أوجد طول القطعة المستقيمة الواصلة بين مركزي الدائرتين الصغيرتين.

أ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٦}$ وحدات.

ب) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٤}$ وحدات.

جـ) $\frac{\mathbf{١}}{\mathbf{٣}}\mathbf{٥}$ وحدات.

د) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$ وحدات.

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

احسب ناتج الجمع أو الطرح في أبسط صورة:

١١) $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٩}}+\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}$

= $\frac{-\mathrm{١} + \mathrm{٤}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

١٢) $\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}+\left(\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٧}}\right)$

= $\frac{-\mathrm{٣} -\mathrm{٢}}{\mathrm{٧}}=-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٧}}$

١٣) $\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}+\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}$

= $\frac{-\mathrm{٥} +\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}$

١٤) $\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٩}}+\left(\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}\right)$

= $\frac{\mathrm{٨} - \mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$

١٥) $\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

= $\frac{-\mathrm{٤} - \mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}=\frac{-\mathrm{٧}}{\mathrm{٥}}=-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١}$

١٦) $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{١٦}}-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}$

= $\frac{\mathrm{١٥} - \mathrm{٩}}{\mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٦}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$

١٧) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢}}-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}$

= $\frac{-\mathrm{١} -\mathrm{٧}}{\mathrm{١٢}}=\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{١٢}}=-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

١٨) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}-\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{٩}}$

= $\frac{\mathrm{٢} - \mathrm{٨}}{\mathrm{٩}}=\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٩}}=-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$

١٩) $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٣}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٧}$

= (٣ + ٧) + ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}$)

= ١٠ + $\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١١}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١١}$

٢٠) $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}\mathrm{٩}+\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٩}}\mathrm{٤}$

= (٩+ ٤) + ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}+\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٩}}$)

= ١٣ + $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٩}}=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٩}}\mathrm{١٤}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١٤}$

٢١) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٨}+(-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢})$

= (٧ - ٢) + ($\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٠}}-\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٠}}$)

= ٥ ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٠}}$) = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٥}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥}$

٢٢) $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{٨}+(-\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{٥})$

= (٨ - ٥) + ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}-\frac{\mathrm{١١}}{\mathrm{١٢}}$)

= ٣ + ($\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{١٢}}$) = $\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{٢}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$

٢٣) $-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١}-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٣}$

= (-١ -٣) + ($-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$)

= -٤ + ($-\frac{\mathrm{١٠}}{\mathrm{٦}}$) = $-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٥}=-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$

٢٤) $-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٧}$

= (-٣ -٧) + ($\frac{-\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$)

= -١٠ + ($\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٤}}$) = $-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١١}=-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{١١}$

٢٥) ٧ - $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥}$

= $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٦}-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥}$ = (٦ - ٥) + ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٥}}-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}$)

= ١ + $\left(\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}\right)=\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١}$

٢٦) ٩ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}\mathrm{٦}$

= $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٨}-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}\mathrm{٦}$ = (٨ - ٦) + ($\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٧}}-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$)

= ٢ + $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}=\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٧}}\mathrm{٢}$

٢٧) صيانة منزلية: اشترى رياض $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١٣}$ متراً من الخشب لعمل إطارات للنوافذ، إذا استعمل $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٧}$ أمتار من هذا الخشب للنوافذ الأمامية، فكم بقي للنوافذ الخلفية؟

ما بقي للنوافذ الخلفية = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١٣} -\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٧}$

= ($\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١٢}-\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٧}$) + ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$)

= ٥ + ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$) = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$ أمتار.

اكتب كل عبارة مما يأتي في أبسط صورة:

٢٨) $-\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٧}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٣} -\left(\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٢}\right)$

= (-٧ + ٣ - ٢) + ($\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}-\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$)

= - ٦ ($\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{٥}}$) = $\frac{-\mathrm{٣٠} - \mathrm{٦}}{\mathrm{٥}}=\frac{-\mathrm{٣٦}}{\mathrm{٥}}=-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٧}$

٢٩) $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٨} -(-\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٣}) +\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٦}$

= (-٨ + ٣ + ٦) + ($\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٨}}$

= ١ + $\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}=\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١}$

قياس: احسب محيط كل مستطيل مما يأتي:

٣٠)

محيط المستطيل = ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١٢} +\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٢٥}$)٢ = {(١٢ + ٢٥) + ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}+\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}$)} × ٢

= (٣٧ + $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٤}}$)× ٢ = ٣٨ × ٢ = ٧٦ سم.

٣١)

محيط المستطيل = ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}\mathrm{٦} +\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١٠}$)× ٢ = {(٦ + ١٠) + ($\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}}+\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{٨}}$)}

= (١٦ + $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٨}}$) × ٢ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٨}}\mathrm{١٧}$ × ٢ = ٣٥ م.

جبر: استعمل القيم المعطاة لحساب قيمة كل عبارة مما يأتي:

٣٢) أ - ب إذا كان: أ = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$، ب = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$.

أ - ب = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$ - ($\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$) = (٥ + ٢) + ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$)

= ٧ + $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}=\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٧}$

٣٣) س + ص إذا كان: س = $\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}$، ص = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢}}$.

س + ص = $\frac{-\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}$ + ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢}}$) = $\frac{-\mathrm{٦}}{\mathrm{١٢}}=-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$

٣٤) ن - م إذا كان: م = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$، ن = $-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$.

ن - م = $-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٢}$ - $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$ = (-٢ - ٥) + ($\frac{-\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}-\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}$)

= - ٧ + ($\frac{-\mathrm{٤}}{\mathrm{٣}}$) = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٨}$

٣٥) س - ص إذا كان: س = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$، ص = $-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$.

س - ص = $\frac{-\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}$ - ($-\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}$) = ٢.

٣٦) سباق تتابع: في سباق ٤ × ١٠٠ متر تتابع، يركض كل لاعب في الفريق ١٠٠ متر متتابعين، احسب الزمن الكلي للفريق.

الزمن الكلي = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١٢} + \frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١٥} +\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١٣} +\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٥}}\mathrm{١٤} = \frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥٦}$ ثانية.

٣٧) واجب منزلي: يبين الجدول المجاور الزمن الذي أمضاه فهد في حل الواجبات المنزلية الأسبوع الماضي، عبر عن الزمن الكلي في الأسبوع بدلالة الساعات والدقائق.

الزمن الكلي = $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٢}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٢}+\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$

= (٢ + ٢ + ١ + ٢ + ١) + ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}+\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}$)

= ٨ + ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{١٢}}+\frac{\mathrm{٦}}{\mathrm{١٢}}+\frac{\mathrm{٩}}{\mathrm{١٢}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{١٢}}+\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{١٢}}$)

= ٨ + $\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{١٢}}=\frac{\mathrm{٢٥}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{٨}=\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢}}\mathrm{١٠}$

بما أن $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{١٢}}$ × ٦٠ = ٥

الزمن الكلي = ١٠ ساعات و٥ دقائق.

٣٨ ) مسألة مفتوحة: اكتب مسألة طرح ناتجها $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$.

إذا كان أ = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}$ و ب = $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٩}}$ احسب أ - ب

أ - ب = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٩}}$ - $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٩}}$ = $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٩}}$

٣٩) اكتشف الخطأ: جمع كل من رامي وسامي $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٧}}$ و $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٧}}$ كما هو موضح أدناه، فأيهما إجابته صحيحة؟ وضح إجابتك.

إجابة سامي هي الصحيحة، لأن عند جمع الكسور ذات المقامات المتساوية نجمع البسط فقط.

٤٠) تحد: فسر كيف يمكنك استعمال الحساب الذهبي لإيجاد ناتج جمع ما يأتي، ثم أوجد: $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٣} +\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٤} +\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٢} +\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٢} +\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{١}+\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$

يمكن تجميع الكسور ذات المقامات المتساوية أولاً:

(٣ + ١) + ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}+\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}$) = ٤ + ١ = ٥

٤ + ($\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٥}}+\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$) = ٤ + ١ = ٥

(٢ + ٢) + ($\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}+\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}$) = ٤ + ١ = ٥

= ٥ + ٥ + ٥ = ١٥

٤١) اكتب: مسألة من واقع الحياة يمكن حلها بجمع أعداد كسرية أو طرحها، ثم حلها.

لدى هناء عدد كبير من الكتب قامت بوضعهم على رف خشبي طول الرف $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١٥}$ سم. وأخذت الكتب $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١١}$ سم، فكم سم متبقي من الرف؟

المتبقي = $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١٥}$ - $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٦}}\mathrm{١١}$ = $\frac{\mathrm{٤}}{\mathrm{٦}}\mathrm{٤}$.

٤٢) إذا كان طول حمد $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٨}} \mathrm{١٦٣}$سم، وطول أخته $\frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٨}} \mathrm{١٩٥}$سم، فكم سنتمتراً يزيد طول حمد على طول أخته؟

أ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٢}}\mathrm{٤}$ سم.

ب) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٤}$ سم.

جـ) $\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{٣}$ سم.

د) $\frac{\mathbf{١}}{\mathbf{٢}}\mathbf{٣}$ سم.

٤٣) أوجد طول القطعة المستقيمة الواصلة بين مركزي الدائرتين الصغيرتين.

أ) $\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٦}$ وحدات.

ب) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٤}$ وحدات.

جـ) $\frac{\mathbf{١}}{\mathbf{٣}}\mathbf{٥}$ وحدات.

د) $\frac{\mathrm{٢}}{\mathrm{٣}}\mathrm{٥}$ وحدات.