في هذا التمرين ستستكشف علاقة المشتقات ببعض الخصائص الهندسية للدوال.

ارسم مربعاً طول ضلعه 2a، ومكعباً طول ضلعه 2a.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد مشتقة كلّ دالة مما يأتي باستعمال النهايات، ثم احسب قيمة المشتقة عند النقاط المعطاة:

1) f(x)=4x²-3, x=2, -1

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=8x,f^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=16,f^{\mathrm{\prime }}(-1)=-8$

2) g(t)=-t²+2t+11,t=5, 3

$g^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=-2t+2,g^{\mathrm{\prime }}\left(5\right)=-8,g^{\mathrm{\prime }}\left(3\right)=-4$

3) m(j)=14j-13, j=-7, -4

$m^{\mathrm{\prime }}\left(j\right)=14,m^{\mathrm{\prime }}(-7)=14,m^{\mathrm{\prime }}(-4)=14$

4) v(n)=5n²+9n-17,n=7, 2

$v^{\mathrm{\prime }}\left(n\right)=10n+9,v^{\mathrm{\prime }}\left(7\right)=79,v^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)=29$

5) r(b)=2b³-10b,b=-4, -3

$r^{\mathrm{\prime }}\left(b\right)=6b^2-10,r^{\mathrm{\prime }}(-4)=86,r^{\mathrm{\prime }}(-3)=44$

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:

6) y(f)=-11f

$y^{\mathrm{\prime }}\left(f\right)=-11$

7) z(n)=2n²+7n

$z^{\mathrm{\prime }}\left(n\right)=4n+7$

8) $g\left(h\right)=2h^{\frac{1}{2}}+6h^{\frac{1}{3}}-2h^{\frac{3}{2}}$

$g^{\mathrm{\prime }}\left(h\right)=\frac{1}{h^{\frac{1}{2}}}+\frac{2}{h^{\frac{2}{3}}}-3h^{\frac{1}{2}}$

9) $b\left(m\right)=3m^{\frac{2}{3}}-2m^{\frac{3}{2}}$

$b^{\mathrm{\prime }}\left(m\right)=2m^{-\frac{1}{3}}-3m^{\frac{1}{2}}$

10) $n\left(t\right)=\frac{1}{t}+\frac{3}{t^2}+\frac{2}{t^3}+4$

$n^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=-\frac{1}{t^2}-\frac{6}{t^3}-\frac{6}{t^4}$

11) $f\left(x\right)=3x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{3}{2}}+2x^{-\frac{1}{2}}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{3}{2x^{\frac{1}{2}}}-\frac{3}{2}{x}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

12) q(c)= c⁹-3c⁵+5c²-3c

$q^{\mathrm{\prime }}\left(c\right)=9c^8-15c^4+10c-3$

13) p(k)=k^5.2-8k^4.8+3k

$p^{\mathrm{\prime }}\left(k\right)=5.2k^{4.2}-38.4k^{3.8}+3$

14) درجات الحرارة: تعطى درجة حرارة إحدى المدن بالفهرنهايت في أحد الأيام بالدالة: f(h)=-0.0036h³-0.01h²+2.04h+52، حيث h عدد الساعات التي انقضت من ذلك اليوم.

a) أوجد معادلة تمثل معدل التغير اللحظي لدرجة الحرارة.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(h\right)=-0.0108h^2-0.02h+2.04$

b) أوجد معدَّل التغير اللحظي لدرجة الحرارة عندما: h=2,14,20.

$f^{\mathrm{\prime }}\left(2\right)\approx 1{.96}^{\circ }\mathrm{F},f^{\mathrm{\prime }}\left(14\right)\approx -0{.36}^{\circ }\mathrm{F},f^{\mathrm{\prime }}\left(20\right)\approx -2{.68}^{\circ }\mathrm{F}$

c) أوجد درجة الحرارة العظمى في الفترة: $0\le h\le 24$.

$68{.92}^{\circ }\mathrm{F}$

استعمل الاشتقاق لإيجاد النقاط الحرجة، ثم أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى لكل دالة مما يأتي على الفترة المعطاة.

15) $f\left(x\right)=2x^2+8x,[-5,0]$

نقطة حرجة (8- , 2-)، صغرى ( -8 , -2)، عظمى (10 , 5-)

16) $r\left(t\right)=t^4+6t^2-2,[1,4]$

لا يوجد نقاط حرجة في الفترة [4 ,1]، صغرى (5 ,1)، عظمى (350 ,4).

17) $t\left(u\right)=u^3+15u^2+75u+115,[-6,-3]$

نقطة حرجة (10 - ,5-)، صغرى (-11 , -6)، عظمى (2- ,3-).

18) $f\left(x\right)=-5x^2-90x,[-11,-8]$

نقطة حرجة (405 ,9-)، صغرى (385 ,-11)، عظمى (405 ,9-)

19) $z\left(k\right)=k^3-3k^2+3k,[0,3]$

نقطة حرجة (1 ,1)، صغرى (0 ,0)، عظمى (9 ,3).

20) $c\left(n\right)=\frac{1}{3}{n}^3+\frac{1}{2}{n}^2-6n+8,[-5,5]$

نقطتان حرجتان (21.5 ,3-) و(0.67 ,2)، صغرى (0.67 ,2)، عظمى (32.17 ,5).

21) رياضة: عد إلى فقرة ”لماذا؟“ في بداية الدرس. الدالة: h(t) = 65t -16t²+3 تمثل ارتفاع الكرة h بالأقدام بعد t ثانية، عندما $0\le t\le 4$.

a) أوجد h'(t).

$h^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=65-32t$

b) أوجد نقاط القيم العظمى والصغرى للدالة (h (t في الفترة [4 ,0].

$(0,3),(2.03,69.02)$

c) هل يمكن لأحمد ركل الكرة لتصل إلى ارتفاع 68ft؟

نعم؛ أقصى ارتفاع يمكن أن تبلغه الكرة هو 69.02ft تقريباً. وهذا أعلى من 68ft.

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي:

22) f(x)=(4x+3)(x²+9)

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=4(x^2+9)+2x(4x+3)$

23) g(x)=(3x⁴+2x)(5-3x)

$g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(12x^3+2)(5-3x)-3(3x^4+2x)$

24) $s\left(t\right)=(\sqrt{t}+2)(3t^{11}-4t)$

$s^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\frac{\sqrt{t}}{2t}(3t^{11}-4t)+(\sqrt{t}+2)(33t^{10}-4)$

25) $g\left(x\right)=\left(x^{\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}}+2x\right)(0.5x^4-3x)$

$g^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\left(\frac{{\displaystyle 3}}{{\displaystyle 2}}{x}^{\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}}+2\right)(0.5x^4-3x)+(2x^3-3)\left(x^{\frac{3}{2}}+2x\right)$

26) c(t)= (t³+2t-t⁷)( t⁶+3t⁴-22t)

$c^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=(3t^2+2-7t^6)(t^6+3t^4-22t)+(t^3+2t-t^7)(6t^5+12t^3-22)$

27) $q\left(a\right)=\left(a^{\frac{{\displaystyle 9}}{{\displaystyle 8}}}+a^{-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}}\right)\left(a^{\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 4}}}-13a\right)$

$q^{\mathrm{\prime }}\left(a\right)=\left(\frac{9}{8}{a}^{\frac{1}{8}}-\frac{1}{4}{a}^{-\frac{5}{4}}\right)\left(a^{\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 4}}}-13a\right)+\left(a^{\frac{9}{8}}+a^{-\frac{1}{4}}\right)\cdot \left(\frac{{\displaystyle 5}}{{\displaystyle 4}}{a}^{\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 4}}}-13\right)$

28) f(x)=(1.4x⁵+2.7x)(7.3x⁹-0.8x⁵ )

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=(7x^4+2.7)(7.3x^9-0.8x^5)+(1.4x^5+2.7x)(65.7x^8-4x^4)$

استعمل قاعدة مشتقة القسمة لإيجاد مشتقة كل دالة مما يأتي:

29) $f\left(m\right)=\frac{3-2m}{3+2m}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(m\right)=-\frac{12}{(3+2m{)}^2}$

30) $r\left(t\right)=\frac{t^2+2}{3-t^2}$

$r^{\mathrm{\prime }}\left(t\right)=\frac{10t}{{(3-t^2)}^2}$

31) $m\left(q\right)=\frac{q^4+2q^2+3}{q^3-2}$

$m^{\mathrm{\prime }}\left(q\right)=\frac{q^6-2q^4-8q^3-9q^2-8q}{{(q^3-2)}^2}$

32) $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}+2x}{-x^2+3}$

$f^{\mathrm{\prime }}\left(x\right)=\frac{4x^2+3x^{\frac{3}{2}}+3x^{\frac{-1}{2}}+12}{2{(-x^2+3)}^2}$

33) $q\left(r\right)=\frac{1.5r^3+5-r^2}{r^3}$

$q^{\mathrm{\prime }}\left(r\right)=\frac{r^2-15}{r^4}$

34) $t\left(w\right)=\frac{w+w{w}^4}{\sqrt{w}}$

$t^{\mathrm{\prime }}\left(w\right)=\frac{1}{2}{w}^{-\frac{1}{2}}+\frac{7}{2}{w}^{\frac{5}{2}}$

35) قام بائع ملابس بإيجاد العلاقة بين سعر قميص، وعدد القطع المبيعة منه يومياً، فوجد أنه عندما يكون سعر القميص d ريالاً، فإن عدد القطع المبيعة يومياً يساوي $80-2d$.

a) أوجد (r(d التي تمثل إجمالي المبيعات اليومية، عندما يكون سعر القميص d ريالاً.

r(d) = d(80 - 2d)

b) لأوجد r'(d).

r'(d) = -4d + 80

c) أوجد السعر d الذي تكون عنده قيمة المبيعات اليومية أكبر ما يمكن.

20 ريالاً

أوجد مشتقة كل دالة مما يأتي، ثم مثّل الدالة والمشتقة بيانياً على المستوى الإحداثي نفسه، (إرشاد: يمكنك استعمال الحاسبة البيانية في التمثيل البياني).

36) f(x)=3x²+2x-7

37) $g\left(x\right)=\sqrt{x}+4$

38) f(x)=4x⁵-6x³+10x-11

39) $g\left(x\right)=\frac{1}{x}$

40) المشتقات العليا: لتكن (f'(x مشتقة (f (x، إذا كانت مشتقة (f'(x موجودة، فإنها تسمى المشتقة الثانية للدالة f، ويرمز لها بالرمز f''(x)، أو الرمز (f⁽²⁾(x، وكذلك إذا كانت مشتقة (f''(x موجودة، فإنها تسمى المشتقة الثالثة للدالة f، ويرمز لها بالرمز (f'(x
أو (f⁽³⁾(x، وتسمى المشتقات على هذا النحو المشتقات العليا للدالة f. أوجد كلاُ مما يأتي:

a) المشتقة الثانية للدالة: f(x)=4x⁵-2x³+6.

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=80x^3-12x$

b) المشتقة الثالثة للدالة: g(x)=-2x⁷+4x⁴-7x³+10x.

$g^{\prime \prime \mathrm{\prime }}\left(x\right)=-420x^4+96x-42$

c) المشتقة الرابعة للدالة: h(x)=3x^-3+2^x-2+4x².

$h^{\left(4\right)}\left(x\right)=1080x^{-7}+240x^{-6}$

مثّل منحنى دالة لها الخصائص المعطاة في كلّ مما يأتي:

41) المشتقة تساوي 0، عندما 1, x = -1.

42) المشتقة غير معرَّفة، عندما x = 4.

43) المشتقة تساوي 2-، عندما 0,2,x = -1.

44) المشتقة تساوي 0، عندما 4, 2,x = -1.

45) تمثلات متعددة: في هذا التمرين ستستكشف علاقة المشتقات ببعض الخصائص الهندسية للدوال.

a) جبرياً: أوجد مشتقة صيغة مساحة الدائرة بالنسبة لنصف القطر.

b) لفظياً: وضح العلاقة بين المعادلة الأصلية ومشتقتها في الفرع a.

إجابة ممكنة: مشتقة صيغة مساحة الدائرة هي صيغة محيط الدائرة.

c) بيانياً: ارسم مربعاً طول ضلعه 2a، ومكعباً طول ضلعه 2a.

d) تحليلياً: اكتب صيغة تمثّل مساحة المربع، وأخرى تمثّل حجم المكعب بدلالة a، ثم أوجد مشتقتي الصيغتين.

$A=4a^2,A^{\mathrm{\prime }}=8a,V=8a^3,V=24a^2$

e) لفظياً: وضح العلاقة بين المعادلة الأصلية ومشتقتها في الفرع d.

عند كتابة مساحة المربع بدلالة بعد المركز عن الأضلاع، فإن مشتقة صيغة المساحة هي محيط المربع. وعند كتابة حجم المكعب بدلالة بعد المركز عن الأوجه، فإن مشتقة صيغة الحجم هي مساحة السطح الكلية للمكعب.