اكتب برهاناً حراً للنظرية 3.3.

المعطيات: يتقاطع المستقيمان l وm في النقطة P.

A نقطة لا تقع على أي من المستقيمين l و m.

المطلوب:

a) إذا أجري انعكاس للنقطة A حول المستقيم m، ثم أجري انعكس لصورتها حول المستقيم l،

فإن ''A تكون صورة A بدوران حول النقطة P.

b) m∠APA′′=2(m∠SPR)

البرهان:

نعلم أن المستقيمين l وm يتقاطعان في النقطة P. وأن النقطة A لا تقع على أي من المستقيمين l أو m. عين 'A صورة النقطة 4 بانعكاس حول المستقيم m وعين "A صورة 'A بانعكاس حول المستقيم l. ومن تعريف الانعكاس يكون المستقيم m العمود من المنصف للقطعة 'AA¯ عند النقطة R، ويكون المستقيم l العمود المنصف للقطعة "AA¯ عند النقطة S>

A′S¯≅A′′S¯,AR¯≅A′R¯ تعريف العمود المنصف، وبما أنه يوجد مستقيم واحد يمر بأي نقطتين فيمكن أن ترسم القطع المساعدة AP¯,A′P¯,A′′P¯ وإن الزوايا، ∠A′′SP,∠A′RP,∠A′SP, ∠ARP زوايا قائمة من تعريف العمود المنصف. وكذلك SP¯≅SP¯,RP¯≅RP¯ حسب خاصية الانعكاس. إذن، △A′SP≅△A′′SP,△ARP≅△A′RP حسب مسلمة التطابق SAS. ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة فإن AP¯≅A′P¯,A′P¯≅A′′P¯ ولذلك AP¯≅A′′P¯ حسب خاصية التعدي. ومن تعريف الدوران فإن "A هي صورة A بدوران مركزه P.

وكذلك ∠A′PS≅∠A′′PS,∠APR≅∠A′PR لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة. ومن تعريف التطابق يكون m∠APR=m∠A′PR,m∠A′PS=m∠A′′PS لكن m∠APA′′=m∠APR+m∠A′PR+m∠A′PS+m∠A′′PS و m∠A′PS+m∠A′PR=m∠SPR حسب مسلمة جمع الزوايا إذن، m∠A′PS+m∠A′PS+m∠A′PR+m∠A′PR=m∠APA′′ بالتعويض وهذا يعني أن m∠APA′′=2(m∠A′PR+m∠A′PS) بالتعويض ينتج أن m∠APA′′=2(m∠SPR)

تدرب وحل المسائل

مثّل بيانياً الشكل وصورته الناتجة عن التحويل المركب المحدد في كلّ ممَّا يأتي:

7) $△RST$ الذي إحداثيات رؤوسه: R(1,-4), S(6,-4), T(5,-1)، إزاحة مقدارها وحدتان إلى اليمين ثم انعكاس حول المحور x.

8) $△DFG$ الذي إحداثيات رؤوسه: D(2,8), F(1,2), G(4,6)، إزاحة مقدارها 3 وحدات إلى اليمين و3 وحدات إلى أعلى، ثم انعكاس حول المستقيم y=x.

مثّل بيانياً الشكل وصورته الناتجة عن التحويل المركب المحدد في كلّ ممَّا يأتي:

9) $\overline{WX}$، حيث W(-4,6), X(-4,1)، انعكاس حول المحور x ثم دوران بزاوية °90 حول نقطة الأصل.

10) $\overline{RS}$، حيث R(2,-1), S(6,-5) إزاحة مقدارها وحدتان إلى اليسار ووحدتان إلى أسفل، ثم انعكاس حول المحور y.

ارسم صورة الشكل D الناتجة عن انعكاس حول المستقيم m ثم حول المستقيم p ثم صف تحويلاً هندسياً واحداً ينقل D إلى ''D.

11)

إزاحة في اتجاه عمودي على المستقيم m,p إلى أسفل بمقدار 2.4 بوصة.

12)

دوران بزاوية ° 210 حول نقطة تقاطع المستقيمين m.p.

صف تحويلاً هندسياً مركباً يمكن استعماله لتكوين نمط الأقمشة في كلّ ممَّا يأتي:

13)

إزاحة ثم انعكاس.

14)

انعكاس ثم إزاحة.

15)

إزاحة ثم انعكاس.

16) زجاجات: رسم صالح على زلاجته نمطاً، ما التحويل الهندسي المركب الذي استعمله صالح لرسم هذا النمط؟

انعكاس ثم إزاحة.

جبر: مثل بيانياً صورة كلّ من الشكلين الآتيين الناتجة عن التحويل الهندسي المركب المحدد:

17) دوران بزاوية °90 حول نقطة الأصل انعكاس حول المحور x.

18) انعكاس حول المحور x، انعكاس حول المحور y.

19) أوجد إحداثيات رؤوس $\mathrm{△}{A}^{\prime \prime }{B}^{\prime \prime }{C}^{\prime \prime }$ الناتج عن انعكاس حول المحور x، ثم دوران بزاوية °180 حول نقطة الأصل للمثلث $\mathrm{△}ABC$ الذي إحداثيات رؤوسه هي: A(-3,1), B(-2,3), C(-1,0).

$A^{\prime \prime }(3,1),B^{\prime \prime }(2,3),C^{\prime \prime }(1,0)$

20) برهان: اكتب برهاناً حراً للحالة الآتية من نظرية 7.1 (تركيب تحويلات التطابق).

المعطيات: تنقل الإزاحة بمقدار a وحدة إلى اليمين وb وحدة إلى أعلى النقطة X إلى 'X والنقطة Y إلى 'Y، وينقل الانعكاس حول المستقيم z النقطة 'X إلى ''X والنقطة Y إلى ''Y.

المطلوب: $\overline{XY}\cong \overline{X^{\prime \prime }{Y}^{\prime \prime }}$.

البرهان:

تعلم أن الإزاحة بمقدار a وحدة إلى اليمين وb وحدة إلى أعلى، تنتقل X إلى 'X، وتنتقل Y إلى النقطة ''Y ومن تعريف الإزاحة نعلم أن النقطتين X وY تحركتا المسافة نفسها في الاتجاه نفسه، ولذلك فإن $\overline{XY}\cong \overline{X^{\prime \prime }{Y}^{\prime \prime }}$ كما نعلم أن الانعكاس حول المستقيم z ينقل X إلى 'X وينقل Y إلى ''Y وباستعمال تعريف الانعكاس فإن X و 'X على بعدين متساويين من المستقيم z وكذلك 'Y إلى ''Y على بعدين متساويين من المستقيم z إذاً ومن خاصية التعدي للتطابق ينتج أن $\overline{XY}\cong \overline{X^{\prime \prime }{Y}^{\prime \prime }}$.

21) حياكة: تحيك خولة منديلاً باستعمال النمط الظاهر في الشكل المجاور، صف تركيب التحويلات الهندسية الذي تستعمله خولة لإنشاء هذا النمط.

تركيب انعكاسين حول مستقيمين متوازيين.

آثار الأقدام: استعن بمعلومات الربط مع الحياة، وصف التحويل المركب من إزاحة وانعكاس الذي يمكن استعماله للتنبؤ بموقع أثر القدم اللاحق في كلّ من السؤالين الآتيين:

22) طائر الحبش.

إزاحة بمقدار 5.5in إلى اليمين، وانعكاس حول المستقيم الذي يفصل الآثار اليمنى عن اليسرى.

23) البطة.

إزاحة بمقدار 2.5in إلى اليمين، وانعكاس حول المستقيم الذي يفصل الآثار اليمنى عن اليسرى.

صف التحويل الهندسي المركب الذي ينقل الشكل الأزرق إلى البني في كلّ من السؤالين الآتيين:

24)

إجابة ممكنة: إزاحة وفق القاعدة: $(x,y)\to (x-1,y-6)$، وانعكاس حول المحور y.

25)

إجابة ممكنة: دوران بزاوية ° 180 حول نقطة الأصل وانعكاس حول المحور x.

26) اكتب برهاناً حراً للنظرية 3.2.

المعطيات: وينقل الانعكاس حول المستقيم p القطعة $\overline{BC}$ إلى $\overline{B\text{'}C\text{'}}$.

وينقل الانعكاس حول المستقيم p القطعة $\overline{B\text{'}C\text{'}}$ إلى $\overline{B\text{'}\text{'}C\text{'}\text{'}}$.

$p\parallel q,AD=x$

المطلوب:

a) $\overline{B{B}^{\prime \prime }}\perp p,\overline{B{B}^{\prime \prime }}\perp q$

b) $\overline{B{B}^{\prime \prime }}=2x$

العبارات (المبررات):

ينقل الانعكاس حول المستقيم p النقطة B إلى 'B؛ وينقل الانعكاس حول المستقيم q النقطة B إلى "B؛ وبما أن p || q؛ فإن $\overleftrightarrow{\text{'}BB}$ يعامد كلاً من المستقيمين p, q أي أن "B, B', B واقعة على استقامة واحدة، ومن تعريف الانعكاس نعلم أن A نقطة منتصف $\overline{\text{'}BB}$ و$\overline{\text{'}\text{'}B\text{'}B}$، إذن $\overline{BA}\cong \overline{A{B}^{\mathrm{\prime }}};\overline{B^{\mathrm{\prime }}D}\cong \overline{D{B}^{\prime \prime }}$ أي أن $BA=A{B}^{\mathrm{\prime }};B^{\mathrm{\prime }}D=D{B}^{\prime \prime }$ حسب تعريف التطابق، ولكن $B{B}^{\prime \prime }=BA+A{B}^{\mathrm{\prime }}+B^{\mathrm{\prime }}D+D{B}^{\prime \prime }$

حسب مسلمة جمع القطع المستقيمة، وبالتعويض:

$\begin{array}{rl}& B{B}^{\prime \prime }=A{B}^{\mathrm{\prime }}+A{B}^{\mathrm{\prime }}+B^{\mathrm{\prime }}D+B^{\mathrm{\prime }}D\\ & B{B}^{\prime \prime }=2A{B}^{\mathrm{\prime }}+2B^{\mathrm{\prime }}D\\ & B{B}^{\prime \prime }=2(A{B}^{\mathrm{\prime }}+B^{\mathrm{\prime }}D)\end{array}$

وبما أن $A{B}^{\mathrm{\prime }}+B^{\mathrm{\prime }}D=x$ فإن $B{B}^{\prime \prime }=2x$

27) اكتب برهاناً حراً للنظرية 3.3.

المعطيات: يتقاطع المستقيمان l وm في النقطة P.

A نقطة لا تقع على أي من المستقيمين l و m.

المطلوب:

a) إذا أجري انعكاس للنقطة A حول المستقيم m، ثم أجري انعكس لصورتها حول المستقيم l،

فإن ''A تكون صورة A بدوران حول النقطة P.

b) $m\mathrm{\angle }AP{A}^{\prime \prime }=2\left(m\mathrm{\angle }SPR\right)$

البرهان:

نعلم أن المستقيمين l وm يتقاطعان في النقطة P. وأن النقطة A لا تقع على أي من المستقيمين l أو m. عين 'A صورة النقطة 4 بانعكاس حول المستقيم m وعين "A صورة 'A بانعكاس حول المستقيم l. ومن تعريف الانعكاس يكون المستقيم m العمود من المنصف للقطعة $\overline{\text{'}AA}$ عند النقطة R، ويكون المستقيم l العمود المنصف للقطعة $\overline{"AA}$ عند النقطة S>

$\overline{A^{\mathrm{\prime }}S}\cong \overline{A^{\prime \prime }S},\overline{AR}\cong \overline{A^{\mathrm{\prime }}R}$ تعريف العمود المنصف، وبما أنه يوجد مستقيم واحد يمر بأي نقطتين فيمكن أن ترسم القطع المساعدة $\overline{AP},\overline{A^{\mathrm{\prime }}P},\overline{A^{\prime \prime }P}$ وإن الزوايا، $\mathrm{\angle }{A}^{\prime \prime }SP,\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}RP,\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}SP, \mathrm{\angle }ARP$ زوايا قائمة من تعريف العمود المنصف. وكذلك $\overline{SP}\cong \overline{SP},\overline{RP}\cong \overline{RP}$ حسب خاصية الانعكاس. إذن، $\mathrm{△}{A}^{\mathrm{\prime }}SP\cong \mathrm{△}{A}^{\prime \prime }SP,\mathrm{△}ARP\cong \mathrm{△}{A}^{\mathrm{\prime }}RP$ حسب مسلمة التطابق SAS. ولأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة فإن $\overline{AP}\cong \overline{A^{\mathrm{\prime }}P},\overline{A^{\mathrm{\prime }}P}\cong \overline{A^{\prime \prime }P}$ ولذلك $\overline{AP}\cong \overline{A^{\prime \prime }P}$ حسب خاصية التعدي. ومن تعريف الدوران فإن "A هي صورة A بدوران مركزه P.

وكذلك $\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PS\cong \mathrm{\angle }{A}^{\prime \prime }PS,\mathrm{\angle }APR\cong \mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PR$ لأن العناصر المتناظرة في المثلثين المتطابقين تكون متطابقة. ومن تعريف التطابق يكون $m\mathrm{\angle }APR=m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PR,m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PS=m\mathrm{\angle }{A}^{\prime \prime }PS$ لكن $m\mathrm{\angle }AP{A}^{\prime \prime }=m\mathrm{\angle }APR+m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PR+m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PS+m\mathrm{\angle }{A}^{\prime \prime }PS$ و $m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PS+m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PR=m\mathrm{\angle }SPR$ حسب مسلمة جمع الزوايا إذن، $m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PS+m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PS+m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PR+m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PR=m\mathrm{\angle }AP{A}^{\prime \prime }$ بالتعويض وهذا يعني أن $m\mathrm{\angle }AP{A}^{\prime \prime }=2(m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PR+m\mathrm{\angle }{A}^{\mathrm{\prime }}PS)$ بالتعويض ينتج أن $m\mathrm{\angle }AP{A}^{\prime \prime }=2\left(m\mathrm{\angle }SPR\right)$