حل أسئلة تدرب وحل المسائل

حل كل معادلة مما يأتي:

1) $8^{4x+2}=64$

$\begin{array}{rl}& 8^{4x+2}=64=8^2\\ & \therefore 4x+2=2\\ & \therefore 4x=0\\ & \therefore x=0\end{array}$

2) $5^{x-6}=125$

$\begin{array}{rl}& 5^{x-6}=124=5^3\\ & \therefore x-6=3\\ & \therefore x=3+6\\ & \therefore x=9\end{array}$

3) $3^{5x}={27}^{2x-4}$

$\begin{array}{rl}& 3^{5x}={27}^{2x-4}=3^{3(2x-4)}\\ & \therefore 5x=6x-12\\ & \therefore -x=-12\\ & \therefore x=12\end{array}$

4) ${16}^{2y-3}=4^{y+1}$

$\begin{array}{rl}& {16}^{2y-3}=4^{2(2y-3)}=4^{y+1}\\ & \therefore 4y-6=y+1\\ & \therefore 3y=7\\ & \therefore y=\frac{7}{3}\end{array}$

5) $2^{6x}={32}^{x-2}$

$\begin{array}{rl}& 2^{6x}={32}^{x-2}=2^{5(x-2)}\\ & \therefore 6x=5x-10\\ & \therefore x=-10\end{array}$

6) ${49}^{x+5}=7^{8x-6}$

$\begin{array}{rl}& {49}^{x+5}=7^{2(x+5)}=7^{8x-6}\\ & \therefore 2x+10=8x-6\\ & \therefore 6x=16\\ & \therefore x=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}\end{array}$

7) ${81}^{a+2}=3^{3a+1}$

$\begin{array}{rl}& {81}^{a+2}=3^{4(a+2)}=3^{3a+1}\\ & \therefore 4a+8=3a+1\\ & \therefore a=1-8\\ & \therefore x=-7\end{array}$

8) ${256}^{b+2}=4^{2-2b}$

$\begin{array}{rl}& {256}^{b+2}=4^{4(b+2)}=4^{2-2}b\\ & \therefore 4b+8=2-2b\\ & \therefore 6b=-6\\ & \therefore b=-1\end{array}$

9) $9^{3c+1}={27}^{3c-1}$

$\begin{array}{rl}& 9^{3c+1}=3^{2(3c+1)}={27}^{3c-1}=3^{3(3c-1)}\\ & \therefore 6c+2=9c-3\\ & \therefore 3c=5\\ & \therefore c=\frac{5}{3}\end{array}$

10) $8^{2y+4}={16}^{y+1}$

$\begin{array}{rl}& 8^{2y+4}={16}^{y+1}\\ & \therefore 2^{3(2y+4)}=2^{4(y+1)}\\ & \therefore 6y+12=4y+4\\ & \therefore 2y=-8\\ & \therefore y=-4\end{array}$

11) علوم: الانقسام هو عملية حيوية يتم فيها انشطار الخلية إلى خليتين مطابقتين تماماً للخلية الأصلية، وتنقسم إحدى أنواع الخلايا البكتيرية كل 15 دقيقة.

a) اكتب دالة أسية على الصورة c=ab^t تمثل عدد الخلايا البكتيرية c المتكونة من انقسام خلية واحدة بعد t من الدقائق.

$C=2^{\frac{t}{15}}$

b) إذا بدأت خلية بكتيرية واحدة بالانقسام، فكم خلية ستتكون بعد ساعة؟

$C=2^{\frac{60}{15}}=2^4=16$

12) مال: ورث خالد مبلغ 100000 ريال عن والده عام 1430هـ، واستثمره في مشروع تجاري، وقدر خالد أن المبلغ المستثمر سيصبح 169588 ريالاً بحلول عام 1442هـ.

a) اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x تمثل المبلغ y بدلالة عدد السنوات x منذ عام 1430 هـ.

$y=100000(1.045{)}^x$

b) افترض أن المبلغ استمر في الزيادة بالمعدل نفسه، فكم سيصبح عام 1450 هـ إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

$y=100000(1.045{)}^{12}=241171.4$

13) استثمر حسن مبلغ 70000 ريال متوقعاً ربحا سنوياً نسبته %4.3، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر، ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 7 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

$70000{\left(1+\frac{0.043}{12}\right)}^{12.7}=94533.78$

14) استثمر ماجد مبلغ 70000 ريال متوقعاً ربحا سنوياً نسبته %2.25، بحيث تضاف الأرباح إلى رأس المال كل شهر. ما المبلغ الكلي المتوقع بعد 6 سنوات إلى أقرب منزلتين عشريتين؟

$50000{\left(1+\frac{{\displaystyle 0.0225}}{{\displaystyle 24}}\right)}^{24.6}=57223.22$

حل كل متباينة مما يأتي:

15) $4^{2x+6}\le {64}^{2x-4}$

$\begin{array}{rl}& 4^{2x+6}\ge {64}^{2x-4}\\ & \therefore 4^{2x+6}\ge 4^{3(2x-4)}\\ & \therefore 2x+6\ge 6x-12\\ & \therefore 18\ge 4x\\ & \therefore 4.5\ge x\end{array}$

16) ${25}^{y-3}\le {\left(\frac{1}{125}\right)}^{y+3}$

$\begin{array}{rl}& \therefore {25}^{y-3}\le {25}^{-2(y+3)}\\ & \therefore y-3\le -2y-6\\ & \therefore 3y\le -3\\ & \therefore y\le -1\end{array}$

17) $625\ge 5^{a+8}$

$\begin{array}{rl}& 5^4\ge 5^{a+8}\\ & \therefore 4\ge a+8\\ & \therefore -4\ge a\end{array}$

18) ${10}^{5b+2}>1000$

$\begin{array}{rl}& {10}^{5b+2}>{10}^3\\ & \therefore 5b+2>3\\ & \therefore 5b>1\\ & \therefore b>\frac{1}{5}\end{array}$

19) ${\left(\frac{1}{64}\right)}^{c-2}<{32}^{2c}$

$\begin{array}{rl}& \therefore 2^{-6(c-2)}<2^{5\left(2c\right)}\\ & \therefore -6c+12<10c\\ & \therefore 12<16c\\ & \therefore \frac{12}{16}<c\\ & \therefore \frac{3}{4}<c\end{array}$

20) ${\left(\frac{1}{9}\right)}^{3t+5}\ge {\left(\frac{1}{243}\right)}^{t-6}$

$\begin{array}{rl}& \therefore {\left(\frac{1}{3}\right)}^{2(3t+5)}\ge {\left(\frac{1}{3}\right)}^{5(t-6)}\\ & \therefore 6t+10\ge 5t-30\\ & \therefore t\ge -40\end{array}$

اكتب دالة أسية على الصورة y=ab^x للتمثيل البياني المار بكل زوج من النقاط فيما يأتي:

21) (3,100), (0, 6.4)

$y=6.4(2.5{)}^x$

22) (4, 81), (0, 256)

$\mathit{y}=256(0.75{)}^x$

23) (5,371293), (0, 128)

$y=128(4.926{)}^x$

24) (4, 21609), (0, 144)

$y=144(3.5{)}^x$

25) علوم: وضع كوب من الشاي درجة حرارته °90C في وسط درجة حرارته ثابتة وتساوي °20C، فتناقصت درجة حرارة الشاي، ويمكن تمثيل درجة حرارة الشاي بعد t دقيقة بالدالة: $\cdot y\left(t\right)=20+70(1.071{)}^{-t}$

a) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 15 دقيقة.

$\begin{array}{rl}y\left(15\right)& =20+70(1.071{)}^{-15}\\ & =45.02\dot{c}\end{array}$

b) أوجد درجة حرارة الشاي بعد 30 دقيقة.

$\begin{array}{rl}y\left(30\right)& =20+70(1.071{)}^{-30}\\ & =28.942\dot{c}\end{array}$

c) إذا كانت درجة الحرارة المناسبة لشرب الشاي هي °60C، فهل ستكون درجة حرارة الشاي مساوية لها أم أقل منها بعد 10 دقائق؟

أقل منهما

26) أشجار: يتناسب قطر قاعدة جذع شجرة بالسنتمترات طردياً مع ارتفاعها بالأمتار مرفوعاً للأس $\frac{3}{2}$، إذا بلغ ارتفاع شجرة 6m، وقطر قاعدة جذعها 19.1cm، فاكتب معادلة القطر d لقاعدة جذع الشجرة عندما يكون ارتفاعها h متر.

$d=1.3h^{1.5}$

حل كل معادلة أسية مما يأتي:

27) ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{4x+1}=8^{2x+1}$

$\begin{array}{rl}& 2^{-4x-1}=8^{2x+1}=2^{3(2x+1)}\\ & \therefore -4x-1=6x+3\\ & \therefore 10x=-4\\ & \therefore x=-\frac{4}{10}=-\frac{2}{5}\end{array}$

28) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{x-5}={25}^{3x+2}$

$\begin{array}{rl}& 5^{-x+5}={25}^{3x+2}=5^{2(3x+2)}\\ & \therefore -x+5=6x+4\\ & \therefore 7x=1\\ & \therefore x=\frac{1}{7}\end{array}$

29) $216={\left(\frac{1}{6}\right)}^{x+3}$

$\begin{array}{rl}& \therefore 6^3=6^{-x-3}\\ & \therefore 3=-x-3\\ & \therefore x=-6\end{array}$

30) ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{3x+4}={\left(\frac{1}{4}\right)}^{-2x+4}$

$\begin{array}{rl}& \therefore {\left(\frac{1}{2}\right)}^{3(3x+4)}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2(-2x+4)}\\ & \therefore 9x+12=-4x+8\\ & \therefore 13x=-4\\ & \therefore x=-\frac{4}{13}\end{array}$

31) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{5x+1}={\left(\frac{27}{8}\right)}^{x-4}$

$\begin{array}{rl}& \therefore {\left(\frac{2}{3}\right)}^{5x+1}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{-3(x-4)}\\ & \therefore 5x+1=-3x+12\\ & \therefore 8x=11\\ & \therefore x=\frac{11}{8}\end{array}$

32) ${\left(\frac{25}{81}\right)}^{2x+1}=\left(\frac{729}{125}\right)-3x+1$

$\begin{array}{rl}& \therefore {\left(\frac{5}{9}\right)}^{2(2x+1)}={\left(\frac{5}{9}\right)}^{-3(-3x+1)}\\ & \therefore 4x+2=9x-3\\ & \therefore 5x=5\\ & \therefore x=1\end{array}$

33) سكان: بلغ عدد سكان العالم عام 1950م، 2.556 مليار نسمة، وبحلول عام 1980م أصبح 4.458 مليارات نسمة.

a) اكتب دالة أسية على صورة y=ab^x يمكن أن تمثل تزايد عدد سكان العالم من عام 1950م إلى عام 1980م بالمليار، حيث x عدد السنوات منذ عام 1950م (قرب قيمة b إلى أقرب جزء من عشرة آلاف).

$\mathit{y}=2.556(1.0187{)}^x$

b) افترض أن تزايد عدد السكان استمر بالمعدل نفسه، فقدر عدد سكان العالم عام 2000.

تقريباً 6.445 مليار

c) إذا كان عدد سكان العالم عام 2000م هو 6.08 مليارات نسمة تقريباً، فقارن بين تقديرك والعدد الحقيقي للسكان.

التقدير أكبر من العدد الحقيقي للسان بمقدار 375 مليون

d) استعمل الدالة التي توصلت إليها في فرع a لتقدير عدد سكان العالم عام 2020م. ما دقة تقديرك؟ وضح إجابتك.

التقدير 9.3498 مليار وبما أن التنبؤ بعدد السكان عام 200 كان أكبر من العدد الحقيقي، فقد يكون هذا التنبؤ أكبر مما يكون عليه في الواقع في ذلك الوقت.

34) ثقافة مالية: يفاضل سعيد بين خيارين للاستثمار الطويل الأمد، ويريد أن يختار أحدهما.

a) اكتب دالة كل من الخيار الأول والخيار الثاني للاستثمار.

$A=50000{\left(\frac{4.065}{4}\right)}^{4t}$

$B=50000\left[(1.0035{)}^{12t}+(1.0004423{)}^{52t}\right]$

b) مثل بالحاسبة البيانية منحنى يوضح المبلغ الكلي من كل استثمار بعد t سنة.

c) أي الخيارين أفضل في الاستثمار الخيار الأول أم الثاني؟ فسر إجابتك؟

خلال أول 22 سنة يكون الخيار الثاني أفضل لأن المبلغ المتجمع منه أكبر من المبلغ المتجمع من الخيار الأول.

35) تمثيلات متعددة: ستستكشف في هذا التمرين الزيادة المتسارعة في الدوال الأسية. قص ورقة إلى نصفين، وضع بعضهما وق بعض، ثم قصهما معا إلى نصفين وضع بعضهما فوق بعض، وكرر هذه العملية عدة مرات.

a) حسياً: عد قطع الورق الناتجة بعد القص الأول، ثم بعد القص الثاني، والثالث، والرابع.

بعد القص الأول 2

بعد القص الثاني 4

بعد القص الثالث 8

بعد القص الرابع 16

b) جدولياً: دون نتائجك في جدول.

c) رمزياً: استعمل النمط في الجدول لكتابة معادلة تمثل عدد قطع الورق بعد القص x مرة.

$y=2^x$

d) تحليلياً: يقدر سمك الورقة الاعتيادية 0.003in، اكتب معادلة تمثل سمك رزمة الورق بعد قصها x مرة.

$y=0.003(2{)}^x$

e) تحليلياً: ما سمك رزمة من الورق بعد قصها 30 مرة؟

$3221225.47\text{in}$