قام سمير وأنس بإيجاد ضرب$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$ في $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}$ كما يأتي، فأيهما على صواب؟ وضح ذلك.

إجابة أنس هي الصحيحة؛ لأن في ضرب الأعداد الكسرية نكتبه على صورة بسط ومقام ونضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

أوجد ناتج الضرب في أبسط صورة:

١١) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٧}}$

١٢) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}$

$\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٦}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤٨}}$

١٣) $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

$\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

١٤) $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

١٥) $-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

$-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

١٦) ($-\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢٥}}$) × $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٣٢}}$

($-\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢٥}}$) × $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٣٢}}$ = $\frac{-\mathrm{٩}}{\mathrm{٤٠}}$

١٧) ($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$) × ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$)

($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$) × ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

١٨) ($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}$) × ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٠}}$)

($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}$) × ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢٠}}$) = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣٥}}$

١٩) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٣}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٣}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$

٢٠) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٣}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٣}$ = $\frac{\mathrm{١٧}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١٧٠}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{٨٥}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١٤}$

٢١) ($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٣}$) × ($-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)

($-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٣}$) × ($-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$) = $\frac{-\mathrm{٢٧}}{\mathrm{٨}}\times \frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$

٢٢) ($-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$) × ($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١}$)

($-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$) × ($-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١}$) = $\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\times \frac{-\mathrm{٩}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$

٢٣) طعام: إذا كان الكيس الواحد من الفول الأخضر يحتوي على ٣ أجزاء ونصف، وكل جزء يعادل $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ كوب، فما عدد الأكواب في الكيس الواحد؟

عدد الأكواب = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١}$ كوب.

٢٤) قياس: مع ريان صورة للمسجد الحرام، قياساتها $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣}$ أقدام في ٥ أقدام, إذا أراد تصغيرها إلى $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ أبعادها الأصلية، فما أبعاد الصورة الجديدة؟

طول الصورة قبل التصغير = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٣} \times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}} = \frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$ قدم.

عرض الصورة بعد التصغير = ٥ × $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٣}$ قدم.

حل كل مسألة مما يأتي، واستعمل تحليل وحدات القياس في التحقق من معقولية الإجابة:

٢٥) كعك: تحتاج وصفة لصناعة الكعك إلى $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ كوب من السكر لصناعة الكعكة الواحدة، ما عدد أكواب السكر اللازمة لصناعة ست كعكات؟

عدد أكواب السكر = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ كوب × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١} \mathrm{كعكة} }$× ٦ كعكات = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}$

عدد الأكواب اللازمة لعمل ٦ كعكات = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٤}$ كوب

٢٦) سكان: تقاس الكثافة السكانية بعدد الأفراد الذين يعيشون في مدينة الرياض ٥٤٠٠ نسمة لكل كيلو متر مربع، فما عدد الأفراد الذين يعيشون في $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$ كيلو متر مربع؟

عدد الأفراد = $\frac{\mathrm{٥٤٠٠} ن}{\mathrm{١} {\mathrm{كلم}}^{\mathrm{٢}}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$ كلم مربع = $\frac{\mathrm{٥٤٠٠} ن}{\mathrm{١} {\mathrm{كلم}}^{\mathrm{٢}}}\times \frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}$ كلم مربع = ١٢١٥٠ نسمة.

جبر: إذا كانت س = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$، ص = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$، ع = $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٩}}$، ل = $-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ فأوجد قيم العبارات الآتية:

٢٧) س ص

$-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ × $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$ = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}$

٢٨) س ع

$-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ × $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٩}}$ = $-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$

٢٩) ص ع ل

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$ × $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٩}}$ × $\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ = $-\frac{\mathrm{٣٢}}{\mathrm{١٣٥}}$

٣٠) س ع ل

$-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$ × $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٩}}$ × $\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٢٧}}$

أوجد ناتج الضرب في أبسط صورة:

٣١) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\times (-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}) \times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\times (-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}) \times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}$

٣٢) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢٠}}$

٣٣) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٧}}\mathrm{٢}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}\mathrm{١}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$

$\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٧}}\mathrm{٢}\times \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}\mathrm{١}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}$ = $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٧}}\times \frac{\mathrm{١٤}}{\mathrm{٩}}\times \frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{١٢٨}}{\mathrm{١٥}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٥}}\mathrm{٨}$

٣٤) ١٠ × ٣,٧٨ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$

١٠ × ٣,٧٨ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}$ = $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{١}}\times \frac{\mathrm{٣٧٨}}{\mathrm{١٠٠}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٣٧٨}}{\mathrm{٥٠}}=\frac{\mathrm{١٤}}{\mathrm{٢٥}}\mathrm{٧}$

٣٥) $-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$× ٠,٣

$-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$× ٠,٣ = $-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$ = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٥}}$

٣٦) $-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}$ × (-٢,٣٧٥)

$-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}$ × (-٢,٣٧٥) = $-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}$ × $\frac{\mathrm{٢٣٧٥}}{\mathrm{١٠٠٠}}=\frac{\mathrm{٦٦٥}}{\mathrm{٦٤٠}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢٨}}\mathrm{١}$

جغرافيا: استعمل الجدول الآتي في حل الأسئلة ٣٧ - ٣٩، وقرب الإجابات إلى أقرب عدد صحيح، علماً بأن مساحة اليابسة في القارات السبع هي ١٤٨ مليون كيلو متر مربع.

٣٧) ما المساحة التقريبية للقارة أوروبا؟

مساحة قارة أوروبا = $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠٠}}$ × ١٤٨ م كم = $\frac{\mathrm{٢٥٩}}{\mathrm{٢٥}}$≈ ١٠

٣٨) ما المساحة التقريبية لقارة آسيا؟

مساحة قارة آسيا = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$ × ١٤٨ = $\frac{\mathrm{٢٢٥}}{\mathrm{٥}}$ = ٤٤ مليون كيلو متر مربع تقريباً.

٣٩) إذا علمت أن $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$ مساحة قارة أستراليا أرض زراعية، فما مساحة هذا الجزء؟

• مساحة قارة أستراليا = $\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{٢٠٠}}$ × ١٤٨ = $\frac{\mathrm{٤٠٧}}{\mathrm{٥٠} }$ = ٨,١٤ مليون كيلو متر مربع.
• مساحة الأرض الزراعية = $\frac{\mathrm{٤٠٧}}{\mathrm{٥٠} }$ × $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}$ = $\frac{\mathrm{١٢٢١}}{\mathrm{٥٠٠}}$ = ٢,٤٤٢ = ٢,٥ مليون كيلو متر مربع تقريباً.

جبر: إذا كانت أ = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١}$، ب = $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٩}}\mathrm{٢}$، جـ = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}$، د = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٤}$، فأوجد قيم العبارات الآتية، واكتب الناتج في أبسط صورة:

٤٠) أ ب د^٢

= $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١} \times \frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٩}}\mathrm{٢} \times {\left(\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٤}\right)}^{\mathrm{٢}}$

٤١) ب^٢ جـ^٢

= ${\left(\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٩}}\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}} \times {\left(\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}\right)}^{\mathrm{٢}}$

= $\frac{\mathrm{٦٢٥}}{\mathrm{٨١}}\times \frac{\mathrm{٨١}}{\mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{٦٢٥}}{\mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٦}}\mathrm{٣٩}$

٤٢) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ أ^٢ د

$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$× ${\left(\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١}\right)}^{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٤}= \frac{\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٢٥}}\times \frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٦٢}}{\mathrm{٢٥}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٢٥}}\mathrm{٣}$

٤٣) -٣ أ جـ (- ب د)

= -٣ × $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١}\times \frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢}\times \frac{-\mathrm{٧}}{\mathrm{٩}}\mathrm{٢} \times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٤}$

= -٣ × $\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٥}}\times \frac{-\mathrm{٩}}{\mathrm{٤}}\times \frac{-\mathrm{٢٥}}{\mathrm{٩}}\times \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٤} =\frac{\mathrm{١٣٥}}{\mathrm{٤}}= \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١٠١}$

٤٤) بحث: استعمل الإنترنت أو أي مصدر آخر لإيجاد وصفة عمل الكعك، غير الوصفة؛ للحصول على $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ الكمية، ثم غيرها مرة أخرى للحصول على $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$ الكمية.

تحتاج وصفة لصناعة الكعك $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$ كوب دقيق لصناعة كعكة واحدة.

للحصول على $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ الكعكة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$ × $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٣}}$ كوب دقيق.

للحصول على $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$ الكعكة = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$ × $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١}$ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٢}}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٣٤}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}$ كوب دقيق.

٤٥) اكتشف الخطأ: قام سمير وأنس بإيجاد ضرب$\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$ في $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}$ كما يأتي، فأيهما على صواب؟ وضح ذلك.

إجابة أنس هي الصحيحة؛ لأن في ضرب الأعداد الكسرية نكتبه على صورة بسط ومقام ونضرب البسط في البسط والمقام في المقام.

٤٦) مسألة مفتوحة: اختر كسرين بحيث يكون ناتج ضربهما أكبر من ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$) وأصغر من (١)، واستعمل خط الأعداد لتبرير إجابتك.

الكسرين هما $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}،\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$

حاصل ضربهما = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\times \frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}=\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١٥}}$

٤٧) تحد: أوجد الكسر المجهول في العملية الآتية: $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$ × $\square$ = $\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٤}}$ .

الكسر المجهول هو: $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\times \frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٤}}$

٤٨) اكتب: وضح لماذا يكون ناتج ضرب الكسرين $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}$ أصغر من $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$.

حاصل ضرب الكسرين = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}} = \frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٦}}$

لأن: $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \mathrm{١} = \frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ و $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}$ < ١ و $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\times \frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}<\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٤٩) عند ضرب عدد كلي أكبر من واحد في كسر اعتيادي موجب أقل من واحد، فإن الناتج يكون دائماً:

أ) أكبر من العدد الكلي المضروب.

ب) يقع بين الكسر الاعتيادي، والعدد الكلي المضروبين.

جـ) أقل من الكسر الاعتيادي المضروب.

د) جميع ما ذكر.

٥٠) أوجد مساحة متوازي الأضلاع أدناه مستعملاً الصيغة (المساحة = طول القاعدة × الارتفاع):

أ) $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}$ سم^٢

ب) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢}$ سم^٢

جـ) $\frac{\mathbf{١٩}}{\mathbf{٢٠}}\mathbf{١}$ سم^٢

د) $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}$ سم^٢