في إحدى المناسبات السعيدة شرب ١٢ شخصاً عصير الفراولة، بينما شرب ٨ أشخاص عصير البرتقال، إذا شرب ٥ أشخاص كلاً من الفراولة والبرتقال، فما عدد الأشخاص المشاركين في المناسبة؟

المعطيات:

١) ١٢ شخص شرب عصير فراولة

٢) ٨ أشخاص شربوا عصير البرتقال

٣) ٥ أشخاص شربوا الفراولة والبرتقال

• المطلوب: عدد الأشخاص المشاركين في المناسبة
• خطط: نستخدم مخطط ڤن للحل.

حل:

• الذين شربوا فراولة فقط = ١٢ - ٥ = ٧ أشخاص.
• الذين شربوا برتقال فقط = ٨ - ٥ = ٣ أشخاص.

عدد الأشخاص = ٥ + ٧ + ٣ = ١٥ شخص.

تحقق: الناتج يتوافق مع المعطيات فالحل منطقي.

الدرس الخامس: استراتيجية حل المسألة

١) صف طريقة أخرى لإيجاد عدد المقاعد في هذا القسم من المسرح دون أن ترسم شكلاً.

مقعد زيد في الصف الخامس من الأمام والثالث من الخلف وبذلك تم احتساب صف زيد مرة من الأمام ومرة من الخلف $\leftarrow$

عدد الصفوف = ٥ + ٣ - ١ = ٧ صفوف. (طرحنا ١ حتى يكون صف زيد قد حسب مرة واحدة).

مقعد زيد هو الثاني من اليمين والسادس من اليسار وبذلك تم احتساب صف زيد مرة من الأمام ومرة من اليمين ومرة من اليسار $\leftarrow$

عدد مقاعد كل صف = ٢ + ٦ - ١ = ٧ مقاعد في كل صف. (طرحنا ١ حتى يكون مقعد زيد قد حسب مرة واحدة).

عدد المقاعد = عدد المقاعد في كل صف × عدد الصفوف = ٧ × ٧ = ٤٩ مقعداً.

٢) اكتب مسألة يمكن حلها برسم شكل، ثم ارسم الشكل وحلها.

أفهم:

١) أحمد خلف خالد

٢) أحمد أمام مصطفى

٣) محمود على يسار أحمد

٤) سامي على يمين أحمد

خطط: نرسم شكلاً يمثل البيانات أعلاه.

حل: يتبين من الشكل أن محمد يجلس على يسار خالد.

تحقق: الشكل يحقق المعطيات فالحل صحيح.

استعمل استراتيجية "الرسم" لحل المسائل ٣ - ٥:

٣) مسرح: عد إلى المسألة السابقة المعروضة في بداية الدرس، إذا كان حمزة يجلس في الصف الرابع من الأمام وفي الصف السادس من الخلف في قسم آخر من المسرح، وكان مقعده الثاني من جهة اليسار والسادس من جهة اليمين، فما عدد المقاعد في هذا القسم من المسرح؟

أفهم:

١) يجلس حمزة في الصف الرابع من الأمام والسادس من الخلف.

٢) مقعده الثاني من اليسار والسادس من اليمين.

خطط: نرسم شكلاً يبين قسم من المسرح بالاعتماد على مقعد حمزة.

حل: هناك ٩ صفوف في هذا القسم من المسرح وفي كل صف ٧ مقاعد وبالتالي عدد مقاعد هذا القسم هو: ٩ × ٧ = ٦٣ مقعداً.

تحقق: عدد المقاعد في الشكل هو ٦٣ مقعداً فالإجابة صحيحة.

٤) مياه: حوض سعته ٥٠٠ لتر، يصب فيه الماء بمقدار ٨٠ لتراً كل ٦ ما عدد الدقائق اللازمة لملء الحوض؟

أفهم:

١) سعة الحوض ٥٠٠ ليتر.

٢) سرعة صب الماء ٨٠ ليتر كل ٦ دقائق.

المطلوب: عدد الدقائق اللازمة لملء الحوض.

خطط: نرسم شكلاً يبين مراحل امتلاء الحوض بالاعتماد على المعطيات.

حل: $\frac{\mathrm{كمية} \mathrm{الماء}}{\mathrm{الزمن}}\leftarrow \frac{\mathrm{٨٠}}{\mathrm{٦}}=\frac{\mathrm{٥٠٠}}{س}\leftarrow س =\frac{\mathrm{٦} \times \mathrm{٥٠٠}}{\mathrm{٨٠}}$ = ٣٧,٥ دقيقة.

تحقق: عدد الدقائق في الشكل تعادل ٣٧,٥ دقيقة فالإجابة صحيحة.

٥) هندسة: تم تشكيل هرم رباعي القاعدة باستعمال كرات صغيرة كما في الشكل، إذا كان الهرم مكوناً من خمس طبقات، فما عدد الكرات؟

أفهم:

• المعطيات: هرم رباعي القاعدة مكون من كرات صغيرة.
• المطلوب: عدد الكرات إذا كان مكوناً من ٥ طبقات.
• خطط: نرسم شكلاً يبين عدد الكرات بالاعتماد على المعطيات.
• حل: تلاحظ أن الصف الأول مكون من ١ كرة (^٢١) والثاني من ٤ كرات (^٢٢) والثالث من ٩ كرات (^٢٣) $\leftarrow$ عدد كرات الصف يساوي مربع ترتيب الصف.

عدد كرات الصف الرابع = ^٢٤ = ١٦

عدد الكرات في الصف الخامس = ^٢٥ = ٢٥

العدد الكلي للكرات في الهرم = ١ + ٤ + ٩ + ١٦ + ٢٥ = ٥٥ كرة.

تحقق: عدد الكرات في الشكل بالعد هو ٥٥ كرة فالحل صحيح.

استعمل الاستراتيجية المناسبة لحل المسائل ٦ - ١١:

٦) أعمار: أحمد وعبد الرحمن وعلي وبدر وأنس أصدقاء، إذا لم يكن أحمد الأصغر، وبدر أصغر من أحمد، ولكنه أكبر من علي، وعلي أكبر من عبد الرحمن وأنس، وعبد الرحمن ليس الأصغر، فاكتب أسماء هؤلاء الأصدقاء مرتبين بحسب أعمارهم من الأصغر إلى الأكبر.

أفهم:

المعطيات:

١) ٥ أصدقاء.

٢) أحمد ليس الأصغر.

٣) بدر أصغر من أحمد وأكبر من علي.

٤) علي أكبر من عبد الرحمن وأنس.

٥) عبد الرحمن ليس الأصغر.

• المطلوب: كتابة أسماء الأصدقاء مرتبين بالأعمار من الأصغر إلى الأكبر.
• خطط: نستخدم خطة الحل العكسي انطلاقاً من النتيجة رجوعاً إلى المعطيات.

حل:

• بدر أصغر من أحمد $\leftarrow$ أحمد هو الكبير وبدر أصغر منه.
• بدر أكبر من علي وعلي أكبر من عبد الرحمن وأنس $\leftarrow$ علي هو الثالث بعد أحمد وبدر.
• علي أكبر من عبد الرحمن وأنس وعبد الرحمن ليس الأصغر $\leftarrow$ الأصغر هو أنس وعبد الرحمن أكبر منه ثم علي أكبر منه.

الترتيب من الأصغر إلى الأكبر: أنس، عبد الرحمن، علي، بدر، أحمد.

تحقق: الترتيب يتوافق مع المعطيات وبالتالي الحل صحيح.

٧) خرائط: يقع منزل سلطان عند النقطة (٩، ٧) على المستوى الإحداثي، وتقع مدرسته عند النقطة (٦، ٢)، إذا كان هناك طريق يربط بين المنزل والمدرسة، وطول كل وحدة على المستوى الإحداثي هو ٠,١ كيلو متر، فما المسافة بين المنزل والمدرسة؟

أفهم:

المعطيات:

١) منزل سلطان عند النقطة (٩، ٧)

٢) مدرسة سلطان عند النقطة (٦، ٢)

٣) يوجد طريق مستقيم بين المنزل والمدرسة

٤) طول كل وحدة على المستوى الإحداثي ٠,١ كيلو متر.

المطلوب: المسافة بين المنزل والمدرسة.

خطط: نرسم مستوى الإحداثيات ونجعل الطريق بين المنزل والمدرسة يمثل وتر مثلث قائم لنستخدم فيثاغورس في حساب طوله.

حل: حسب فيثاغورس: مربع الوتر = مجموع مربعي الضلعين القائمتين.

• (الوتر)^٢ = ( ٩ - ٦)^٢ + (٧ - ٢)^٢ = ٩ + ٢٥ = ٣٤
• (الوتر) = $\sqrt{\mathrm{٣٤}}$ = ٥,٨

المسافة بين المنزل والمدرسة = ٥,٨ × ٠,١ = ٠,٥٨ كيلو متر.

تحقق: بقياسها بالمسطرة وضرب الطول بـ ٠,١ نحصل على نفس الناتج.

٨) ألبوم صور: إذا كانت صفحة الألبوم مربعة الشكل، طول ضلعهما ٣٠ سم، فما عدد الصور التي يمكن تثبيتها في الصفحة الواحدة، إذا علمت أن بعدي كل منها ٦سم، ١٠سم؟ علماً بأنه يترك فراغ بين كل صورتين بمقدار ١سم، وفراغ آخر من جميع الجوانب بمقدار ٤ سم على الأقل.

المعطيات:

١) طول ضلع الصفحة ٣٠ سم.

٢) بعدي الصورة ٦ سم و١٠ سم.

٣) فراغ بين كل صورتين ١ سم.

٤) فراغ بين جميع الجوانب ٤ سم.

• المطلوب: عدد الصور التي يمكن تثبيتها في الصفحة الواحدة.
• خطط: في البداية نطرح الفراغ الجانبي من طول ضلع الصفحة.

1. ثم نقسم الطول المتبقي على (عرض الصورة مع الفراغ بين الصورتين) لمعرفة كم صورة في الصف الواحد.
2. ثم نقسم الطول المتبقي أيضاً على ١١ (طول الصورة مع الفراغ بين الصورتين) لمعرفة كم صورة في العمود الواحد.

حل: طول الضلع بعد طرح الفراغ الجانبي = ٣٠ - ٤ - ٤ = ٢٢ سم.

• عدد الصور في الصف الواحد = ٢٢ ÷ ٧ ≈ ٣ صور
• عدد الصور في العمود الواحد = ٢٢ ÷ ١١ = ٢ صورة.
• عدد الصور التي يمكن تثبيتها في الصفحة الواحدة = عدد صور الصف × عدد صور العمود = ٣ × ٢ = ٦ صور.

تحقق: بحساب مساحة الصفحة بعد حذف الفراغات وتقسيمها على مساحة الصورة الواحدة بعد إضافة الفراغات نحصل على نفس النتيجة تقريباً فالإجابة منطقية.

٩) عصائر: في إحدى المناسبات السعيدة شرب ١٢ شخصاً عصير الفراولة، بينما شرب ٨ أشخاص عصير البرتقال، إذا شرب ٥ أشخاص كلاً من الفراولة والبرتقال، فما عدد الأشخاص المشاركين في المناسبة؟

المعطيات:

١) ١٢ شخص شرب عصير فراولة

٢) ٨ أشخاص شربوا عصير البرتقال

٣) ٥ أشخاص شربوا الفراولة والبرتقال

• المطلوب: عدد الأشخاص المشاركين في المناسبة
• خطط: نستخدم مخطط ڤن للحل.

حل:

• الذين شربوا فراولة فقط = ١٢ - ٥ = ٧ أشخاص.
• الذين شربوا برتقال فقط = ٨ - ٥ = ٣ أشخاص.

عدد الأشخاص = ٥ + ٧ + ٣ = ١٥ شخص.

تحقق: الناتج يتوافق مع المعطيات فالحل منطقي.

١٠) مدرسة: من بين ٣٠ طالباً في حصة العلوم هناك ١٩ طالباً يفضلون موضوعات الكيمياء، و١٥ طالباً يفضلون موضوعات الفيزياء، و٧ طلاب يفضلون كليهما، ما عدد الطلاب الذين يفضلون الكيمياء ولا يفضلون الفيزياء؟

أفهم:

المعطيات:

١) ٣٠ طالباً في حصة العلوم

٢) ١٩ طالب يفضلون الكيمياء

٣) ١٥ طالب يفضلون الفيزياء

٤) ٧ طلاب يفضلون كليهما

المطلوب: عدد الصور التي يمكن تثبيتها في الصفحة الواحدة.

خطط: نستخدم مخطط كالڤن للحل (لمعرفة الذين يفضلون الكيمياء ولا يفضلون الفيزياء نطرح عدد الطلاب الذين يفضلون كلا المادتين من عدد الطلاب الذين يفضلون الكيمياء).

حل: الذين يفضلون الكيمياء ولا يفضلون الفيزياء = ١٩ - ٧ = ١٢ طالب.

تحقق: الناتج يتوافق مع المعطيات فالحل منطقي.

١١) قياس: يستغرق قص قطعة من الخشب إلى خمس قطع متساوية ٢٠ دقيقة، ما الزمن اللازم لقص قطعة أخرى مشابهة إلى ٣ قطع متساوية؟

• المعطيات: يستغرق قص قطعة الخشب إلى خمس قطع متساوي ٢٠ دقيقة.
• المطلوب: الزمن اللازم لقص قطع أخرى مشابهة.
• خطط: نكتب تناسباً ونحله لمعرفة الحل حيث س يمثل س يمثل الزمن اللازم لقص قطعة الخشب المشابهة.
• حل: $\frac{\mathrm{عدد} \mathrm{القطع}}{\mathrm{الزمن}}\leftarrow \frac{\mathrm{٥}}{\mathrm{٢٠}}=\frac{\mathrm{٣}}{س}\leftarrow س = \frac{\mathrm{٢٠} \times \mathrm{٣}}{\mathrm{٥}}$ = ١٢ دقيقة.
• تحقق: بحساب الوقت اللازم للقص مرة واحدة (٢٠ ÷ ٥ = ٤ دقيقة) ثم ضرب الناتج بـ ٣ لمعرفة الزمن اللازم لقص ٣ قطع (٤ × ٣ = ١٢ دقيقة) نحصل على نفس الناتج فالإجابة صحيحة.