أعط مثالاً لكسر عشري دوري يتكرر فيه رقمان، ووضح لماذا يعتبر عدداً نسبياً؟

مثال لكسر عشري دوري هو $\overline{\mathrm{٢٢}},\mathrm{٠}$

١٠٠(س) = ١٠٠(٢٢,٠)

١٠٠س = ٢٢,٢٢

- س = ٢٢,٠

٩٩س = ٢٢

س = $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٩٩}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$ لذا فهو عدد نسبي.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

اكتب كل كسر اعتيادي أو عدد كسري مما يأتي على صورة كسر عشري:

١٤) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٢}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٢}$ = $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١١}}$ تعني ٦ ÷ ١١

$$\begin{gathered} \mathrm{١١} \mathrm{٥},\mathrm{٤٥}\mathrm{٦٠} \\ \underline{ -\mathrm{٥٥}} \\ \mathrm{٥٠} \\ \underline{-\mathrm{٤٤}} \\ \mathrm{٦٠} \\ \underline{-\mathrm{٥٥}} \\ \mathrm{٥} \end{gathered}$$

الكسر العشري هو $\overline{\mathrm{٤٥}},\mathrm{٥}$

١٥) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$

تعني ٢ ÷ ٥

$$\begin{gathered} \mathrm{٥}\mathrm{٠},\mathrm{٤}\mathrm{٢٠} \\ \underline{-\mathrm{٢٠}} \\ \mathrm{٠٠} \end{gathered}$$

الكسر العشري هو ٠,٤

١٦) $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨٠}}$

تعني ٧ ÷ ٨٠

$$\begin{gathered} \mathrm{٨٠} \mathrm{٠},\mathrm{٠٨٧٥}\mathrm{٧٠٠} \\ \underline{ -\mathrm{٦٤٠}} \\ \mathrm{٦٠٠} \\ \underline{-\mathrm{٥٦٠}} \\ \mathrm{٤٠٠} \\ \underline{-\mathrm{٤٠٠}} \\ \mathrm{٠٠٠} \end{gathered}$$

الكسر العشري هو ٠,٠٨٧٥

١٧) $\frac{\mathrm{٣٣}}{\mathrm{٤٠}}$

تعني ٣٣ ÷ ٤٠

$$\begin{gathered} \mathrm{٤٠}\mathrm{٠},\mathrm{٨٢٥}\mathrm{٣٣٠} \\ \underline{ -\mathrm{٣٢٠}} \\ \mathrm{١٠٠} \\ \underline{ -\mathrm{٨٠}} \\ \mathrm{٢٠٠} \\ \underline{-\mathrm{٢٠٠}} \\ \mathrm{٠٠٠} \end{gathered}$$

الكسر العشري هو ٠,٨٢٥

١٨) $-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}$

تعني ٧ ÷ ١٦

$$\begin{gathered} \mathrm{١٦}\mathrm{٠},\mathrm{٤٣٧٥}\mathrm{٧٠} \\ \underline{-\mathrm{٦٤}} \\ \mathrm{٦٠} \\ \underline{ -\mathrm{٤٨}} \\ \mathrm{١٤٠} \\ -\underline{\mathrm{١١٢}} \\ \mathrm{٨} \end{gathered}$$

الكسر العشري هو ٠,٤٣٧٥

١٩) $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١١}}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٢} =\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٨}}$ تعني ١٧ ÷ ٨

$$\begin{gathered} \mathrm{٨}\mathrm{٠},\mathrm{١٢٥}\mathrm{١٠} \\ \underline{ -\mathrm{٨}} \\ \mathrm{٢٠} \\ \underline{-\mathrm{١٦}} \\ \mathrm{٤٠} \\ -\underline{\mathrm{٤٠}} \\ \mathrm{٠٠} \end{gathered}$$

الكسر العشري هو ٢,١٢٥

٢٠) $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣٣}}$

تعني ٤ ÷ ٣٣

$$\begin{gathered} \mathrm{٣٣}\mathrm{٠},\mathrm{١٢}\mathrm{٤٠} \\ \underline{-\mathrm{٣٣}} \\ \mathrm{٧٠} \\ -\underline{\mathrm{٦٦}} \\ \mathrm{٤} \end{gathered}$$

الكسر العشري هو ٠,١٢

٢١) $-\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٤٥}}\mathrm{٧}$

تعني ٨ ÷ ٤٥

$$\begin{gathered} \mathrm{٤٥}\mathrm{٠},\mathrm{١٧}\mathrm{٨٠} \\ \underline{-\mathrm{٤٥}} \\ \mathrm{٣٥٠} \\ -\underline{\mathrm{٣١٥}} \\ \mathrm{٣٥٠} \end{gathered}$$

الكسر العشري ٧,١٧

مدارس: للأسئلة ٢٢ - ٢٥، استعمل الجدول المجاور حول طلاب إحدى المدارس.

٢٢) اكتب الكسر العشري الذي يمثل نسبة الطلاب الذين ليس لهم إخوة.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٥}}$ تعني ١ ÷ ١٥

$$\begin{gathered} \mathrm{١٥}\mathrm{٠},\mathrm{٠٦٦}\mathrm{١٠٠} \\ \underline{ -\mathrm{٩٠}} \\ \mathrm{١٠٠} \\ \underline{-\mathrm{٩٠}} \\ \mathrm{١٠} \end{gathered}$$

الكسر العشري لعدد الطلاب هو $\overline{\mathrm{٦}}\mathrm{٠}.\mathrm{٠}$

٢٣) اكتب الكسر العشري الذي يمثل نسبة الطلاب الذين لهم ثلاثة إخوة.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ تعني ١ ÷ ١٦

$$\begin{gathered} \mathrm{٦}\mathrm{٠},\mathrm{١٦٦}\mathrm{١٠} \\ \underline{ -\mathrm{٦}} \\ \mathrm{٤٠} \\ \underline{ -\mathrm{٣٦}} \\ \mathrm{٤٠} \\ \underline{-\mathrm{٣٦}} \\ \mathrm{٤} \end{gathered}$$

الكسر العشري لعدد الطلاب هو $\overline{\mathrm{٦}}\mathrm{١}.\mathrm{٠}$

٢٤) اكتب الكسر العشري الذي يمثل نسبة الطلاب الذين لديهم أخ واحد مقرباً إلى أقرب جزء من ألف.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ تعني ١ ÷ ٣

$$\begin{gathered} \mathrm{٣}\mathrm{٠},\mathrm{٣٣}\mathrm{١٠} \\ \underline{ -\mathrm{٩}} \\ \mathrm{١٠} \\ \underline{-\mathrm{٩}} \\ \mathrm{١} \end{gathered}$$

الكسر العشري لعدد الطلاب هو $\overline{\mathrm{٣}}.\mathrm{٠}$

٢٥) اكتب الكسر العشري الذي يمثل نسبة الطلاب الذين لديهم إخوان مقرباً إلى أقرب جزء من ألف.

$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}$ تعني ٥ ÷ ١٢

$$\begin{gathered} \mathrm{١٢}\mathrm{٠},\mathrm{٤١٦}\mathrm{٥٠} \\ \underline{-\mathrm{٤٨}} \\ \mathrm{٢٠} \\ \underline{ -\mathrm{١٢}} \\ \mathrm{٨٠} \\ \underline{-\mathrm{٧٢}} \\ \mathrm{٨} \end{gathered}$$

الكسر العشري للطلاب هو $\overline{\mathrm{٦}}\mathrm{٤١},\mathrm{٠}$

اكتب كل كسر عشري فيما يأتي على صورة كسر اعتيادي أو عدد كسري في أبسط صورة:

٢٦) -٠,٤

-٠,٤ = $\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{١٠}}=\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$

٢٧) ٠,٥

٠,٥ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٢٨) ٥,٥٥

٥,٥٥ = $\frac{\mathrm{٥٥}}{\mathrm{١٠٠}}\mathrm{٥}=\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٢٠}}\mathrm{٥}$

٢٩) -٧,٣٢

-٧,٣٢ = $\frac{-\mathrm{٣٢}}{\mathrm{١٠٠}}\mathrm{٧}=\frac{-\mathrm{٨}}{\mathrm{٢٥}}\mathrm{٧}$

٣٠) $\overline{\mathrm{٢}},\mathrm{٠}$

$\overline{\mathrm{٢}},\mathrm{٠}$ = ١٠(س) = ١٠-٢٢,٠)

١٠س = -٢٢,٢

- س = ٢٢,٠

٩س = ٢

س = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$

٣١) $-\overline{\mathrm{٤٥}},\mathrm{٠}$

١٠٠(س) = ١٠٠(٤٥,٠)

١٠٠س = -٤٥,٤٥

- س = ٤٥,٠

٩٩س = -٤٥

س = $\frac{-\mathrm{٤٥}}{\mathrm{٩٩}}=\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{١١}}$

٣٢) $-\overline{\mathrm{٠٩}},\mathrm{٣}$

١٠٠(س) = ١٠٠(- ٠٩٠٩,٠)

١٠٠س = - ٩,٠٩٠٩

- س = -٠٩٠٩,٠

٩٩س = ٩

س = $\frac{-\mathrm{٩}}{\mathrm{٩٩}}\mathrm{٣}=\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{١١}}\mathrm{٣}$

٣٣) $\overline{\mathrm{٧}},\mathrm{٢}$

١٠(س) = ١٠(٧٧,٠)

١٠س = ٧٧,٧

- س = ٧٧,٠

٩س = ٧

س = $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٩}}\mathrm{٢}$

٣٤) إلكترونيات: ينتج مصنع لأجهزة الحاسوب رقائق دقيقة يصل سمكها إلى ٠,٠٠٠٨ سم، اكتب هذا العدد على صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة.

٠,٠٠٠٨ = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠٠٠٠}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢٥٠}}$

طقس: في الأسئلة من ٣٥ - ٣٧، اكتب كمية المطر المتساقطة في كل يوم من الأيام الآتية على صورة كسر اعتيادي أو عدد كسري في أبسط صورة:

٣٥) الجمعة

$\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠٠}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٢٥}}$

٣٦) السبت

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$

٣٧) الأحد

$\frac{\mathrm{٣٥}}{\mathrm{١٠٠٠}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢٠٠}}$

قياس: اكتب طول كل حشرة وردت في السؤالين ٣٨، ٣٩، على صورة كسر اعتيادي أو عدد كسري ثم كسر عشري.

٣٨)

طول الحشرة = ٢,٦سم

٢,٦ = $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$ سم

٣٩)

طول الحشرة = ٠,٨

$\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٠}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ سم

٤٠) المثلجات: يبين الجدول المجاور نتائج مسحية لنسبة من يفضل خمس من المذاقات الشائعة، ما الكسر العشري الذي يعبر عن نسبة الطلاب الذين يفضلون مذاق كل من الفانيلا، الشوكولاتة، الفراولة؟

عدد الطلاب الذين يفضلون الفانيليا = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$ = ٠,٣

عدد الطلاب الذين يفضلون الشوكولاتة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١١}}=\overline{\mathrm{٠٩}},\mathrm{٠}$

عدد الطلاب الذين يفضلون الفراولة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٨}}=\overline{\mathrm{٥}}\mathrm{٠},\mathrm{٠}$

٤١) مسألة مفتوحة: أعط مثالاً لكسر عشري دوري يتكرر فيه رقمان، ووضح لماذا يعتبر عدداً نسبياً؟

مثال لكسر عشري دوري هو $\overline{\mathrm{٢٢}},\mathrm{٠}$

١٠٠(س) = ١٠٠(٢٢,٠)

١٠٠س = ٢٢,٢٢

- س = ٢٢,٠

٩٩س = ٢٢

س = $\frac{\mathrm{٢٢}}{\mathrm{٩٩}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$ لذا فهو عدد نسبي.

٤٢) اكتشف المختلف: عين الكسر الذي لا ينتمي إلى الكسور الثلاثة الأخرى، ووضح إجابتك.

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}=$ ٠,١٢٥

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ = ٠,٢٥

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ = $\overline{\mathrm{٦}}\mathrm{١}.\mathrm{٠}$

$\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ = ٠,٨

إذاً الكسر $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$ هو الكسر المختلف لأنه لا يمكن كتابته على شكل كسر عشري منتهي.

٤٣) تحد: فسر لماذا يكون أي عدد نسبي كسراً عشرياً منتهياً أو دورياً.

لأنه عند إجراء عملية القسمة من المحتمل أن تنتهي القسمة بصفر وبالتالي يكون الناتج كسر عشري منتهي، وربما يكون القسمة لا تنتهي بصفر ولكن تتكرر أرقام الكسر العشري فيسمي كسر عشري دوري.

٤٤) اكتب: قارن بين كل زوج من الأعداد الآتية ٠,١، $\overline{\mathrm{١}},\mathrm{٠}$ و ٠,١٣، $\overline{\mathrm{١٣} },\mathrm{٠}$ و ٠,١٥٧، $\overline{ \mathrm{١٥٧}},\mathrm{٠}$ عند كتابتها على صورة كور اعتيادية، ثم اعمل تخميناً حول عن الكسور العشرية الدورية بكسور اعتيادية.

الكسور العشرية الأولى تعد كسور عشرية منتهية أي لا يوجد لها باقي عند قسمتها أما الكسور التالية فهي كسور دورية عند كتابتها على صورة كسر اعتيادي يكون هناك باقي يكتب على صورة بسط ومقام.

٤٥) أي الكسور العشرية الآتية تكافئ $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٥}}$؟

أ) ٢,٤

ب) ٢,٤٥

جـ) ٢,٥٥

د) ٢,٦

٤٦) إجابة قصيرة: أكملت مها حل ٠,٨ من واجباتها المدرسية، اكتب هذا الكسر العشري على صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة.

٢,٦ = $\frac{\mathrm{١٣}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$

٤٧) يرغب سعود في شراء قرص (CD) ثمنه ٨٩,٩٩ ريالاً، وتشير اللوحة الإعلانية في المتجر إلى وجود تخفيض قيمته $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$ ثمن القرص، أي العبارات التالية يمكن استعمالها لتقدير قيمة التخفيض؟

أ) ٠,٠٣٣ × ٩٠ ريالاً

ب) ٠,٣٣ × ٩٠ ريالاً

جـ) ١,٣ × ٩٠ ريالاً

د) ٣٣,٣ × ٩٠ ريالاً