اكتب برهاناً حراً لكل مما يأتي:

النتيجة 6.1

المعطيات:

$\overleftrightarrow{AD}\parallel \overleftrightarrow{BE}\parallel \overleftrightarrow{CF}$

المطلوب:

$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$

البرهان:

في $\overline{AD}\parallel \overline{BE}،\mathrm{△}GBE$، ومن نظرية التناسب في المثلث، يكون:

$\frac{GA}{GD}=\frac{AB}{DE}$ وفي $\overline{BE}\parallel \overline{CF},\mathrm{△}GCF$، ومن نظرية التناسب في المثلث، يكون:

$\frac{GB}{GE}=\frac{BC}{EF}$، ولأن $\mathrm{△}GAD~\mathrm{△}GBE$ وفق مسلمة التشابه AA فإن: $\frac{GA}{GD}=\frac{GB}{GE}$

وبالتعويض: $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$

أي أن: $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$

النتيجة 6.2

المعطيات:

$\overleftrightarrow{AD}\parallel \overleftrightarrow{BE}\parallel \overleftrightarrow{CF},\overline{AB}\cong \overline{BC}$

المطلوب:

$\overline{DE}\cong \overline{EF}$

البرهان:

من النتيجة6.1 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$ وبما أن $\overline{AB}\cong \overline{BC}$ فإن AB = BC بحس قانون التطابق

إذاً $\frac{AB}{BC}=1$ وبالتعويض $\frac{DE}{EF}=1$

لذلك DE=EF، ومن تعريف التطابق يكون $\overline{DE}\cong \overline{EF}$ .

النتيجة 6.5

المعطيات:

في $\overline{BD}\parallel \overline{AE}:\mathrm{△}ACE$

المطلوب:

$\frac{BA}{CB}=\frac{DE}{CD}$

البرهان:

$\mathrm{\angle }4\cong \mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }3\cong \mathrm{\angle }2$ لأنها زوايا متناظرة، ومن مسلمة التشابه AA يكون $\mathrm{△}ACE~\mathrm{△}BCD$.

ومن تعريف المضلعين المتشابهين يكون:

$\frac{CA}{CB}=\frac{CE}{CD}$، ومن مسلمة جمع القطع المستقيمة:

CA = BA + CB , CE = DE + CD

وبالتعويض $\frac{BA+CB}{CB}=\frac{DE+CD}{CD}$.

وبتوزيع البسط على المقام، يكون:

$\frac{BA}{CB}+\frac{CB}{CB}=\frac{DE}{CD}+\frac{CD}{CD}$

وبالتبسيط: $\frac{BA}{CB}+1=\frac{DE}{CD}+1$.

وبطرح 1 من الطرفين ينتج $\frac{BA}{CB}=\frac{DE}{CD}$

تدرب وحل المسائل

في ACD، إذا كان $\overline{CD}\parallel \overline{BE}$، فأجب عن السؤالين الآتيين:

10) إذا كان AB=6,BC=4,AE=9، فأوجد ED.

$\begin{array}{rl}\frac{AD}{AE}& =\frac{AC}{AB}\\ \frac{AD}{9}& =\frac{10}{6}\\ AD=90÷6& =15\\ ED=& 15-9=6\end{array}$

11) إذا كان AB=12,AC=16,ED=5، فأوجد AE.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AD}}\\ & \frac{12}{16}=\frac{\mathrm{AE}}{5+\mathrm{AE}}\end{array} \\ \begin{array}{c}16\mathrm{AE}=60+12A\mathrm{E}\\ 4\mathrm{AE}=60\\ \mathrm{AE}=15\end{array} \end{gathered}$$

حدد ما إذا كان $\overline{VY}\parallel \overline{ZW}$ أم لا، وبرر إجابتك في كلّ من السؤالين الآتيين:

12) ZX=18, ZV=6, WX=24, YX=16

نعم

$\frac{ZV}{VX}=\frac{WY}{YX}=\frac{1}{2}$

13) WX= 31, YX=21, ZX=4ZV

لا.

$\frac{ZV}{VX}\ne \frac{WY}{YX}$

في $\mathrm{△}KLM$، إذا كان $\overline{JH},\overline{JP},\overline{PH}$ قطعاً منصفة، فأوجد قيمة x في كلّ من السؤالين الآتيين:

14)

60

15)

1.35

16) خرائط: المسافة من مدخل الحديقة إلى طريق المشاة على امتداد الطريق المرصوف 880m، إذا كان طريق المشاة يوازي الطريق الترابي، فأوجد المسافة من مدخل الحديقة إلى طريق المشاة على امتداد منطقة الأشجار.

بفرض أن المسافة من مدخل الحديقة إلى طريق المشاة=x

$\begin{array}{rl}\frac{880}{1408}& =\frac{x}{1760}\\ x=\frac{1760\times 880}{1408}& =1100\mathrm{m}\end{array}$

جبر: أوجد قيمة x,y، في كل من السؤالين الآتيين:

17)

$\begin{array}{c}2x+6=20-5x\\ 2x+5x=20-6\\ 7x=14\\ x=2\\ y=\frac{3}{5}y+2\\ y-\frac{3}{5}y=2\\ \frac{2}{5}y=2\\ y=5\end{array}$

18)

$$\begin{gathered} \begin{array}{r}5y=\frac{7}{3}y+8\\ 5y-\frac{7}{3}y=8\\ \frac{8}{3}y=8\\ y=3\end{array} \\ \begin{array}{r}\frac{1}{3}x+2=\frac{2}{3}x-4\\ \frac{2}{3}x-\frac{1}{3}x=2+4\\ \frac{1}{3}x=6\\ x=8\end{array} \end{gathered}$$

برهان: اكتب برهاناً حراً لكل مما يأتي:

19) النتيجة 6.1

المعطيات:

$\overleftrightarrow{AD}\parallel \overleftrightarrow{BE}\parallel \overleftrightarrow{CF}$

المطلوب:

$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$

البرهان:

في $\overline{AD}\parallel \overline{BE}،\mathrm{△}GBE$، ومن نظرية التناسب في المثلث، يكون:

$\frac{GA}{GD}=\frac{AB}{DE}$ وفي $\overline{BE}\parallel \overline{CF},\mathrm{△}GCF$، ومن نظرية التناسب في المثلث، يكون:

$\frac{GB}{GE}=\frac{BC}{EF}$، ولأن $\mathrm{△}GAD~\mathrm{△}GBE$ وفق مسلمة التشابه AA فإن: $\frac{GA}{GD}=\frac{GB}{GE}$

وبالتعويض: $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}$

أي أن: $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$

20) النتيجة 6.2

المعطيات:

$\overleftrightarrow{AD}\parallel \overleftrightarrow{BE}\parallel \overleftrightarrow{CF},\overline{AB}\cong \overline{BC}$

المطلوب:

$\overline{DE}\cong \overline{EF}$

البرهان:

من النتيجة6.1 $\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$ وبما أن $\overline{AB}\cong \overline{BC}$ فإن AB = BC بحس قانون التطابق

إذاً $\frac{AB}{BC}=1$ وبالتعويض $\frac{DE}{EF}=1$

لذلك DE=EF، ومن تعريف التطابق يكون $\overline{DE}\cong \overline{EF}$ .

21) النتيجة 6.5

المعطيات:

في $\overline{BD}\parallel \overline{AE}:\mathrm{△}ACE$

المطلوب:

$\frac{BA}{CB}=\frac{DE}{CD}$

البرهان:

$\mathrm{\angle }4\cong \mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }3\cong \mathrm{\angle }2$ لأنها زوايا متناظرة، ومن مسلمة التشابه AA يكون $\mathrm{△}ACE~\mathrm{△}BCD$.

ومن تعريف المضلعين المتشابهين يكون:

$\frac{CA}{CB}=\frac{CE}{CD}$، ومن مسلمة جمع القطع المستقيمة:

CA = BA + CB , CE = DE + CD

وبالتعويض $\frac{BA+CB}{CB}=\frac{DE+CD}{CD}$.

وبتوزيع البسط على المقام، يكون:

$\frac{BA}{CB}+\frac{CB}{CB}=\frac{DE}{CD}+\frac{CD}{CD}$

وبالتبسيط: $\frac{BA}{CB}+1=\frac{DE}{CD}+1$.

وبطرح 1 من الطرفين ينتج $\frac{BA}{CB}=\frac{DE}{CD}$

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين للنظريتين الآتيتين:

22) النظرية 6.6

المعطيات:

قطع DE كلاً من ضلعي المثلث ABC وقسمها إلى قطع مستقيمة متناظرة أطوالها متناسبة، حيث $\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}$

المطلوب:

$\overline{DE}\parallel \overline{BC}$

البرهان:

23) النظرية 6.7

المعطيات:

D منتصف القطعة $\overline{AB}$، و E منتصف القطعة $\overline{AC}$

المطلوب:

$\overline{DE}\parallel \overline{BC},DE=\frac{1}{2}BC$

البرهان:

استعمل $\mathrm{△}QRS$ للإجابة عن السؤالين الآتيين:

24) إذا كان ST=8, TR=4, PT=6، فأوجد QR.

$\begin{array}{r}\frac{ST}{SR}=\frac{PT}{QR}\\ \frac{8}{8+4}=\frac{6}{QR}\\ QR=\frac{6\times 12}{8}\\ QR=9\end{array}$

25) إذا كان SP=4, PT=6, QR=12، فأوجد SQ.

$\begin{array}{rl}& \frac{PS}{QS}=\frac{ST}{SR}=\frac{PT}{QR}\\ & \frac{4}{QS}=\frac{6}{12}\\ & QS=\frac{4\times 12}{6}\\ & QS=8\end{array}$

26) إذا كان CE=t- 2 , EB = t +1 , CD = 2 , CA = 10، فأوجد قيمة كلّ من t , CE.

$$\begin{gathered} \mathrm{\angle }\mathrm{CDE}=\mathrm{\angle }\mathrm{CAB},\mathrm{\angle }\mathrm{CED}=\mathrm{\angle }\mathrm{CBA} \\ \mathrm{△}\mathrm{ECD}◻△\mathrm{BCA} \\ \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{CA}}=\frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{BA}} \\ \frac{\mathrm{t}-2}{\mathrm{t}-2+\mathrm{t}+1}=\frac{2}{10} \\ \begin{array}{rl}& 10\mathrm{t}-20=2\mathrm{t}-4+2\mathrm{t}+2\\ & 10\mathrm{t}-20=4\mathrm{t}-2\\ & 10\mathrm{t}-4\mathrm{t}=-2+20\\ & 6\mathrm{t}=18\\ & \mathrm{t}=3\\ & \mathrm{CE}=\mathrm{t}-2\\ & \mathrm{CE}=1\end{array} \end{gathered}$$

27) إذا كان LK = 4, MP = 3, PQ = 6, KJ =2 , RS = 6, LP = 2، فأوجد قيمة كلّ من ML, QR, QK, JH.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{MP}{PQ}=\frac{QR}{RS}=\frac{ML}{KL}=\frac{JK}{JH}\\ & \frac{3}{6}=\frac{QR}{6}=\frac{ML}{4}=\frac{2}{JH}\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \mathrm{QR}=\frac{6\times 3}{6}=3\\ & \mathrm{JH}=\frac{2\times 6}{3}=4\\ & \mathrm{ML}=\frac{3\times 4}{6}=2\end{array} \\ \begin{array}{rl}& \frac{QM}{PM}=\frac{MK}{ML}=\frac{QK}{PL}\\ & \frac{QM}{3}=\frac{4+2}{2}=\frac{QK}{2}\\ & QK=\frac{2\times 6}{2}=6\end{array} \end{gathered}$$

28) تاريخ الرياضيات: في القرن السادس عشر الميلادي، ابتكر جاليلو الفرجار لاستعماله في القياس كما في الشكل المجاور. ولرسم قطعة مستقيمة طولها يساوي خمسي طول قطعة معلومة، اجعل نهايتي ساقي الفرجار عند طرفي القطعة المعلومة، ثم ارسم قطعة مستقيمة بين علامتي 40 على ساقي الفرجار. بيّن أن طول $\overline{DE}$ ويساوي طول $\overline{BC}$.

$$\begin{gathered} \mathrm{△}\mathrm{ABC}◻\mathrm{△}\mathrm{ADE} \\ \begin{array}{r}\frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AB}}\\ \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}=\frac{40}{100}\\ \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{BC}}=\frac{2}{5}\\ \mathrm{DE}=\frac{2}{5}\mathrm{BC}\end{array} \end{gathered}$$

أوجد قيمة x بحيث يكون $\overline{\mathrm{BC}}\parallel \overline{\mathrm{DF}}$.

29) AB=x+5, BD=12, AC=3x+1, CF=15

$\begin{array}{rl}& \frac{AC}{CF}=\frac{AB}{BD}\\ & \frac{3x+1}{15}=\frac{x+5}{12}\\ & 15x+75=36x+12\\ & 36x-15x=75-12\\ & 21x=63\\ & x=3\end{array}$

30) AC=15, BD=3x-2, CF=3x+2, AB=12

$\begin{array}{rl}& \frac{AC}{CF}=\frac{AB}{BD}\\ & \frac{15}{3x+2}=\frac{12}{3x-2}\\ & 45x-30=36x+24\\ & 45x-36x=24+30\\ & 9x=54\\ & x=6\end{array}$

إنشاءات هندسية: أنشئ كل قطعة مستقيمة فيما يأتي وفق التعليمات التالية:

31) قطعة مستقيمة مقسمة إلى خمس قطع متطابقة.

32) قطعة مستقيمة مقسمة إلى قطعتين النسبة بين طولي هما 1 إلى 3.

33) قطعة مستقيمة طولها 11cm، ومقسمة إلى أربع قطع متطابقة.

34) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة ستستكشف تناسبات مرتبطة بمنصفات زوايا المثلث.

a) هندسياً: ارسم ثلاث مثلثات:

الأول حاد الزوايا، وسمّه ABC وارسم $\overrightarrow{BD}$ منصفاً ل $\angle B$، والثاني منفرج الزاوية وسمه MNP، وارسم $\overrightarrow{NQ}$، منصفاً ل $\angle N$، والثالث قائم الزاوية وسمه WXY، وارسم $\overrightarrow{XZ}$ منصفاً ل$\angle x$.

b) جدولياً: أكمل الجدول المجاور بالقيم المناسبة.

c) لفظياً: اكتب تخميناً حول القطعتين المستقيمتين اللتين ينقسم إليهما ضلع مثلث عند رسم منصف للزاوية المقابلة لذلك الضلع.

النسبة بين طولي القطعتين المستقيمتين اللتين ينقسم إليهما ضلع، مثلث عند رسم منصف للزاوية المقابلة لذلك الضلع، تساوي النسبة بين طولي الضلعين المجاورين للقطعتين على
الترتيب.