حل أسئلة تدرب وحل المسائل

استعمل الحاسبة البيانية لإيجاد قيمة كل مما يأتي مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة آلاف.

log 5 (1

0.6990

log 21 (2

1.3222

log 0.4 (3

-0.3979

log 3 (4

0.4771

log 11 (5

0.0414

log 3.2 (6

0.5051

log 8.2 (7

0.9138

log 0.9 (8

-0.458

log 0.04 (9

-1.3979

10) علوم: ترتبط كمية الطاقة E المقيسة بوحدة الأبراج التي تطلقها الأرض مع قوة الهزة على مقياس ريختر M بالمعادلة log E=11.8+1.5M، استعمل المعادلة لإيجاد كمية الطاقة التي تطلقها الأرض عند هزة أرضية بقوة 8.5 درجات على مقياس ريختر.

$$\begin{gathered} \log E=11.8+1.5M=11.8+1.5\times 8.5 \\ \log E=24.55 \\ E={\mathbf{10}}^{24.55} \end{gathered}$$

11) صوت: أغلق حسن نوافذ سيارته فانخفض ارتفاع الصوت من 58db إلى 73db، إذا علمت أن ارتفاع الصوت L بالديسبل يعطى بالعلاقة $L=10\log \frac{I}{m}$، حيث I شدة الصوت، m أدنى حد من شدة الصوت تسمعها أذن الإنسان.

a) فكم مرة من شدة أدنى صوت تسمعه أذن الإنسان تساوي شدة الصوت قبل إغلاق نوافذ السيارة إذا كانت m=1؟

حوالي 316227766

b) كم مرة من شدة أدنى صوت تسمعه أذن الإنسان تساوي شدة الصوت بعد إغلاق نوافذ السيارة؟ أوجد نسبة انخفاض شدة الصوت بعد إغلاق النوافذ.

19952623 مرة، النسبة=3.7 تقريباً.

حل كل معادلة مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف:

12) 40=6^x

^{$\begin{array}{rl}& x\log 6=\log 40\\ & x=\frac{\log 40}{\log 6}=2.0588\end{array}$}

13) 2.1^{a + 2} = 8.25

$\begin{array}{rl}& (a+2)\log \left(2.1\right)=\log \left(8.25\right)\\ & a=\frac{\log 8.25}{\log 2.1}-2=0.8442\end{array}$

14) 7x² = 20.42

$\begin{array}{rl}& x^2\log \left(7\right)=\log \left(20.42\right)\\ & x=\sqrt{\frac{\log 20.42}{\log 7}}=\pm 1.2451\end{array}$

15) 11^{b - 3} = 5^b

^{$\begin{array}{rl}& (b-3)\log \left(11\right)=b\log \left(5\right)\\ & b\log \left(11\right)-3\log \left(11\right)=b\log \left(5\right)\\ & b(\log (11)-\log (5\left)\right)=3\log \left(11\right)\\ & b=\frac{3\log \left(11\right)}{\log \left(11\right)-\log \left(5\right)}=9.1237\end{array}$}

16) 8^x = 40

$\begin{array}{rl}& x\log 8=\log 40\\ & x=\frac{\log 40}{\log 8}=1.7740\end{array}$

17) 9^{b - 1} = 7 ^b

^{$\begin{array}{rl}& (b-1)\log \left(9\right)=b\log \left(7\right)\\ & b\log \left(9\right)-\log \left(9\right)=b\log \left(7\right)\\ & b(\log (9)-\log (7\left)\right)=\log \left(9\right)\\ & b=\frac{3\log \left(9\right)}{\log \left(9\right)-\log \left(7\right)}=8.7429\end{array}$}

18) 15x² = 110

$\begin{array}{rl}& x^2\log \left(15\right)=\log \left(110\right)\\ & x=\sqrt{\frac{\log 110}{\log 15}}=\pm 1.3175\end{array}$

19) $2^y=\sqrt{3^{y-1}}$

$\begin{array}{rl}& 2y\log \left(2\right)=(y-1)\log \left(3\right)\\ & y=\frac{-\log \left(3\right)}{2\log \left(2\right)-\log \left(3\right)}=-3.8188\end{array}$

حل كل معادلة مما يأتي، وقرب الناتج إلى أقرب جزء من عشرة آلاف:

20) $5^{4n}>33$

$\begin{array}{rl}& 4nlog\left(5\right)>log\left(33\right)\\ & n>\frac{log\left(33\right)}{4log\left(5\right)}\\ & n>0.5431\end{array}$

21) $6^{\mathrm{p}-1}\le 4^{\mathrm{p}}$

$\begin{array}{rl}& (p-1)log\left(6\right)=plog\left(4\right)\\ & p=\frac{log\left(6\right)}{log\left(6\right)-log\left(4\right)}\\ & p=4.4190\end{array}$

22) $3^{y-1}\le 4^y$

$\begin{array}{rl}& (y-1)log3\le ylog4\\ & y\le \frac{log3}{log3-log4}\\ & y\le -3.81884\end{array}$

23) $5^{p-2}\ge 2^p$

$\begin{array}{rl}& (p-2)log5\le plog2\\ & p\le \frac{2log5}{log5-log2}\\ & p\le 3.5129\end{array}$

24) $2^{4x}\le 20$

$\begin{array}{rl}& 4xlog2\le log20\\ & x\le \frac{log20}{4log2}\\ & x\le 1.0805\end{array}$

25) $6^{3n}>36$

$\begin{array}{rl}& 3nlog6>log36\\ & n>\frac{log36}{3log6}\\ & n>0.6667\end{array}$

اكتب كلاً مما يأتي بدلالة اللوغاريتم العشري، ثم أوجد قيمته مقرباً إلى أقرب جزء من عشرة آلاف:

log₃7 (26

1.7712

log₂16 (27

4

log₄9 (28

1.5850

log₃21 (29

2.7712

log₅(2.7)² (30

1.2343

$lo{g}_7\sqrt{5}$ (31

0.4135

32) شحن: اشترت إحدى شركات خدمة الشحن سيارة شحن جديدة سعر 168000 ريال، افترض أن $t={\log }_{(1-r)}\frac{V}{P}$، حيث t السنوات التي مرت منذ الشراء، P سعر الشراء، V السعر الحالي، r المعدل السنوي لانخفاض السعر.

a) إذا كان السعر الحالي للشاحنة 120000 ريال، وانخفض سعرها بمعدل %15 سنوياً، فما عدد السنوات التي مرت منذ شرائها لأقرب سنة؟

$\begin{array}{rl}t& ={\log }_{(1-r)}\frac{v}{p}\\ t& ={\log }_{(1-0.15)}\frac{120000}{168000}=2\end{array}$

b) إذا كان السعر الحالي للشاحنة 102000 ريال، وانخفض سعرها بمعدل %10 سنوياً، فما عدد السنوات التي مرت منذ شرائها لأقرب سنة؟

$t={\log }_{(1-0.1)}\frac{102000}{168000}=5$

33) علوم البيئة: يقوم مهندس بيئي بفحص مياه الشرب في أحد الآبار الجوفية؛ للتأكد من عدم تلوثها بمادة الزرنيخ، والتي يقدر معدلها الطبيعي في ماء الشرب ب 0.025ppm (حيث ppm تعني جزءاً من المليون)، كما أن الرقم الهيدروجيني pH لمادة الزرنيخ يجب أن يقل عن 9.5، حتى يكون الماء صالحاً للشرب.

a) إذا كان تركيز أيون الهيدروجين في الماء $1.25\times {10}^{-11}$، فهل يعني ذلك ارتفاع الرقم الهيدروجيني لمادة الزرنيخ علماً بأن قانون تركيز أيون الهيدروجين هو $\mathrm{pH}=-\log \left[{\mathrm{H}}^{+}\right]$؟

نعم، لأن $10.9>9.5$

b) إذا وجد المهندس 1mg من الزرنيخ في عينة حجمها 3l من ماء بئر، فهل هذا الماء صالح للشرب؟ (إرشاد: 1kg من الماء يعادل 1l تقريباً. $1\mathrm{ppm}=1\mathrm{mg}/\mathrm{kg}$)

لا.

c) ما تركيز أيون الهيدروجين الذي يقابل الرقم الهيدروجيني PH=9.5 والذي يجعل الماء غير صالح للشرب؟

$3.16\times {10}^{-10}$

34) هزات أرضية: يمكن تحديد قوة الهزة الأرضية على مقياس ريختر M باستعمال المعادلة $M=\frac{2}{3}\log \frac{E}{{10}^{4.4}}$، حيث E الطاقة الزلزالية التي تطلقها الأرض عند حدوث الهزة الأرضية مقيسة بوحدة الجول.

a) استعمل خصائص اللوغاريتمات لتكتب المعادلة بالصورة المطولة.

$M=\frac{2}{3}(\log E-\log {10}^{4.4})$

b) أطلقت الأرض طاقة زلزالية مقدارها $7.94\times {10}^{11}$ جول عند حدوث هزة أرضية، كم قوة الهزة الأرضية على مقياس ريختر؟

M=5

c) أطلقت الأرض طاقة زلزالية مقدارها $4.47\times {10}^{12}$ جول عند حدوث زلزال ألوم روك في كاليفورنيا عام 2007 م، كما أطلقت الأرض طاقة زلزالية مقدارها $1.58\times {10}^{18}$ جول عند حدوث زلزال انكورج في ألاسكا عام 1964، كم مرة تفوق قوة الزلزال أنكورج قوة زلزال ألوم روك على مقياس ريختر؟

M=1.67

d) بصورة عامة، لا يمكن الشعور بالهزة الأرضية إلا إذا بلغت قوتها 3 درجات على مقياس ريختر أو أكثر، ما الطاقة الزلزالية بالجول التي تطلقها الأرض عند حدوث هزة أرضية لها هذه القوة على مقياس ريختر؟

$E=7.94\times {10}^8$

35) تمثيلات متعددة: ستحل في هذه المسألة المعادلة الأسية 4^x=13.

a) جدولياً: أدخل الدالة 4^x = y في الحاسبة البيانية وأنشئ جدول قيم للدالة، وذلك بتغيير قيم x بمقدار 0.1 في كل مرة وابحث عن قيمتين تقع بينهما قيمة x المقابلة للقيمة y=13 في الجدول.

الحل يقع بين 1.8 و1.9

b) بيانياً: مثل بيانياً المعادلة y=4^x والمستقيم y=13 على الشاشة نفسها، واستعمل أمر intersect لإيجاد نقطة تقاطع التمثيلين البيانيين.

(1.85,13)

c) عددياً: حل المعادلة جبرياً، هل طريقتا الحل تعطيان النتيجة نفسها؟ فسر إجابتك.

نعم جميع الطرق تعطي النتيجة نفسها 1.8 لأنك بدأت من المعادلة نفسها وإن لم يكن كذلك فلقد أخطأت.