افترض أن القمر في المثال السابق تحرك إلى مدار نصف قطره أكبر 24 km من نصف القطر السابق، فكم يصبح مقدار سرعته؟ وهل هذه السرعة أكبر أم أقل ممّا في المثال السابق؟

$\begin{array}{r}r=\left(h+2.4\times {10}^4\right)+r_E=\left(2.25\times {10}^5+2.4\times {10}^4\right)+6.38\times {10}^6=6.63\times {10}^6\\ v=\sqrt{\frac{G{m}_E}{r}}=\sqrt{\frac{\left(6.67\times {10}^{-11}\right)\left(5.97\times {10}^{24}\right)}{6.63\times {10}^6}}=7.75\times {10}^3\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

السرعة أقل من السرعة في المثال السابق.

حل اسئلة المسائل التدريبية

افترض أن مدار الأقمار دائري عند حل المسائل الآتية:

11. افترض أن القمر في المثال السابق تحرك إلى مدار نصف قطره أكبر 24 km من نصف القطر السابق، فكم يصبح مقدار سرعته؟ وهل هذه السرعة أكبر أم أقل ممّا في المثال السابق؟

$\begin{array}{r}r=\left(h+2.4\times {10}^4\right)+r_E=\left(2.25\times {10}^5+2.4\times {10}^4\right)+6.38\times {10}^6=6.63\times {10}^6\\ v=\sqrt{\frac{G{m}_E}{r}}=\sqrt{\frac{\left(6.67\times {10}^{-11}\right)\left(5.97\times {10}^{24}\right)}{6.63\times {10}^6}}=7.75\times {10}^3\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

السرعة أقل من السرعة في المثال السابق.

12. استعمل تجربة نيوتن الذهنية في حركة الأقمار الاصطناعية لحل ما يلي:

a. حساب مقدار سرعة إطلاق قمر اصطناعي من منصة إطلاق بحيث يصبح في مدار يبعد 150 km عن سطح الأرض.

$v=\sqrt{\frac{G{m}_E}{r}}=\sqrt{\frac{\left(6.67\times {10}^{-11}\right)\left(5.97\times {10}^{24}\right)}{6.63\times {10}^6+1.5\times {10}^5}}=7.8\times {10}^3\mathrm{m}/\mathrm{s}$

b. احسب الزمن الذي يستغرقه القمر الاصطناعي (بالثواني والدقائق) ليكمل دورة حول الأرض ويعود إلى المنصة.

$T=2\pi \sqrt{\frac{{\left(r_E+h\right)}^3}{G{m}_E}}=5.3\mathrm{s}\approx 88\min$

13. استعمل البيانات المتعلقة بعطارد المعطاة في الجدول 1- 7 لإيجاد ما يلي:

a. مقدار سرعة قمر اصطناعي في مدار على بُعد 260 km من سطح عطارد.

$\begin{array}{r}r=r_m+260\mathrm{km}=2.44\times {10}^6\mathrm{m}+0.26\times {10}^6\mathrm{m}=2.7\times {10}^6\mathrm{m}\\ v=\sqrt{\frac{G{m}_E}{r}}=\sqrt{\frac{\left(6.67\times {10}^{-11}\right)\left(3.3\times {10}^{23}\right)}{2.7\times {10}^6}}=2.86\times {10}^6\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$

b. الزمن الدوري لهذا القمر.

$\begin{array}{r}\mathrm{T}=2\pi \sqrt{\frac{r^3}{\mathrm{Gm}}}=2\pi \sqrt{\frac{{\left(2.70\times {10}^6\mathrm{m}\right)}^3}{\left(6.67\times {10}^{-11}\mathrm{N}\cdot {\mathrm{m}}^2/{\mathrm{kg}}^2\right)\left(3.30\times {10}^{23}\mathrm{kg}\right)}}\\ =5.94\times {10}^3\mathrm{s}=1.65\mathrm{h}\end{array}$