=\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ تدعي ليلى أن قيمة هذه النهاية هي 1 وضّح سبب كونها مخطئة. وما الخطوات التي يمكن اتباعها لحساب هذه النهاية، إذا كانت موجودة؟

إجابة ممكنة: إذا كانت النهاية على الصورة $\frac{\infty }{\infty }$، فإنها لا تساوي 1؛ لأن $\infty$ ليس عدداً حقيقياً؛ بل يمثّل رمزاً. حلّل هذه المسألة بتمثيل الدالة النسبية الأصلية بيانياً، وملاحظة سلوكها حول نقطة النهاية.