حل أسئلة تدرب وحل المسائل

مثل كل دالة مما يأتي بيانياً، وأوجد مقطع المحور y، وحدد مجالها ومداها، ثم استعمل تمثيلها البياني؛ لتقدير قيمة المقدار العددي المعطى إلى أقرب جزء من عشرة، واستعمل الآلة الحاسبة للتحقق من ذلك.

1) 2^1.5 ,y^2x

f(x)=2^x

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>0\}$

2.8=2^1.5

2) $2(8{)}^{-0.5}\cdot y=2(8{)}^x$

f(x)=2(3)^x

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>0\}$

$0.7=2(8{)}^{\frac{-1}{2}}$

مثل كل دالة مما يأتي بيانياً، وأوجد مقطع المحور y، وحدد مجالها ومداها، ثم استعمل تمثيلها البياني؛ لتقدير قيمة المقدار العددي المعطى إلى أقرب جزء من عشرة، واستعمل الآلة الحاسبة للتحقق من ذلك.

3) $2{\left(\frac{1}{6}\right)}^{1.5}\cdot y=2{\left(\frac{1}{6}\right)}^x$

$0.1=2{\left(\frac{1}{6}\right)}^{1.5}$

4) $3{\left(\frac{1}{4}\right)}^{0.5}\cdot y=3{\left(\frac{1}{4}\right)}^x$

$1.5=3{\left(\frac{1}{4}\right)}^{.5}$

5) حاسوب: يزداد انتشار فيروس في شبكة حاسوبية بمعدل %25 كل دقيقة، إذا دخل الفيروس إلى جهاز واحد عند البداية، فأوجد دالة أسية تمثل النمو في انتشار الفيروس منذ البداية، ثم مثلها بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية.

المعادلة: $y=(1.25{)}^t$

بعد الساعة الأولى يكون الفيروس انتشر في 652530 حاسوباً تقريباً.

6) سيارات: سيارة كان سعرها 80000 ريال، ثم بدأ يتناقص بمعدل %15 كل سنة، أوجد دالة أسية تمثل سعر السيارة بعد t سنة من شرائها، ثم مثلها بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية، ثم قدر سعر السيارة بعد 20 سنة من شرائها.

المعادلة $y=80000(0.85{)}^t$

بعد 20 سنة يكون ثمنها 3100 ريال تقريباً.

مثل كل دالة مما يأتي بيانياً، وحدد مجالها ومداها.

7) $f\left(x\right)=2(3{)}^x$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>0\}$

8) $f\left(x\right)=4^{x+1}-5$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>-5\}$

9) $f\left(x\right)=2^{x+1}+3$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>3\}$

10) $f\left(x\right)=3^{x-2}+4$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>4\}$

11) $f\left(x\right)=3(2{)}^x+8$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>8\}$

12) $f\left(x\right)=0.25(4{)}^x-6$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>-6\}$

مثل كل دالة مما يأتي بيانياً، وحدد مجالها ومداها.

13) $f\left(x\right)=2{\left(\frac{2}{3}\right)}^{x-3}-4$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>-4\}$

14) $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{4}\right)}^{x+1}+5$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y<5\}$

15) $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{\left(\frac{4}{5}\right)}^{x-4}+3$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y<3\}$

16) $f\left(x\right)=\frac{1}{8}{\left(\frac{1}{4}\right)}^{x+6}+7$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y>7\}$

17) $f\left(x\right)=-4{\left(\frac{3}{5}\right)}^{x+4}+3$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y<3\}$

18) $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(\frac{3}{8}\right)}^{x+2}+9$

• المجال: R
• المدى: $\{y\mid y<4\}$

19) علوم: يتكاثر نحل في خلية، فيزداد العدد بمعدل %30 كل أسبوع، إذا كان عدد النحل في البداية 65 نحلة، فأوجد دالة أسية تمثل عدد النحل بعد t أسبوع، ومثلها بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية، ثم قدر عدد النحل بعد 10 أسابيع.

المعادلة: $y=65(1.3{)}^t$

عدد النحل بعد 10 أسابيع 896 نحلة.

20) كرة قدم: تناقص عدد الحضور لمباريات فريق كرة قدم بمعدل %5 لكل مباراة بعد خسارته في أحد المواسم، أوجد دالة أسية تمثل عدد الحضور (y) في المباراة (t)، إذا كان عددهم في المباراة الأولى 23500، ومثلها بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية، ثم قدر عدد الحضور في المباراة 15.

المعادلة: $y=23500(0.95{)}^t$

ويكون الحضور 10887 تقريباً في المباراة رقم 15.

21) هواتف: تناقص عدد الهواتف العمومية في الآونة الأخيرة نتيجة انتشار الهواتف المحمولة، فإذا كان عدد الهواتف العمومية بالآلاف في إحدى المدن يعطى بالدالة $P\left(x\right)=2.28(0.9{)}^x$ في السنة x منذ عام 1420ه.

a) مثل الدالة بيانياً باستعمال الحاسبة البيانية.

b) وضح ماذا يمثل مقطع p(x) وخط التقارب في هذه الحالة.

يمثل المقطع p(x) عدد الهواتف العمومية عام 1420ه وخط التقارب هو المحور X، ويتناقص عدد الهواتف العمومية ليقترب من 0 ولن يصل إلى 0، وذلك منطقي لأنه سوف يكون هناك حاجة دائماً للهواتف العمومية.

22) صحة: أخذ مريض حقنة، وفي كل يوم تلى ذلك، استهلك جسمه %10 مما تبقى من المادة المحقونة.

a) مثل الدالة التي تعبر عن هذا الموقف بيانياً.

b) متى يكون في جسم المريض أقل من %50 من المادة المحقونة؟

بعد اليوم السادس يكون في جسم المريض أقل من %50 من المادة المحقونة.

c) كم يبقى من المادة المحقونة في الجسم بعد 9 أيام؟

يبقى أقل من %40 بقليل من المادة المحقونة في الجسم بعد 9 أيام.

23) نظرية الأعداد: تتبع متتابعة عددية نمطاً معيناً، حيث يساوي كل حد فيها %125 من الحد السابق له، فإذا كان الحد الأول يساوي 18 فأجب عما يأتي:

a) اكتب الدالة التي تمثل هذا الموقف.

$f\left(x\right)=18(1.25{)}^{x-1}$

b) مثل الدالة لأول 10 حدود بيانياً.

c) ما قيمة الحد العاشر؟ قرب الناتج إلى أقرب عدد صحيح.

الحد العاشر= 134

إذا كانت f(x) هي الدالة الرئيسية (الأم) لكل دالة ممثلة بيانياً أدناه، والتمثيل البياني ل g(x) هو تحويل للتمثيل البياني f(x)، فأوجد الدالة g(x).

24)

$\begin{array}{r}f\left(x\right)=2^x\\ g\left(x\right)=4(2{)}^{x-3}=\frac{1}{2}(2{)}^x\end{array}$

25)

$\begin{array}{r}f\left(x\right)=4^x\\ g\left(x\right)=-2(4{)}^{x+1}+3\end{array}$

26) تمثيلات متعددة: ستستعمل لحل هذا التمرين جداول القيم أدناه للدوال الأسية: f(x),g(x),h(x).

a) بيانياً: مثل كل دالة مما يأتي في الفترة $-1\le x\le 5$ على ورقة تمثيل بياني مستقلة.

b) لفظياً: أي الدوال معاملها (a) سالب؟ وضح إجابتك.

تمثيل الدالة f(x) بيانياً هو انعكاس في المحور x، وقيم المخرجات في الجدول سالبة.

c) تحليلياً: أي الدوال تمثل نمو أسياً؟ وأيها تمثل اضمحلالاً أسياً؟

f(x),g(x) دالتي نمو أسي على حين أن h(x) دالة اضمحلال أسي والقيم المطلقة للمخرجات متزايدة لدوال النمو الأسي ومتناقصة لدوال الاضمحلال.

27) مدارس: يزداد عدد خريجي إحدى المدارس بمعدل 1.055 كل عام منذ عام 1434هـ، إذا كان عدد الخريجين عام 1434هـ 110 طلاب، فإن الدالة $N=110(1.055{)}^t$ تمثل عدد الخريجين في العام t بعد العام 1434هـ، ما عدد الخريجين المتوقع في عام 1445هـ؟

$\begin{array}{r}1424-1335=89\\ N=110(1.055{)}^t\\ N=110(1.055{)}^{89}\\ N=12908\end{array}$