استعمل الشكل المجاور لكتابة برهان لكلّ من النظريات الآتية:

نظرية 1.9

المعطيات:

$\ell \perp m$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }4$ قوائم.

البرهان:

نظرية 1.10

المعطيات:

$\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ قائمتان.

المطلوب:

$\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

البرهان:

نظرية 1.11

المعطيات:

$\ell \perp m$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

البرهان:

نظرية 1.12

المعطيات:

• $\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ متكاملتان.
• $\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ قائمتان.

البرهان:

نظرية 1.13

المعطيات:

• $\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ متجاورتان على مستقيم.
• $\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ قائمتان.

البرهان:

تدرب وحل المسائل

أوجد قياس الزوايا المرقَّمة في كلّ مما يأتي، واذكر النظريات التي تبرر حلك.

6) $m\mathrm{\angle }5=m\mathrm{\angle }6$

$m\mathrm{\angle }5=m\mathrm{\angle }6={45}^{\circ }$

(مسلمة جمع قياسات الزوايا ونظرية الزاويتين المتكاملتين).

7) $\angle 2$ و $\angle 3$ متتامتان.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }4\\ & m\mathrm{\angle }2={28}^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{r}6m\mathrm{\angle }3={62}^{\circ }\\ m\mathrm{\angle }1=m\mathrm{\angle }4={45}^{\circ }\end{array}$

(نظرية الزاويتين المتتامتين ومسلمة جمع قياسات الزوايا).

8) $\angle 2$ و $\angle 4$ متكاملتان.

$\angle 4$ و $\angle 5$ متكاملتان.

$m\mathrm{\angle }4={105}^{\circ }$

$\begin{array}{r},m\mathrm{\angle }2={75}^{\circ }\\ ،m\mathrm{\angle }3={105}^{\circ }\\ m\mathrm{\angle }5={75}^{\circ }\end{array}$

(نظرية تطابق المكملات ونظرية الزاويتين المتكاملتين).

9)

$\begin{array}{rl}& m\mathrm{\angle }9=(3x+12{)}^{\circ }\\ & m\mathrm{\angle }10=(x-24{)}^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{rl}& m\mathrm{\angle }9={156}^{\circ }\\ & m\mathrm{\angle }10={24}^{\circ }\end{array}$

(نظرية الزاويتين المتكاملتين).

أوجد قياس الزوايا المرقمة في كلّ مما يأتي، واذكر النظريات التي تبرر حلك.

10)

$\begin{array}{c}m\mathrm{\angle }3=(2x+23{)}^{\circ }\\ m\mathrm{\angle }4=(5x-112{)}^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{r}m\mathrm{\angle }3={113}^{\circ }\\ m\mathrm{\angle }4={113}^{\circ }\end{array}$

(نظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس).

11)

$\begin{array}{rl}& m\mathrm{\angle }6=(2x-21{)}^{\circ }\\ & m\mathrm{\angle }7=(3x-34{)}^{\circ }\end{array}$

$\begin{array}{r}m\mathrm{\angle }6={73}^{\circ }\\ m\mathrm{\angle }7={107}^{\circ }\\ m\mathrm{\angle }8={73}^{\circ }\end{array}$

(نظرية الزاويتين المتكاملتين ونظرية الزاويتين المتقابلتين بالرأس).

برهان: اكتب برهاناً ذا عمودين في كلّ مما يأتي:

12)

المعطيات: $\mathrm{\angle }ABC$ زاوية قائمة.

المطلوب: $\mathrm{\angle }ABD,\mathrm{\angle }CBD$ متتامتان.

13)

المعطيات: $\mathrm{\angle }5\cong \mathrm{\angle }6$.

المطلوب: $\mathrm{\angle }4,\mathrm{\angle }6$ متكاملتان.

اكتب برهاناً لكلّ من النظريات الآتية:

14) نظرية الزاويتين المتكاملتين.

المعطيات:

$\angle 1$ و $\angle 2$ متجاورتان على مستقيم.

المطلوب:

$\angle 1$ و $\angle 2$ متكاملتان.

برهان حر:

عندما تكون الزاويتان متجاورتين على مستقيم، فإن الزاوية الناتجة عنهما تكون زاوية مستقيمة قياسها °180، وبالتعريف تكون الزاويتان متكاملتين، إذا كان مجموع قياسيهما °180، وباستعمال مسلمة جمع الزوايا $m\mathrm{\angle }1+m\mathrm{\angle }2={180}^{\circ }$. ومن ذلك تكون الزاويتان متكاملتين، إذا كانتا متجاورتين على مستقيم.

15) نظرية الزاويتين المتتامتين.

المعطيات:

$\angle ABC$ قائمة

المطلوب:

$\angle 1$ و $\angle 2$ متتامتان.

البرهان:

16) خاصية الانعكاس للتطابق.

المعطيات:

$\angle A$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }A\cong \mathrm{\angle }A$

البرهان:

17) خاصية التعدي للتطابق.

المعطيات:

$\mathrm{\angle }2\cong \mathrm{\angle }3،\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }3$

البرهان:

18) برهان: أثبت أن مجموع قياسات الزوايا الأربع الناتجة عند فتح المقص يساوي °360.

المعطيات:

$\mathrm{\angle }1,\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }4$ ناتج عن تقاطع مستقيمين.

المطلوب:

$m\mathrm{\angle }1+m\mathrm{\angle }2+m\mathrm{\angle }3+m\mathrm{\angle }4={360}^{\circ }$

البرهان:

19) طبيعة: الأفعى المجلجلة أفعى سامة، ويوجد على جلدها زركشة تأخذ أشكالاً نمطية، انظر إلى الشكل أدناه، والذي يمثّل صورة مكبرة لجلد الأفعى المبيَّنة جهة اليمين، إذا كانت $\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }4$، فأثبت أن $\mathrm{\angle }2\cong \mathrm{\angle }3$.

المعطيات:

$\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }4$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }2\cong \mathrm{\angle }3$

البرهان:

برهان: استعمل الشكل المجاور لكتابة برهان لكلّ من النظريات الآتية:

20) نظرية 1.9

المعطيات:

$\ell \perp m$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }3,\mathrm{\angle }4$ قوائم.

البرهان:

21) نظرية 1.10

المعطيات:

$\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ قائمتان.

المطلوب:

$\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

البرهان:

22) نظرية 1.11

المعطيات:

$\ell \perp m$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

البرهان:

23) نظرية 1.12

المعطيات:

• $\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ متكاملتان.
• $\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ قائمتان.

البرهان:

24) نظرية 1.13

المعطيات:

• $\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ متجاورتان على مستقيم.
• $\mathrm{\angle }1\cong \mathrm{\angle }2$

المطلوب:

$\mathrm{\angle }2,\mathrm{\angle }1$ قائمتان.

البرهان:

25) بندول: يظهر في الشكل المجاور وضع بندول ساعة تقليدية، إذا علمت أن $\angle ABC$ قائمة، وأن $m\mathrm{\angle }1={45}^{\circ }$، فاكتب برهاناً حراً لإثبات أن $\overrightarrow{BR}$ ينصف $\angle ABC$.

بما أن $\angle ABC$ قائمة، فإن قياسها يساوي 90، $\overrightarrow{BR}$ يقسم $\angle ABC$ إلى $\mathrm{\angle }CBR و \mathrm{\angle }ABR$

وباستعمال مسلمة جمع الزوايا $m\mathrm{\angle }ABR+m\mathrm{\angle }CBR=m\mathrm{\angle }ABC$

وبالتعويض: $m\mathrm{\angle }ABR+m\mathrm{\angle }CBR={90}^{\circ }$

وبالتعويض مرة ثانية $m\mathrm{\angle }1+m\mathrm{\angle }2={90}^{\circ }$

وبما أن $m\mathrm{\angle }1={45}^{\circ }$ إذاً $45+m\mathrm{\angle }2={90}^{\circ }$

وباستعمال خاصية الطرح للمساواة $45-45+m\mathrm{\angle }2=90-45$ فإن $m\mathrm{\angle }2={45}^{\circ }$

وبما أن $m\mathrm{\angle }1$ و $m\mathrm{\angle }2$ متساو، فإن $\overrightarrow{BR}$ يكون منصفاً للزاوية $\angle ABC$ بتعريف منصف الزاوية.

26) تمثيلات متعددة: في هذه المسألة سوف تستكشف علاقات الزوايا.

a) هندسياً: استعمل المنقلة لرسم زاوية قائمة ABC، وحدد نقطة داخلها، وسمها D، ارسم $\overrightarrow{BD}$ ثم ارسم $\overline{KL}$، وارسم $\angle JKL$ التي تطابق $\angle ABD$.

b) لفظياً: ضع تخميناً حول العلاقة بين $\angle JKL$ و$\angle DBC$.

$\angle JKL$ و $\angle DBC$ متتامتان.

c) منطقياً: أثبت صحة التخمين الذي وضعته.

المعطيات:

• $\mathrm{\angle }DBC,\mathrm{\angle }ABD$ متتامتان.
• $\mathrm{\angle }ABD\cong \mathrm{\angle }JKL$

المطلوب:

$\angle JKL$ و $\angle DBC$ متتامتان.

البرهان: