أي الجذور التربيعية التالية يبين أفضل تمثيل للنقطة ن على خط الأعداد؟

أ) $\sqrt{\mathrm{١٤٠}}$

ب) $\sqrt{\mathrm{١٢١}}$

جـ) $\sqrt{\mathrm{١١٦}}$

د) $\sqrt{\mathbf{١٢٦}}$

حل أسئلة تدرب وحل المسائل

قدر كلاً مما يأتي إلى أقرب عدد كلي:

٨) $\sqrt{\mathrm{٤٤}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٤٤ هو ٣٦, $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦
• أصغر مربع كامل من ٤٤ هو ٤٩, $\sqrt{\mathrm{٤٩}}$ = ٧

٣٦ < ٤٤ < ٤٩

^٢٦ < ٤٤ < ^٢٧

$\sqrt{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٤٤}}<\sqrt{{\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}$

٦ < $\sqrt{\mathrm{٤٤}}$ < ٧

لذا $\sqrt{\mathrm{٤٤}}$ يقع بين ٦، ٧ وبما أن ٤٤ أقرب إلى ٤٩ منه إلى ٣٦؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٤٤}}$ بعدد كلي هو ٧,

٩) $\sqrt{\mathrm{٢٣}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٢٣ هو ٣٦, $\sqrt{\mathrm{١٦}}$ = ٤
• أصغر مربع كامل من ٢٣ هو ٢٥, $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

١٦ < ٢٣ < ٢٥

^٢٤ < ٢٣ < ^٢٥

$\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٢٣}}<\sqrt{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}$

٤ < $\sqrt{\mathrm{٢٣}}$ < ٥

لذا $\sqrt{\mathrm{٢٣}}$ يقع بين ٤، ٥ وبما أن ٢٣ أقرب إلى ٢٥ منه إلى ١٦؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٢٣}}$ بعدد كلي هو ٥,

١٠) $\sqrt{\mathrm{١٢٥}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ١٢٥ هو ١٢١, $\sqrt{\mathrm{١٢١}}$ = ١١
• أصغر مربع كامل من ١٢٥ هو ١٤٤, $\sqrt{\mathrm{١٤٤}}$ = ١٢

١٢١ < ١٢٥ < ١٤٤

^٢١١ < ١٢٥ < ^٢١٢

$\sqrt{{\mathrm{١١}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{١٢٥}}<\sqrt{{\mathrm{١٢}}^{\mathrm{٢}}}$

١١ < $\sqrt{\mathrm{١٢٥}}$ < ١٢

لذا $\sqrt{\mathrm{١٢٥}}$ يقع بين ١١، ١٢ وبما أن ١٢٥ أقرب إلى ١٢١ منه إلى ١٤٤؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١٢٥}}$ بعدد كلي هو ١١,

١١) $\sqrt{\mathrm{١٩٧}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ١٩٧ هو ١٩٦, $\sqrt{\mathrm{١٩٦}}$ = ١٤
• أصغر مربع كامل من ١٩٧ هو ٢٢٥, $\sqrt{\mathrm{٢٢٥}}$ = ١٥

١٩٦ < ١٩٧ < ٢٢٥

^٢١٤ < ١٩٧ < ^٢١٥

$\sqrt{{\mathrm{١٤}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{١٩٧}}<\sqrt{{\mathrm{١٥}}^{\mathrm{٢}}}$

١٤ < $\sqrt{\mathrm{١٩٧}}$ < ١٥

لذا $\sqrt{\mathrm{١٩٧}}$ يقع بين ١٤، ١٥ وبما أن ١٩٧ أقرب إلى ١٩٦ منه إلى ٢٢٥؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١٩٧}}$ بعدد كلي هو ١٤,

١٢) $\sqrt{\mathrm{٦},\mathrm{١٥}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ١٥,٦ هو ٩, $\sqrt{\mathrm{٩}}$ = ٣
• أصغر مربع كامل من ١٥,٦ هو ١٦, $\sqrt{\mathrm{١٦}}$ = ٤

٩ < ١٥,٦ < ١٦

^٢٩ < ١٥,٦ < ^٢٤

$\sqrt{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٦},\mathrm{١٥}}<\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}$

٣ < $\sqrt{\mathrm{٦},\mathrm{١٥}}$ < ٤

لذا $\sqrt{\mathrm{٦},\mathrm{١٥}}$ يقع بين ٣، ٤ وبما أن ١٥,٦ أقرب إلى ١٦ منه إلى ٩؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٦},\mathrm{١٥}}$ بعدد كلي هو ٤.

١٣) $\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٣}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٣٣,٥ هو ٢٥. $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥
• أصغر مربع كامل من ٣٣,٥ هو ٣٦. $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦

٥ < ٣٣,٥ < ٣٦

^٢٥ < ٣٣,٥ < ^٢٦

$\sqrt{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٣}}<\sqrt{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}}}$

٥ < $\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٣}}$ < ٦

لذا $\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٣}}$ يقع بين ٥، ٦ وبما أن ٣٣,٥ أقرب إلى ٣٦ منه إلى ٢٥؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٣}}$ بعدد كلي هو ٦,

١٤) $\sqrt{\mathrm{١},\mathrm{٨٥}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٨٥,١ هو ٨١، $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩
• أصغر مربع كامل من ٨٥,١ هو ١٠٠، $\sqrt{\mathrm{١٠٠}}$ = ١٠

٢٥ < ٨٥,١ < ١٠٠

^٢٩ < ٨٥,١ < ^٢١٠

$\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{١},\mathrm{٨٥}}<\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$

٩ < $\sqrt{\mathrm{١},\mathrm{٨٥}}$ < ١٠

لذا $\sqrt{\mathrm{١},\mathrm{٨٥}}$ يقع بين ٩، ١٠ وبما أن ٨٥,١ أقرب إلى ٨١ منه إلى ١٠٠؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١},\mathrm{٨٥}}$ بعدد كلي هو ٩.

١٥) $\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٨}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٣٨,٤ هو ٣٦. $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$ = ٦
• أصغر مربع كامل من ٣٨,٤ هو ٤٩. $\sqrt{\mathrm{٤٩}}$ = ٧

٣٦ < ٣٨,٤ < ٤٩

^٢٦ < $\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٨}}$ < ^٢٧

$\sqrt{{\mathrm{٦}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٨}}<\sqrt{{\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}$

٦ < $\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٨}}$ < ٧

لذا $\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٨}}$ يقع بين ٦، ٧ وبما أن ٣٨,٤ أقرب إلى ٣٦ منه إلى ٤٩؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٥},\mathrm{٣٨}}$ بعدد كلي هو ٦,

١٦) هندسة: نصف قطر الدائرة التي مساحتها م هو $\sqrt{\frac{م}{\mathrm{٣}}}$ تقريباً، إذا كانت مساحة قرص بيتزا تساوي ١٩٨,١٢ سم^٢ فقدر نصف قطر قرص البيتزا.

نصف القطر (نق) = $\sqrt{\frac{م}{\mathrm{٣}}}$ = $\sqrt{\frac{\mathrm{١٢} , \mathrm{١٩٨}}{\mathrm{٣}}}$

= $\sqrt{\mathrm{٠٤}, \mathrm{٦٦}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٦٦,٠٤ هو ٦٤, $\sqrt{\mathrm{٦٤}}$ = ٨
• أصغر مربع كامل من ٦٦,٠٤ هو ٨١, $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩

٦٤ < ٦٦,٠٤ < ٨١

^٢٨ < $\sqrt{\mathrm{٠٤},\mathrm{٦٦}}$ < ^٢٩

$\sqrt{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٠٤},\mathrm{٦٦}}<\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}$

٨ < $\sqrt{\mathrm{٠٤},\mathrm{٦٦}}$ < ٩

لذا $\sqrt{\mathrm{٠٤},\mathrm{٦٦}}$ يقع بين ٨، ٩ وبما أن ٦٦,٠٤ أقرب إلى ٦٤ منه إلى ٨١؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٠٤},\mathrm{٦٦}}$ بعدد كلي هو ٨.

قدر كلاً مما يأتي إلى أقرب عدد كلي:

١٧) $\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥}}$

$\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥}}$ = $\sqrt{\frac{\mathrm{٢٦}}{\mathrm{٥}}}$= $\sqrt{\mathrm{٢}.\mathrm{٥}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٥,٢ هو ٤, $\sqrt{\mathrm{٤}}$ = ٢
• أصغر مربع كامل من ٥,٢ هو ٩, $\sqrt{\mathrm{٩}}$ = ٣

٤ < ٥,٢ < ٩

^٢٢ < $\sqrt{\mathrm{٢},\mathrm{٥}}$ < ^٢٣

$\sqrt{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٢},\mathrm{٥}}<\sqrt{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}$

٢ < $\sqrt{\mathrm{٢},\mathrm{٥}}$ < ٣

لذا $\sqrt{\mathrm{٢},\mathrm{٥}}$ يقع بين ٢، ٣ وبما أن ٥,٢ أقرب إلى ٤ منه إلى ٩؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\frac{\mathrm{١}}{\mathrm{٥}}\mathrm{٥}}$ بعدد كلي هو ٢.

١٨) $\sqrt{\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢١}}$

$\sqrt{\frac{\mathrm{٧}}{\mathrm{١٠}}\mathrm{٢١}}$ = ٢١,٧

• أكبر مربع كامل أقل من ٢١,٧ هو ١٦. $\sqrt{\mathrm{١٦}}$ = ٤
• أصغر مربع كامل من ٢١,٧ هو ٢٥. $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

١٦ < ٢١,٧ < ٢٥

^٢٤ < $\sqrt{\mathrm{٧},\mathrm{٢١}}$ < ^٢٥

$\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٧},\mathrm{٢١}}<\sqrt{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}$

٤ < $\sqrt{\mathrm{٧},\mathrm{٢١}}$ < ٥

لذا $\sqrt{\mathrm{٧},\mathrm{٢١}}$ يقع بين ٤، ٥ وبما أن ٢١,٧ أقرب إلى ٢٥ منه إلى ١٦؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٧},\mathrm{٢١}}$ بعدد كلي هو ٥,

١٩) $\sqrt{\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١٧}}$

$\sqrt{\frac{\mathrm{٣}}{\mathrm{٤}}\mathrm{١٧}}$ = $\sqrt{\mathrm{٧٥},\mathrm{١٧}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ١٧,٧٥ هو ١٦, $\sqrt{\mathrm{١٦}}$ = ٤
• أصغر مربع كامل من ١٧,٧٥ هو ٢٥, $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$ = ٥

١٦ < ١٧,٧٥ < ٢٥

^٢٤ < $\sqrt{\mathrm{٧٥},\mathrm{١٧}}$ < ^٢٥

$\sqrt{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٧٥},\mathrm{١٧}}<\sqrt{{\mathrm{٥}}^{\mathrm{٢}}}$

٤ < $\sqrt{\mathrm{٧٥},\mathrm{١٧}}$ < ٥

لذا $\sqrt{\mathrm{٧٥},\mathrm{١٧}}$ يقع بين ٤، ٥ وبما أن ١٧,٧٥ أقرب إلى ١٦ منه إلى ٢٥؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٧٥},\mathrm{١٧}}$ بعدد كلي هو ٤,

رتب كلاً مما يأتي من الأصغر إلى الأكبر:

٢٠) ٧، ٩، $\sqrt{\mathrm{٥٠}}$، $\sqrt{\mathrm{٨٥}}$

$\sqrt{\mathrm{٤٩}}،\sqrt{\mathrm{٨١}}،\sqrt{\mathrm{٥٠}}،\sqrt{\mathrm{٨٥}}$

الترتيب: ٧، $\sqrt{\mathrm{٥٠}}$، ٩، $\sqrt{\mathrm{٨٥}}$

٢١) $\sqrt{\mathrm{٩١}}$، ٧، ٥، $\sqrt{\mathrm{٣٨}}$

$\sqrt{\mathrm{٩١}}$، $\sqrt{\mathrm{٤٩}}$، $\sqrt{\mathrm{٢٥}}$، $\sqrt{\mathrm{٣٨}}$

الترتيب: ٥، $\sqrt{\mathrm{٣٨}}$، ٧، $\sqrt{\mathrm{٩١}}$

٢٢) $\sqrt{\mathrm{٦٢}}$، ٦، $\sqrt{\mathrm{٣٤}}$، ٨

$\sqrt{\mathrm{٦٢}}$، $\sqrt{\mathrm{٣٦}}$، $\sqrt{\mathrm{٣٤}}$، $\sqrt{\mathrm{٦٤}}$

الترتيب: $\sqrt{\mathrm{٣٤}}$، ٦، $\sqrt{\mathrm{٦٢}}$، ٨.

جبر: قدر الحل لكل معادلة مما يأتي إلى أقرب عدد صحيح:

٢٣) ص^٢ = ٥٥

ص = $\pm \sqrt{\mathrm{٥٥}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٥٥ هو ٤٩. $\sqrt{\mathrm{٤٩}}$ = ٧
• أصغر مربع كامل من ٥٥ هو ٦٤. $\sqrt{\mathrm{٦٤}}$ = ٨

٤٩ < ٥٥ < ٦٤

^٢٧ < $\sqrt{\mathrm{٥٥}}$ < ^٢٨

$\sqrt{{\mathrm{٧}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٥٥}}<\sqrt{{\mathrm{٨}}^{\mathrm{٢}}}$

٧ < $\sqrt{\mathrm{٥٥}}$ < ٨

لذا $\sqrt{\mathrm{٥٥}}$ يقع بين ٧، ٨ وبما أن ٥٥ أقرب إلى ٤٩ منه إلى ٦٤؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٥٥}}$ بعدد كلي هو ٧ أو -٧

٢٤) ب^٢ = ٩٥

ب = $\pm \sqrt{\mathrm{٩٥}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٩٥ هو ٨١. $\sqrt{\mathrm{٨١}}$ = ٩
• أصغر مربع كامل من ٩٥ هو . $\sqrt{\mathrm{١٠٠}}$ = ١٠

٨١ < ٩٥ < ١٠٠

^٢٩ < $\sqrt{\mathrm{٩٥}}$ < ^٢١٠

$\sqrt{{\mathrm{٩}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٩٥}}<\sqrt{{\mathrm{١٠}}^{\mathrm{٢}}}$

٩ < $\sqrt{\mathrm{٩٥}}$ < ١٠

لذا $\sqrt{\mathrm{٩٥}}$ يقع بين ٩، ١٠ وبما أن ٩٥ أقرب إلى ١٠٠ منه إلى ٨١؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٩٥}}$ بعدد كلي هو ١٠ أو -١٠

٢٥) ل^٢ = ٦,٨

ل = $\pm \sqrt{\mathrm{٨},\mathrm{٦}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ٦,٨ هو ٤, $\sqrt{\mathrm{٤}}$ = ٢
• أصغر مربع كامل من ٦,٨ هو ٩, $\sqrt{\mathrm{٩}}$ = ٣

٤ < ٦,٨ < ٩

^٢٢ < $\sqrt{\mathrm{٨},\mathrm{٦}}$ < ^٢٣

$\sqrt{{\mathrm{٢}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{٨},\mathrm{٦}}<\sqrt{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٢}}}$

٢ < $\sqrt{\mathrm{٨},\mathrm{٦}}$ < ٣

لذا $\sqrt{\mathrm{٨},\mathrm{٦}}$ يقع بين ٢، ٣ وبما أن ٦,٨ أقرب إلى ٩ منه إلى ٤؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{٨},\mathrm{٦}}$ بعدد كلي هو ٣ أو -٣,

٢٦) زراعة: اشترى إبراهيم أكياس بذور الأعشاب المبينة في الشكل المجاور، قدر طول ضلع أكبر مربع من الأرض يمكن أن يزرعه إذا اشترى ٥ أكياس.

المساحة (م) = ٥ × ٢٠٥ م^٢

= ١٠٢٥ م^٢

م = مربع طول الضلع (ل)

ل = $\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$

• أكبر مربع كامل أقل من ١٠٢٥ هو ١٠٢٤ $\sqrt{\mathrm{١٠٢٤}}$ = ٣٢
• أصغر مربع كامل أكبر من ١٠٢٥ هو ١٠٩٨ $\sqrt{\mathrm{٠٩٨١}}$ = ٣٣

١٠٢٤ < ١٠٢٥ < ١٠٩٨

^٢٣٢ < $\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$ < ^٢٣٣

$\sqrt{{\mathrm{٣٢}}^{\mathrm{٢}}}<\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}<\sqrt{{\mathrm{٣٣}}^{\mathrm{٢}}}$

٣٢ < $\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$ < ٣٣

$\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$ يقع بين ٣٢، ٣٣ وبما أقرب إلى ١٠٢٤ منه إلى ١٠٩٨؛

فأفضل تقدير لـ $\sqrt{\mathrm{١٠٢٥}}$ بعدد كلي هو ٣٢

٢٧) الحس العددي: دون استعمال الآلة الحاسبة حدد أيهما أكبر $\sqrt{\mathrm{٩٤}}$ أو ١٠, فسر تبريرك.

^٢١٠ = ١٠٠

بما أن ١٠٠ > ٩٤ فإن ١٠ أكبر من $\sqrt{\mathrm{٩٤}}$

٢٨) مسألة مفتوحة: أوجد عددين يقع جذراهما التربيعيان بين ٧ و٨، بحيث يكون الجذر التربيعي لأحدهما من ٧، والجذر التربيعي للآخر قريباً من ٨، وبرر إجابتك.

العددان: أ، ب

٧ < $\sqrt{أ}$ < ٨

٧ < $\sqrt{ب}$ < ٨

٤٩ < ٥٠ < ٦٤

٤٩ < ٦٠ < ٦٤

$\sqrt{أ}$ = $\sqrt{\mathrm{٥٠}}$

$\sqrt{ب}$ = $\sqrt{\mathrm{٦٠}}$

العددان هما ٥٠، ٦٠

٢٩) تحد: إذا كان س^٣ = ص، فإن س هي الجذر التربيعي لـ ص، فسر كيف تقدر الجذر التكعيبي للعدد ٣٠، ثم أوجد قيمته إلى عدد كلي.

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$

• أكبر مكعب كامل أقل من ٣٠ هو ٢٧ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٢٧}}$ = ٣
• أصغر مكعب كامل أكبر من ٣٠ هو ٦٤ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٦٤}}$ = ٤

٢٧ < ٣٠ < ٦٤

^٣٣ < $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$ < ^٣٤

$\sqrt[\mathrm{٣}]{{\mathrm{٣}}^{\mathrm{٣}}}<\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}} <\sqrt[\mathrm{٣}]{{\mathrm{٤}}^{\mathrm{٣}}}$

٣ < $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$ < ٤

$\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$ يقع بين ٣، ٤ وبما ان أقرب إلى ٢٧ منه إلى ٦٤ فأفضل تقدير لـ $\sqrt[\mathrm{٣}]{\mathrm{٣٠}}$

٣٠) اكتب وضح كيف تمثل $\sqrt{\mathrm{٧٨}}$ على خط الأعداد.

٣١) إذا كان ناتج تربيع عدد كلي ما يقع بين ٩٥٠ و١٠٠٠، فبين أي عددين مما يلي يقع ذلك العدد؟

أ) ٢٦ و٢٨

ب) ٢٨ و٣٠

جـ) ٣٠ و٣٢

د) ٣٢ و٣٤

٣٢) أي الجذور التربيعية التالية يبين أفضل تمثيل للنقطة ن على خط الأعداد؟

أ) $\sqrt{\mathrm{١٤٠}}$

ب) $\sqrt{\mathrm{١٢١}}$

جـ) $\sqrt{\mathrm{١١٦}}$

د) $\sqrt{\mathbf{١٢٦}}$