إذا كان معامل التشابه بين مستطيلين متشابهين 1:2، ومحيط المستطيل الكبير 80m، فأوجد محيط المستطيل الصغير.

40m.

تدرب وحل المسائل

اكتب جميع الزوايا المتطابقة، ثم اكتب تناسباً يربط الأضلاع المتناظرة للمضلعين في كلّ ممَّا يأتي:

8) ABDF $~$ VXZT

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }V,\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }X,\\ & \mathrm{\angle }D\cong \mathrm{\angle }Z,\mathrm{\angle }F\cong \mathrm{\angle }T;\\ & \frac{AB}{VX}=\frac{BD}{XZ}=\frac{DF}{ZT}=\frac{FA}{TV}\end{array}$

9) $\mathrm{△}DFG~\mathrm{△}KMJ$

$\begin{array}{r}\mathrm{\angle }D\cong \mathrm{\angle }K,\mathrm{\angle }F\cong \mathrm{\angle }M,\mathrm{\angle }G\cong \mathrm{\angle }J\\ \frac{DF}{KM}=\frac{FG}{MJ}=\frac{GD}{JK}\end{array}$

10) حدد ما إذا كان المضلعان في كلّ ممَّا يأتي متشابهين أم لا، وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه، وإلا فوضح السبب.

نعم؛ لأن الأضلاع المتناظرة متناسبة.

$\begin{array}{c}\frac{LQ}{EG}=\frac{QR}{GH}=\frac{RP}{HD}=\frac{PL}{DE}\\ \frac{8}{12}=\frac{16}{24}=\frac{16}{24}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\end{array}$

كذلك الزوايا المتناظرة متطابقة.

$\mathrm{\angle }Q\cong \mathrm{\angle }G,\mathrm{\angle }L\cong E,\mathrm{\angle }P\cong \mathrm{\angle }D,\mathrm{\angle }R\cong \mathrm{\angle }H$

ومعامل التشابه= $\frac{2}{3}$

11)

لا: لأن $\frac{AD}{WM}\ne \frac{DK}{ML}$

في كل مما يأتي، إذا كان المضلعان متشابهين، فأوجد قيمة x.

12)

$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{QY}}=& \frac{CD}{\mathrm{YW}}\\ \frac{x+5}{15}& =\frac{4}{5}\\ 5x+25& =60\\ 5x& =35\\ x& =7\end{array}$

13)

$\begin{array}{rl}\frac{JW}{\mathrm{RW}}& =\frac{\mathrm{JC}}{\mathrm{RP}}\\ \frac{x+1}{8}& =\frac{3\mathrm{x}+1}{20}\\ 20x+20& =24x+8\\ 4x& =12\\ \mathrm{x}& =3\end{array}$

14) طول المستطيل ABCD يساوي 20m، وعرضه 8m، وطول المستطيل QRST المشابه له يساوي 40m، أوجد معامل تشابه المستطيل ABCD إلى المستطيل QRST، ومحيط كل منهما.

$\frac{1}{2}$، محيط ABCD يساوي 56m، ومحيط QRST يساوي 112m.

أوجد محيط المثلث المحدد في كلّ مما يأتي:

15) $\mathrm{△}DEF$، إذا كان $\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}DEF$.

$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}=\frac{5}{3}$

محيط $$\begin{gathered} 18=5+6+7=\mathrm{ABC} \\ \begin{array}{r}\frac{18}{\mathrm{x}}=\frac{5}{3}\\ 10.8=\frac{3\times 18}{5}=\mathrm{x}\end{array} \end{gathered}$$

16) $\mathrm{△}CBH$، إذا كان $\mathrm{△}CBH~\mathrm{△}FEH$.

$\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{FH}}=\frac{7}{10}$

محيط $27=10+6+11=\widehat{\mathrm{FEH}}$

$\begin{array}{r}\frac{x}{27}=\frac{7}{10}\\ 18.9=\frac{7\times 27}{10}=x\end{array}$

17) إذا كان معامل التشابه بين مستطيلين متشابهين 1:2، ومحيط المستطيل الكبير 80m، فأوجد محيط المستطيل الصغير.

40m.

18) إذا كان معامل التشابه بين مربعين متشابهين 3:2، ومحيط المربع الصغير 50ft، فأوجد محيط المربع الكبير.

75ft.

مثلثات متشابهة: في الشكل المجاور، المثلثات: AHB, AGC, AFD متشابهة وفيها: $\mathrm{\angle }AHB\cong \mathrm{\angle }AGC\cong \mathrm{\angle }AFD$.

أوجد الأضلاع التي تناظر الضلع المعطى أو الزوايا التي تطابق الزاوية المعطاة في كلّ من الأسئلة الآتية.

19) $\overline{AB}$

$\overline{AC},\overline{AD}$

20) $\overline{FD}$

$\overline{HB},\overline{GC}$

21) $\mathrm{\angle }ACG$

$\mathrm{\angle }ABH,\mathrm{\angle }ADF$

22) $\mathrm{\angle }A$

موجودة في المثلثات الثلاث.

أوجد قيمة كل متغير فيما يأتي:

23) $ABCD~QSRP$

بما أن: $ABCD~QSRP$

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}\mathrm{\angle }\mathrm{D}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{P}\\ \mathrm{x}+34=97\\ \mathrm{x}=63\end{array} \\ \begin{array}{r}\mathrm{\angle }\mathrm{R}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{C}\\ 3\mathrm{y}-13=83\\ 3\mathrm{y}=96\\ \mathrm{y}=32\end{array} \end{gathered}$$

24) $\mathrm{△}JKL~\mathrm{△}WYZ$

بما أن: $\mathrm{△}JKL~\mathrm{△}WYZ$

$\begin{array}{r}\mathrm{\angle }\mathrm{K}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{Y}\\ \mathrm{\angle }\mathrm{Y}=180-(44+71)={65}^c\\ \mathrm{y}=65\\ \mathrm{\angle }\mathrm{J}\cong \mathrm{\angle }\mathrm{W}\\ 4\mathrm{x}-13=71\\ 4\mathrm{x}=84\\ \mathrm{x}=21\end{array}$

25) عرض الشرائح: إذا كانت أبعاد صورة على شريحة 13inفي $9\frac{1}{4}in$، ومعامل تشابه صور الشريحة إلى الصور المعروضة بواسطة جهاز العرض 1:4؛ فما أبعاد الصورة المعروضة؟

52in في 37in.

هندسة إحداثية: حدد ما إذا كانا المستطيلان ABCD, WXYZ المعطاة إحداثيات رؤوسهما في السؤالين الآتيين متشابهين أم لا؟ وإذا كانا كذلك، فاكتب عبارة التشابه ومعامل التشابه؛ وضح إجابتك.

26) A(-1,5), B(7,5), C(7,-1), D(-1,-1); W(-2,10), X(14,10), Y(14,-2), Z(-2,-2)

$ABCD~WXYZ$ لأن:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }W,\mathrm{\angle }B\cong \mathrm{\angle }X,\\ & \mathrm{\angle }C\cong \mathrm{\angle }Y,\mathrm{\angle }D\cong \mathrm{\angle }Z,\\ & \frac{AB}{WX}=\frac{BC}{XY}=\frac{CD}{YZ}=\frac{DA}{ZW}=\frac{1}{2}\end{array}$

27) A(5,5), B(0,0), C(5,-5), D(10,0); W(1,6), X(-3 2), Y(2,-3), Z(6,1)

لا، لأن $\frac{BC}{XY}\ne \frac{AB}{WX}$

حدد ما إذا كان المضلعان في كلّ مما يأتي متشابهين دائماً أو أحياناً أو غير متشابهين أبداً؟ وضح إجابتك.

28) مثلثان منفرجا الزاوية.

أحياناً؛ إجابة ممكنة: إذا كانت الزوايا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة، فإن المثلثين المنفرجي الزاوية متشابهان.

29) شبه منحرف ومتوازي أضلاع.

لا يمكن أن يتشابها. إجابة ممكنة: كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متوازيان، في حين أن لشبه المنحرف ضلعين متوازيين فقط. لذا فالشكلان لا يمكن أن يكونا متشابهين أبداً؛ لأنه لا يمكن أن يكون لهما الشكل نفسه.

30) مثلثان قائما الزاوية.

أحياناً؛ إجابة ممكنة: إذا كانت الزوايا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة، فإن المثلثين القائمي الزاوية يكونان متشابهين.

31) مثلثان متطابقا الضلعين.

أحياناً، إجابة ممكنة: إذا كانت الزوايا المتناظرة متطابقة والأضلاع المتناظرة متناسبة، فإن المثلثين المتطابقي الضلعين يكونان متشابهين.

32) مثلث مختلف الأضلاع، ومثلث متطابق الضلعين.

لا يمكن أن يتشابها؛ إجابة ممكنة: بما أن المثلث المتطابق الضلعين له ضلعان متطابقان، والمثلث المختلف الأضلاع له ثلاثة أضلاع غير متطابقة، فإن النسب بين الأضلاع المتناظرة، لا يمكن أن تكون متساوية، لذا فالمثلث المتطابق الضلعين والمثلث المختلف الأضلاع لا يمكن أن يتشابها.

33) مثلثان متطابقا الأضلاع.

دائماً؛ إجابة ممكنة: المثلث المتطابق الأضلاع قياس كل زاوية فيه 60 لذلك فزوايا أي مثلث متطابق الأضلاع مطابقة لزوايا أيّ مثلث آخر متطابق الأضلاع، وبما أن أضلاع المثلث المتطابق الأضلاع تكون متطابقة دائماً، فإن النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة تكون متساوية دائماً؛ لذا فإن أي مثلثين متطابقي الأضلاع يكونان متشابهين دائماً.

34) برهان: اكتب برهاناً حراً للنظرية 6.1 (في حالة المثلثات).

• المعطيات: $\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}DEF,\frac{AB}{DE}=\frac{m}{n}$.
• المطلوب: إثبات أن $\frac{\mathrm{△}ABC\mathrm{محيط}}{\mathrm{△}DEF\mathrm{محيط} }=\frac{m}{n}$.

البرهان:

بما أن $\mathrm{△}ABC~\mathrm{△}DEF$،

فإن $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}$، إذاً:

$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{m}{n}$، وبالضرب التبادلي يكون $AB=DE\left(\frac{m}{n}\right)$

$AC=DF\left(\frac{m}{n}\right) و ,BC=EF\left(\frac{m}{n}\right)$، وبالتعويض يكون

$DE\left(\frac{m}{n}\right)+EF\left(\frac{m}{n}\right)+DF\left(\frac{m}{n}\right) \mathrm{يساوي} \mathrm{△}ABC$، أي يساوي

$\frac{m}{n}(DE+EF+DF)$، إذاً النسبية بين المحيطين تساوي:

$\frac{\frac{m}{n}(DE+EF+DF)}{DE+EF+DF}=\frac{m}{n}$.

35) تغيير الأبعاد: في الشكل المجاور، $\mathrm{△}FGH~\mathrm{△}XYZ$.

a) بيّن أن النسبة بين محيطي المثلثين هي النسبة نفسها بين أضلاعهما المتناظرة.

$\frac{a}{3a}=\frac{b}{3b}=\frac{c}{3c}=\frac{a+b+c}{3(a+b+c)}=\frac{1}{3}$

b) إذا أضيف لطول كل ضلع 6 وحدات، فهل المثلثان الجديدان متشابهان؟

لا؛ لم تعد الأضلاع متناسبة.

36) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستكتشف تشابه المربعات.

a) هندسياً: ارسم ثلاثة مربعات مختلفة الأبعاد، وسمّها ABCD, PQRS, WXYZ، وقس طول ضلع كل مربع وسجل الأطوال على المربعات.

b) جدولياً: احسب النسب بين أطوال الأضلاع المتناظرة لكل زوج مربعات فيما يأتي ودونها في جدول: BCD,PQRS;PQRS,WXYZ ;WXYZ,ABCD. هل كل مربعين من المربعات متشابهان؟

ABCD يشابه PQRS،PQRS يشابه WXYZ.

WXYZ يشابه ABCD.

c) لفظياً: ضع تخميناً حول تشابه جميع المربعات.

إجابة ممكنة: جميع المربعات متشابهة.