بين ما إذا كانت العلاقة بين كل كميتين في الجداول الآتية خطية أم لا، وإذا كانت خطية فأوجد المعدل الثابت للتغير، وإذا لم تكن كذلك فوضح السبب.

نلاحظ أنه بزيادة طول الضلع ١ سم يزداد الحجم بمقدار متغير فمثلاً: عندما يزداد طول الضلع من ٢ إلى ٣ سم يزداد الحجم بمقدار ١٩ سم^٢ $\leftarrow$ معدل التغير = $\frac{\mathrm{٢٧} - \mathrm{٨}}{\mathrm{٣} -\mathrm{٢}}$ = ١٩ سم^٢ /سم.

عندما يزداد طول الضلع من ٣ إلى ٤ سم يزداد الحجم بمقدار ٣٧ سم^٢ $\leftarrow$ معدل التغير = $\frac{\mathrm{٢٧} - \mathrm{٨}}{\mathrm{٣} -\mathrm{٢}}$ = ٣٧ سم^٢ /سم.

بما أن معدل التغير غير ثابت فالعلاقة ليست خطية.

كلما زاد عدد الغرف بمقدار ٥ غرف ازداد عدد علب الدهان اللازمة لطلاء الغرف بمقدار ٦ علب بما أن معدل التغير ثابت فالعلاقة بين عدد الهدايا وثمنها علاقة خطية، والمعدل الثابت للتغير هو: = ١,٢ علبة/غرفة.

وبما أن معدل التغير موجب فكلما زاد الغرف غرفة واحدة ازداد عدد علب الدهان اللازمة للطلاء بمقدار ١,٢ علبة.

حل أسئلة تأكد

بين ما إذا كانت العلاقة بين كل كميتين في الجداول الآتية خطية أم لا، وإذا كانت خطية فأوجد المعدل الثابت للتغير، وإذا لم تكن كذلك فوضح السبب.

١)

٢)

أوجد المعدل الثابت للتغير في كل شكل من الأشكال الآتية، وفسر معناه:

٣)

أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد الخط وأوجد معدل التغير بينهما:

• (٢، ١٥) $\leftarrow$ ٢سم على الخريطة تعادل ١٥ كلم في الحقيقة.
• (٦، ٤٥) $\leftarrow$ ٦ سم على الخريطة تعادل ٤٥ كلم في الحقيقة

المعدل الثابت للتغير = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{المسافة} \mathrm{احقيقية}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{المسافة} \mathrm{على} \mathrm{الخريطة}}=\frac{\mathrm{٤٥} - \mathrm{١٥} \mathrm{كلم}}{\mathrm{٦} - \mathrm{٢} \mathrm{سم}}=\frac{\mathrm{٣٠} \mathrm{كلم}}{\mathrm{٤}\mathrm{سم}}$ = ٧,٥ كلم/سم.

بما أن المعدل موجب أي: تزداد المسافة الحقيقية بمقدار ٧,٥ بزيادتها على الخريطة بمقدار ١سم كل ١ سم على الخريطة يعادل ٧,٥ كلم في الحقيقة.

٤)

أختار نقطتان تقعان على نفس الخط وأوجد معدل التغير بينهما:

• (١، ٨) $\leftarrow$ خلال ١ دقيقة يمتلئ خزان السيارة بمقدار ٨ جالون.
• (٤، ٢٠) $\leftarrow$ خلال ٤ دقيقة يمتلئ خزان السيارة بمقدار ٢٠ جالون.

المعدل الثابت للتغير = $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{مستوى} \mathrm{الامتلاء}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٢٠} - \mathrm{٨} \mathrm{جالون}}{\mathrm{٤} -\mathrm{١} \mathrm{دقيقة}}=\frac{\mathrm{١٢} \mathrm{جالون}}{\mathrm{٣} \mathrm{دقيقة}}$ = ٤ جالون / دقيقة.

بما أن المعدل موجب أي: يمتلئ خزان السيارة بمقدار ٣ جالون.

بين ما إذا كان هناك علاقة خطية متناسبة بين الكميتين المشار إليهما في السؤالين ٣، ٤، ووضح السبب:

٥) سؤال ٣

كلما زادت المسافة على الخريطة بمقدار ٢ سم تزداد المسافة الحقيقية بمقدار ١٥ كلم.

بما أن معدل التغير ثابت فالعلاقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو: $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{المسافة} \mathrm{الحقيقة} }{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{المسافة} \mathrm{على} \mathrm{الخريطة}}$ = ٧,٥ كلم/سم.

لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العلاقة المسافة الحقيقية والمسافة على الخريطة على شكل نسب:

$\frac{\mathrm{المسافة} \mathrm{الحقيقية}}{\mathrm{المسافة} \mathrm{على} \mathrm{الخريطة}}\leftarrow$ $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٣٠}}{\mathrm{٤}}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢}}،\frac{\mathrm{٤٥}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢}}$

بما أن جميع النسب السابقة يمكن تبسيطها إلى $\frac{\mathrm{١٥}}{\mathrm{٢}}$ فالمقياسان متناسبان وبالتالي فالعلاقة الخطية متناسبة.

٦) سؤال ٤

يمتلئ الخزان بمقدار ٤ جالون كل دقيقة بما أن معدل التغير ثابت فالعلاقة خطية والمعدل الثابت للتغير هو: $\frac{\mathrm{التغير} \mathrm{مستوى} \mathrm{الامتلاء}}{\mathrm{التغير} \mathrm{في} \mathrm{الزمن}}=\frac{\mathrm{٨} -\mathrm{٤}\left[\mathrm{جالون}\right]}{\mathrm{١} - \mathrm{٠} \left[\mathrm{دقيقة}\right]}$ = ٤ جالون/ دقيقة.

لمعرفة إذا كان المقياسان متناسبان: أعبر عن العلاقة بين مستوى الامتلاء والزمن على شكل نسب:

$\frac{\mathrm{مستوى} \mathrm{الامتلاء}}{\mathrm{الزمن}}\leftarrow$$\frac{\mathrm{٨}}{\mathrm{١}}$= ٨، $\frac{\mathrm{١٢}}{\mathrm{٢}}$ = ٦، $\frac{\mathrm{١٦}}{\mathrm{٣}}$ = ٥,٣، $\frac{\mathrm{٢٠}}{\mathrm{٤}}$ = ٥

بما أن أبسط صورة للنسب السابقة غير متساوية فالمقياسان غير متناسبان وبالتالي فالعلاقة الخطية غير متناسبة.