في المعين ABCD، إذا كان EB=9, AB=12, m$\angle$ ABD = 55°، فأوجد كلاً مما يأتي:

AE.

$\begin{array}{rl}& (\mathrm{AB}{)}^2=(\mathrm{EB}{)}^2+(\mathrm{AE}{)}^2\\ & (12{)}^2=(9{)}^2+(\mathrm{AE}{)}^2\\ & (\mathrm{AE}{)}^2=(12{)}^2-(9{)}^2\\ & \mathrm{AE}\approx 7.9\end{array}$

m$\angle$BDA.

بما أن AB=AD من خصائص المعين أن جميع أضلاع المعين متطابقة إذاً:

$\mathrm{\angle }\mathrm{BDA}=\mathrm{\angle }\mathrm{ABD}={55}^{\circ }$

CE.

$\begin{array}{rl}& (\mathrm{BC}{)}^2=(\mathrm{EB}{)}^2+(\mathrm{EC}{)}^2\\ & (12{)}^2=(9{)}^2+(\mathrm{EC}{)}^2\\ & (\mathrm{EC}{)}^2=(12{)}^2-(9{)}^2\\ & \mathrm{AE}\approx 7.9\end{array}$

m$\angle$ACB.

بما أن $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ABD}=55$ وبما أن قطرا المعين ينصف الزوايا إذاً $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{DBC}=55$ وحسب نظرية الزاويتان المتحالفتان.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}=180-(55+55)\\ & \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}=70\\ & \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=\frac{70}{2}={35}^{\circ }\end{array}$

مراجعة درس المعين والمربع

جبر: في المعين ABCD، إذا كان EB=9, AB=12, m$\angle$ABD = 55°، فأوجد كلاً مما يأتي:

33) AE.

$\begin{array}{rl}& (\mathrm{AB}{)}^2=(\mathrm{EB}{)}^2+(\mathrm{AE}{)}^2\\ & (12{)}^2=(9{)}^2+(\mathrm{AE}{)}^2\\ & (\mathrm{AE}{)}^2=(12{)}^2-(9{)}^2\\ & \mathrm{AE}\approx 7.9\end{array}$

34) m$\angle$BDA.

بما أن AB=AD من خصائص المعين أن جميع أضلاع المعين متطابقة إذاً:

$\mathrm{\angle }\mathrm{BDA}=\mathrm{\angle }\mathrm{ABD}={55}^{\circ }$

35) CE.

$\begin{array}{rl}& (\mathrm{BC}{)}^2=(\mathrm{EB}{)}^2+(\mathrm{EC}{)}^2\\ & (12{)}^2=(9{)}^2+(\mathrm{EC}{)}^2\\ & (\mathrm{EC}{)}^2=(12{)}^2-(9{)}^2\\ & \mathrm{AE}\approx 7.9\end{array}$

36) m$\angle$ACB.

بما أن $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ABD}=55$ وبما أن قطرا المعين ينصف الزوايا إذاً $\mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{DBC}=55$ وحسب نظرية الزاويتان المتحالفتان.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}=180-(55+55)\\ & \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{BCD}=70\\ & \mathrm{m}\mathrm{\angle }\mathrm{ACB}=\frac{70}{2}={35}^{\circ }\end{array}$

37) شعار: تتخذ شركة سيارات الشكل المجاور علامة تجارية لها، إذا كان شكل العلامة التجارية معيناً، فما طول $\overline{FJ}$؟

من خصائص المعين أن جميع أضلاعه متطابقة.

FG=FJ=2.5cm

هندسة إحداثية: حدّد ما إذا كان QRST$▱$ المعطاة إحداثيات رؤوسه في كل مما يأتي معيناً أو مستطيلاً أو مربعاً، اكتب جميع التسميات التي تنطبق عليه، ووضِّح إجابتك.

38) Q(12,0), R(6,-6), S(0,0), T(6,6)

أولاً:

استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي القطرين.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{QS}=\sqrt{(12-0{)}^2+(0-0{)}^2}=12\\ & \mathrm{RT}=\sqrt{(6-6{)}^2+(-6-6{)}^2}=12\end{array}$

بما أن القطران RT,QS متساويان إذاً هما متطابقان إذاً الشكل مستطيل.

ثانياً:

استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطران متعامدان.

ميل $\frac{0}{12}=\frac{0-0}{12-0}=\overline{\mathrm{QS}}$

ميل $\frac{-12}{0}=\frac{-6-6}{6-6}=\overline{RT}$

بما أن حاصل ضرب الميلين=1- فإن القطرين متعامدان لذا QRST معين.

إذاً الشكل مستطيل معين ومربع، لأن الضلعين المتقابلين متطابقين ومتعامدين.

39) Q(-2,4), R(5,6), S(12,4), T(5,2)

أولاً:

استعمل صيغة المسافة بين نقطتين للمقارنة بين طولي قطرين.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{QS}=\sqrt{(-2-12{)}^2+(4-4{)}^2}=14\\ & \mathrm{RT}=\sqrt{(5-5{)}^2+(6-2{)}^2}=4\end{array}$

بما أن القطران RT,QS غير مستطيل إذاً الشكل ليس مستطيل.

ثانياً:

استعمل صيغة الميل لتحديد ما إذا كان القطران متعامدان.

ميل $\frac{-14}{0}=\frac{-2-12}{4-4}=\overline{\mathrm{QS}}$

ميل $\frac{0}{4}=\frac{5-5}{6-2}=\overline{RT}$

بما أن حاصل ضرب الميلين لا يساوي -1 فإن القطران ليسا متعامدان لذا فإن QRST ليس معين.